Odwrotność macierzy 3 × 3 jest matryca co pomnożone przez oryginalną macierz daje macierz jednostkowa jako produkt. Odwrotność macierzy jest podstawowym aspektem algebry liniowej. Proces ten odgrywa kluczową rolę w rozwiązywaniu układów równań liniowych i różnych zastosowaniach matematycznych. Aby obliczyć macierz odwrotną, należy obliczyć macierz sprzężoną, sprawdzić odwracalność macierzy poprzez sprawdzenie jej wyznacznika (który nie powinien być równy zero) i zastosować wzór na wyprowadzenie macierzy odwrotnej.

W tym artykule omówiono różne koncepcje odwrotności macierzy 3 × 3 oraz sposoby znajdowania odwrotności macierzy 3 × 3 poprzez obliczenie kofaktorów, połączeń i wyznaczników macierzy 3 × 3. W dalszej części tego artykułu znajdziesz również rozwiązane przykłady dla lepszego zrozumienia, a także pytania praktyczne, aby sprawdzić, czego się z tego nauczyliśmy.

Spis treści

• Jaka jest odwrotność macierzy 3 × 3?
• Jak znaleźć odwrotność macierzy 3 × 3?
• Elementy używane do znajdowania odwrotności macierzy 3 × 3
• Odwrotność wzoru macierzowego 3 × 3
• Znajdowanie odwrotności macierzy 3 × 3 za pomocą operacji na wierszach

Jaka jest odwrotność macierzy 3 × 3?

Odwrotność macierzy 3 × 3 to macierz, która pomnożona przez macierz pierwotną daje macierz jednostkową. Aby znaleźć odwrotność, możesz obliczyć macierz sprzężoną, określić, czy macierz jest odwracalna (nieosobliwa), sprawdzając jej wyznacznik (który nie powinien być równy zero), a następnie zastosować wzór A^-1= (adj A) / (det A). Odwrotna macierz umożliwia rozwiązywanie układów równań liniowych i wykonywanie różnych operacji matematycznych.

Jak znaleźć odwrotność macierzy 3 × 3?

Wykonaj poniższe kroki, aby znaleźć odwrotność macierzy 3 × 3:

Krok 1: Najpierw sprawdź, czy macierz można odwrócić. W tym celu należy obliczyć wyznacznik macierzy. Jeśli wyznacznik nie jest zerem, przejdź do następnego kroku.

Krok 2: Oblicz wyznacznik mniejszych macierzy 2 × 2 w obrębie większej macierzy.

Krok 3: Utwórz macierz kofaktorów.

Krok 4: Uzyskaj sprzężenie lub sprzężenie macierzy poprzez transpozycję macierzy kofaktorów.

Krok 5: Na koniec podziel każdy element macierzy sprzężonej przez wyznacznik pierwotnej macierzy 3 na 3.

Powiązane lektury

• Kofaktor i Minory Matrixa
• Transpozycja macierzy

Elementy używane do znajdowania odwrotności macierzy 3 × 3

Do znalezienia odwrotności macierzy 3 × 3 używa się głównie dwóch elementów:

• Spójność macierzy
• Wyznacznik macierzy

Spójność macierzy 3 × 3

The sprzężenie macierzy A znajduje się poprzez transpozycję macierzy kofaktorów A. Aby szczegółowo obliczyć sprzężenie macierzy, postępuj zgodnie z podanymi instrukcjami.

W przypadku macierzy 3 × 3 kofaktorem dowolnego elementu jest wyznacznik macierzy 2 × 2 utworzonej poprzez usunięcie wiersza i kolumny zawierających ten element. Znajdując kofaktory, naprzemiennie wymieniasz znaki pozytywne i negatywne.

Na przykład, dana macierz A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Macierz Minor otrzymuje się w następujący sposób:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Oblicz wyznaczniki macierzy 2 × 2 utworzonych przez pomnożenie po przekątnej i odejmowanie iloczynów od lewej do prawej, tj. Minor.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Zatem macierz kofaktorów to:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Transponując macierz kofaktorów, otrzymujemy macierz sprzężoną.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Wyznacznik macierzy 3 × 3

Korzystając z tego samego przykładu, który omówiliśmy powyżej, możemy obliczyć wyznacznik macierzy A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Oblicz wyznacznik macierzy korzystając z pierwszego wiersza,

Det A = 2 (kofaktor 2) + 1 (kofaktor 1) + 3 (kofaktor 3)

Że A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Że A = 2 + 4 – 6

Że A = 0

Możesz sprawdzić Trick polegający na obliczeniu wyznacznika macierzy 3×3

Odwrotność wzoru macierzowego 3 × 3

Aby znaleźć odwrotność macierzy A 3 × 3, możesz skorzystać ze wzoru A-1 = (adj A) / (det A), gdzie:

• adj A jest macierzą sprzężoną A.
• det A jest wyznacznikiem A.

Aby istniało A-1, det A nie powinno być równe zero. To znaczy:

• A^-1istnieje, gdy det A nie jest równe zero (A jest liczbą nieosobliwą).
• A^-1nie istnieje, gdy det A wynosi zero (A jest liczbą pojedynczą).

Oto kroki, jak znaleźć odwrotność macierzy 3 × 3, korzystając z tego samego przykładu:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Krok 1: Oblicz macierz sprzężoną (przym. A).

