Całka z grzechu x to -cos(x) plus stała (C). Reprezentuje obszar pod krzywą sinusoidalną. Funkcja powtarza się co 2π radianów ze względu na jej okresowy charakter. W artykule wyjaśniono całkę funkcji sinus, pokazując jej wzór, dowód i zastosowanie w znajdowaniu konkretnych całek oznaczonych. Ponadto wspomina o rozwiązanych problemach i często zadawanych pytaniach.

Spis treści

• Co to jest całka z sin x?
• Całka ze wzoru na sin x
• Graficzne znaczenie całki grzechu x
• Całka grzechu x dowód metodą podstawienia
• Całka oznaczona z grzechu x
• Całka grzechu x Od 0 do π
• Całka grzechu x Od 0 do π/2

Co to jest całka z sin x?

Całka sin(x) dotycząca x wynosi -cos(x) plus stała (C). Oznacza to, że różniczkując -cos(x) względem x, otrzymasz sin(x). Stała całkowania (C) reprezentuje dowolną dodatkową stałą wartość, która może występować w pierwotnej funkcji.

Całka sin x fizycznie oznacza obszar objęty krzywą sinusoidalną.

Uczyć się,

• Rachunek matematyczny
• Integracja z matematyką

Całka ze wzoru na sin x

Całka funkcji sinus ∫ sin(x) dx jest równa -cos(x) + C, gdzie C jest stałą całkowania.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Tutaj cos(x) jest funkcją cosinus, a C oznacza stałą dodawaną do funkcji pierwotnej, ponieważ pochodna stałej wynosi zero.

Graficzne znaczenie całki grzechu x

Całka sin(x) od ( a ) do ( b ) ma znaczenie graficzne przy obliczaniu pola pod krzywą w tym przedziale. Zbadajmy znaczenie graficzne, korzystając zarówno z metody całki oznaczonej, jak i metody geometrycznej.

Metoda całki oznaczonej

Całkę sin(x) od ( a ) do ( b ) wyrażamy wzorem:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Stanowi to obszar ze znakiem pomiędzy krzywą sin(x) a osią x od ( a ) do ( b ).

Metoda geometryczna

Rozważmy wykres sin(x) od ( a ) do ( b ). Obszar pod krzywą można podzielić na dwa obszary:

• Obszar pozytywny: Obszary, w których sin(x) jest dodatni (powyżej osi x). To przyczynia się do dodatniego obszaru pod krzywą.
• Obszar ujemny: Regiony, w których sin(x) jest ujemne (poniżej osi x). To przyczynia się do powstania ujemnego pola pod krzywą.

Powierzchnia całkowita jest sumą algebraiczną tych obszarów dodatnich i ujemnych.

Przykład:

Aby znaleźć pole pod krzywą sin(x) od ( a = 0 ) do ( b = π/2 ).

Stosując metodę całki oznaczonej:

∫₀^str./2grzech x = [-cos x]₀^str./2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

To jest podpisany obszar pod krzywą.

Stosując metodę geometryczną:

Wykres sin(x) od 0 do (π/2) to ćwiartka koła, a pole w rzeczywistości wynosi 1.

Całkowanie dowodu grzechu x metodą podstawienia

Aby znaleźć całkę z sin(x) metodą podstawienia, rozważmy całkę:

Jedno z powszechnych podstawień całek trygonometrycznych polega na tym, że u jest równe wyrażeniu wewnątrz funkcji trygonometrycznej. W tym przypadku niech u = cos(x). Następnie oblicz du w odniesieniu do dx:

du/dx = -sin(x)

Teraz rozwiąż dx:

dx = -1/sin(x) du

Teraz podstaw u i dx pod względem u do całki pierwotnej:

Całka z sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Uprość wyrażenie:

Całka z sin(x) dx = -∫ du

Teraz zintegruj względem ciebie:

Całka z sin(x) dx = -u + C

Teraz zamień z powrotem na u, które zostało zdefiniowane jako cos(x):

Całka z sin(x) dx = -cos(x) + C

Zatem stosując metodę podstawieniową doszliśmy do tego samego wyniku, co w dowodzie za pomocą pochodnych. Całka sin(x) to -cos(x) + C, gdzie C jest stałą całkowania.

Całka oznaczona z grzechu x

Całka oznaczona sin(x) od a do b, oznaczona jako

∫ ^B _A grzech(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Oblicza pole powierzchni netto pod krzywą sinusoidalną pomiędzy x = a i x = b, biorąc pod uwagę kierunek obszaru powyżej i poniżej osi x.

Uczyć się, Określona całka

Całka z grzechu x Od 0 do Liczba Pi

Aby znaleźć całkę sin(x) od 0 do π, możemy użyć funkcji pierwotnej. Funkcja pierwotna sin(x) to -cos(x). Obliczając tę ​​funkcję pierwotną od 0 do π, otrzymujemy:

∫₀^{Liczba Pi}sin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

jak przekonwertować ciąg na znak

∫₀^{Liczba Pi}grzech(x) dx = [-(-1) + 1]

Ponieważ cos(π) wynosi -1, a cos(0) wynosi 1, wyrażenie upraszcza się do:

∫₀^{Liczba Pi}grzech(x) dx = 1 + 1 = 2

Zatem całka sin(x) od 0 do π jest równa 2. Stanowi to obszar ze znakiem pomiędzy krzywą sin(x) a osią x od x = 0 do x = π.

Całka z grzechu x Od 0 do Liczba Pi /2

Całka oznaczona reprezentuje obszar ze znakiem pomiędzy krzywą a osią x w danym przedziale.

Całkę podaje się jako:

∫₀^str./2grzech(x) dx

Użycie funkcji pierwotnej -cos(x) do obliczenia całki:

cos(x) |[0 do π/2]

Teraz zamień π/2 na -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Przypomnijmy, że cos(π/2) = 0 i cos(0) = 1. Zastąp te wartości:

-(0) – (-1)

Uproszczać:

0 + 1 = 1

Całka oznaczona sin(x) od 0 do π/2 równa się 1. Oznacza to, że pole ze znakiem pomiędzy krzywą sinusoidalną a osią x od x = 0 do x = π/2 wynosi 1.

Sprawdź także

• Integracja Cos x
• Integracja Tan x
• Formuły całkowania

Całka z sin x – rozwiązane przykłady

Przykład 1: Znajdź całkę sin2(x)

Rozwiązanie:

enkapsulacja w Javie

Za bez²(x), możesz użyć wzoru zawierającego cos(2x).

∫ grzech²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Podziel go na dwie części:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

Całka z dx to po prostu x. Całkowanie z cos(2x) wymaga użycia wzoru sin(2x). To wygląda tak:

= (1/2)x – (1/4)grzech(2x) + C

Połącz oba wyniki i dodaj stałą C, aby uwzględnić dowolną stałą potencjalną w całce pierwotnej.

(1/2)x – (1/4)grzech(2x) + C

Przykład 2: Znajdź całkę z sinusa ³ X.

Rozwiązanie:

Całkę sinusa sześciennego względem x można zapisać jako:

∫ grzech³x dx

Użyj tożsamości trygonometrycznej, aby uprościć:

bez³x = [1 – sałata²(x)] grzech(x)

∫[1 – sałata²(x)] grzech(x) dx

Rozpowszechnij i oddziel terminy:

∫[grzech x – grzech x. sałata²(x)]dx

Zintegruj każdy termin osobno:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Tutaj ( C ) oznacza stałą całkowania.

Przykład 3: Znajdź całkę z grzechu x ^-1

Rozwiązanie:

Całka z grzechu (x)^-1można wyrazić za pomocą funkcji arcsine. Całkę podaje wzór:

∫1/sin x = -ln|cosec x + łóżeczko x| + C

Tutaj (C) jest stałą całkowania.

Przykład 4: Znajdź całkę z grzechu x ²

Rozwiązanie:

Całkę sin²(x) względem x można rozwiązać za pomocą tożsamości trygonometrycznej.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Teraz zintegruj każdy termin osobno:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 grzech(2x)] + C

gdzie ( C ) jest stałą całkowania.