Aby znaleźć macierz sprzężoną, zamień elementy A na odpowiadające im kofaktory.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Krok 2: Znajdź wyznacznik A (det A).

Aby obliczyć wyznacznik A, możesz skorzystać ze wzoru na macierz 3 × 3. W tym przypadku det A = -8.

darmowy ipconfig

Krok 3: Zastosuj formułę A^-1= (adj A) / (det A), aby znaleźć macierz odwrotną A^-1.

Podziel każdy element macierzy sprzężonej przez wyznacznik A:

A ^-1 = przym. A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Przy upraszczaniu ułamków,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Znajdowanie odwrotności macierzy 3 × 3 za pomocą operacji na wierszach

Aby znaleźć odwrotność macierzy 3×3, możesz wykonać następujące kroki:

Krok 1: Zacznij od podanej macierzy A 3×3 i utwórz macierz jednostkową I o tym samym rozmiarze, umieszczając A po lewej stronie, a I po prawej stronie rozszerzonej macierzy, oddzielone linią.

spróbuj złapać, złapać Java

Krok 2: Zastosuj serię operacji na wierszach do macierzy rozszerzonej po lewej stronie, aby przekształcić ją w macierz jednostkową I. Macierz po prawej stronie linii, która staje się A^-1, jest odwrotnością pierwotnej macierzy A.

Ucz się więcej, Elementarne działanie na macierzach

Sprawdź także

• Rodzaje macierzy
• Odwracalna matryca
• Ślad matrixa

Rozwiązane przykłady odwrotności macierzy 3 × 3

Przykład 1: Znajdź odwrotność

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Rozwiązanie:

Mała macierz D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Mała macierz D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Kofaktor macierzy, tj. X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transpozycja macierzy X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Teraz znajdziemy wyznacznik D, korzystając z pierwszego wiersza:

Że D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Że D = 6+0+14

⇒ Że D = 20

Odwrotność macierzy D lub D^-1= Adj D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Przykład 2: Znajdź odwrotność

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Moll macierzy E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Kofaktor macierzy E, tj. X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Przym. E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Znajdźmy teraz wyznacznik macierzy E, korzystając z pierwszego wiersza:

Że E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Że E= -1 + 0 + 1

Że E = 0

∴ Ponieważ wyznacznik macierzy E jest równy 0, odwrotność macierzy E lub E^-1nie jest możliwe.

Ćwicz pytania dotyczące odwrotności macierzy 3 × 3

Pytanie 1. Oblicz odwrotność następującej macierzy 3×3:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Pytanie 2. Znajdź odwrotność macierzy B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Pytanie 3. Sprawdź, czy macierz C jest odwracalna, a jeśli tak, znajdź jej odwrotność:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Pytanie 4. Oblicz odwrotność macierzy D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Pytanie 5. Sprawdź, czy macierz E jest odwracalna, a jeśli tak, znajdź jej odwrotność:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Odwrotność macierzy 3×3 – często zadawane pytania

1. Jaka jest odwrotność macierzy 3×3?

Odwrotność macierzy 3×3 to kolejna macierz, która pomnożona przez pierwotną macierz daje macierz jednostkową.

2. Dlaczego znalezienie odwrotności jest ważne?

Jest niezbędny do rozwiązywania układów równań liniowych, transformacji i różnych operacji matematycznych.

3. Jak obliczyć odwrotność macierzy 3×3?

Zwykle znajdujesz macierz sprzężoną, sprawdzasz niezerową wartość wyznacznika i stosujesz określony wzór.

4. Kiedy nie istnieje odwrotność macierzy 3×3?

Nie istnieje, gdy wyznacznik macierzy wynosi zero, co czyni ją liczbą pojedynczą.

5. Czy dowolna macierz 3×3 może mieć odwrotność?

Nie, tylko macierze nieosobliwe z niezerowym wyznacznikiem mają odwrotności.

6. Jaka jest rola macierzy sprzężonej w znajdowaniu odwrotności?

Macierz sprzężona pomaga w obliczeniu odwrotności, dostarczając kofaktorów dla każdego elementu.

7. W jakich dziedzinach powszechnie stosowana jest koncepcja inwersji macierzy 3×3?

Koncepcja inwersji macierzy 3 × 3 jest stosowana w inżynierii, fizyce, grafice komputerowej i różnych dyscyplinach matematycznych.

8. Jak uzyskać odwrotność macierzy 3×3?

Aby znaleźć odwrotność macierzy 3×3, możesz wykonać następujące kroki:

• Najpierw oblicz wyznacznik macierzy.
• Jeżeli wyznacznik nie jest równy 0, przejdź do następnego kroku. Jeśli wynosi 0, macierz nie ma odwrotności.
• Znajdź macierz nieletnich, tworząc macierze 3×3 dla każdego elementu oryginalnej macierzy, z wyłączeniem wiersza i kolumny elementu, na którym się skupiasz.
• Oblicz macierz kofaktorów, stosując wzór znaków plus i minus do elementów macierzy nieletnich.
• Transponuj macierz kofaktorów, zamieniając wiersze z kolumnami.
• Na koniec podziel transponowaną macierz kofaktorów przez wyznacznik, aby uzyskać odwrotność macierzy 3 × 3.