Przykład 5: Znajdź całkę z grzechu x ^-3

Rozwiązanie:

Całka grzechu (x)^-3w odniesieniu do (x) obejmuje podstawienie trygonometryczne. Oto jak możesz to rozwiązać:

Niech u = sin(x), następnie du = cos(x)dx

Teraz podstaw je do całki:

∫ grzech(x)⁻³dx = ∫u⁻³z

Teraz całkuj względem (u):

∫u⁻³ty = ty⁻²/−2​ + C

Zastąp ponownie względem (x) używając u = sin(x):

∫ grzech(x)⁻³dx = -1/2 sin²x + C

Zatem całka z sin(x)^-3względem (x) wynosi -1/2sin²x , gdzie (C) jest stałą całkowania.

Przykład 6: Znajdź całkę grzechu odwrotnego x

Rozwiązanie:

Aby znaleźć całkę grzechu^-1(x) w odniesieniu do (x) można zastosować całkowanie przez części. Wzór na całkowanie przez części to:

∫udv=uv−∫vdu

ty = grzech^-1(x) i dv = dx

Teraz znajdź (du) i (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Zastosuj wzór na całkowanie przez części:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Teraz zintegruj pozostały wyraz po prawej stronie. Możesz użyć podstawienia, pozwalając (t = 1 – x²), wówczas (dt = -2x , dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Teraz zamień z powrotem na (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Kładąc wszystko razem:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

gdzie (C) jest stałą całkowania.

Przykład 7: Znajdź całkę z x sin 2x dx

Rozwiązanie:

Aby znaleźć całkę xsin(2x) względem (x), możesz użyć całkowania przez części. Wzór na całkowanie przez części jest określony wzorem:

∫udv = uv - ∫vdu

u = x i dv = sin(2x)dx

Teraz znajdź (du) i (v):

du = dx i v = -1/2cos(2x)

Zastosuj wzór na całkowanie przez części:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Teraz zintegruj pozostały wyraz po prawej stronie. Całkę z -1/2cos(2x) można znaleźć, pozwalając (u = 2x) i stosując proste podstawienie:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Zastąp ten wynik z powrotem do pierwotnego równania:

-1/2x cos(2x) + 1/4 grzech(2x) + C

Zatem całka xsin(2x) względem (x) wynosi -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, gdzie (C) jest stałą całkowania.

Przykład 8: Znajdź całkę z sin x cos 2x

Rozwiązanie:

Aby znaleźć całkę sin(x) cos(2x) względem (x), możesz skorzystać z całkowania przez części. Wzór na całkowanie przez części to:

∫udv = uv - ∫vdu

u = sin(x) i dv = cos(2x)dx

Teraz znajdź (du) i (v):

du = cos(x) dx i v = 1/2 sin(2x)

Zastosuj wzór na całkowanie przez części:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Teraz zintegruj pozostały wyraz po prawej stronie. Możesz ponownie użyć całkowania przez części:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Kontynuuj proces, aż całkowanie będzie możliwe do opanowania. Po uproszczeniu otrzymasz końcowy wynik:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

gdzie (C) jest stałą całkowania.

Całka z grzechu x – pytania praktyczne

Pytanie 1. Znajdź całkę sinusa od 0 do pi.

Pytanie 2. Oblicz całkę sinusa od -π/2 do π/2.

Pytanie 3. Znajdź wartość całki sinus plus cosinus względem x.

Pytanie 4. Oblicz całkę sinusa(2x) od 0 do π/3.

Pytanie 5. Znajdź funkcję pierwotną sinusa(3x) względem x.

tworzenie tabeli Oracle

Pytanie 6. Oblicz całkę sinusa(2x) od π do 2π.

Pytanie 7. Całkuj funkcję sinus kwadrat względem x.

Pytanie 8. Oblicz całkę sinusa do kwadratu od -π/4 do π/4.

Całka z sin x – często zadawane pytania

Co to jest całka z sin x?

Całka sin x wynosi -cos x

Co to jest Sin x?

Sin(x) jest funkcją trygonometryczną przedstawiającą stosunek długości boku przeciwległego do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.

Jaki jest zakres grzechu x?

Zakres Sin x wynosi [-1, 1].

Co to jest całka i pochodna sin x?

Całka sin x to -cos x, a pochodna sześciu x to cos x

Co to jest całka sin x i cos x?

Całka z sin x to -cos x + C, a inegral z cos x to sin x

Co to jest całka grzechu 2x?

Całkowanie sin 2x wynosi (-cos2x)/2 + c