The odwrotność Matrixa jest macierzą, która po pomnożeniu przez pierwotną macierz daje macierz jednostkową. Dla dowolnej macierzy A jej odwrotność jest oznaczona jako A^-1.

Poznajmy szczegółowo odwrotność macierzy, w tym jej definicję, wzór, metody znajdowania odwrotności macierzy i przykłady.

Spis treści

• Odwrotność macierzy
• Terminy związane z odwrotnością macierzy
• Jak znaleźć odwrotność macierzy?
• Odwrotność wzoru macierzowego
• Metoda macierzy odwrotnej
• Odwrotność macierzy 2×2. Przykład
• Wyznacznik macierzy odwrotnej
• Własności odwrotności macierzy
• Przykłady rozwiązań odwrotnych macierzy

Odwrotność macierzy

Odwrotnością macierzy jest inna macierz, która pomnożona przez daną macierz daje tożsamość multiplikatywna .

Dla macierzy A i jej odwrotności A^-1, zachodzi własność tożsamości.

AA ^-1 = A ^-1 A = ja

Gdzie I jest macierzą tożsamości.

Terminy związane z odwrotnością macierzy

Terminologia podana poniżej może pomóc w jaśniejszym i łatwiejszym zrozumieniu odwrotności macierzy.

Pojedyncza macierz

Macierz, której wyznacznik ma wartość zero, nazywamy macierzą osobliwą, czyli dowolną macierz A nazywamy macierzą osobliwą, jeśli |A| = 0. Odwrotność pojedynczej macierzy nie istnieje.

Macierz nieosobliwa

Macierz, której wyznacznik jest różny od zera, nazywamy macierzą nieosobliwą, czyli każdą macierz A nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli |A| ≠ 0. Istnieje odwrotność macierzy nieosobliwej.

Macierz jednostkowa

Macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy są równe zeru z wyjątkiem głównych elementów przekątnych, nazywana jest macierzą jednostkową. Jest reprezentowany za pomocą I. Jest to element tożsamościowy macierzy jak każdej macierzy A,

A×I = A

Przykładem macierzy tożsamości jest:

I_3×3= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

To jest macierz tożsamościowa rzędu 3×3.

Czytaj więcej :

• Macierz jednostkowa

Jak znaleźć odwrotność macierzy?

Istnieją dwa sposoby znalezienia odwrotności macierzy w matematyce:

• Korzystanie ze wzoru macierzowego
• Stosowanie metod macierzy odwrotnej

Odwrotność wzoru macierzowego

Odwrotność macierzy A, czyli A^-1oblicza się stosując odwrotność wzoru macierzowego, która polega na podzieleniu sprzężenia macierzy przez jej wyznacznik.

Odwrotność wzoru macierzowego

A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}

Gdzie,

• przym A = sprzężenie macierzy A, oraz
• |A| = wyznacznik macierzy A.

Notatka : Ta formuła działa tylko w przypadku macierzy kwadratowych.

Aby znaleźć odwrotność macierzy za pomocą odwrotności wzoru macierzowego, wykonaj następujące kroki.

Krok 1: Określ elementy drugorzędne wszystkich elementów A.

Krok 2: Następnie oblicz kofaktory wszystkich elementów i zbuduj macierz kofaktorów, zastępując elementy A ich odpowiednimi kofaktorami.

Krok 3: Weźmy transpozycję macierzy kofaktorów A, aby znaleźć jej sprzężenie (zapisane jako przym. A).

Krok 4: Pomnóż przym A przez odwrotność wyznacznika A.

Teraz dla dowolnej nieosobliwej macierzy kwadratowej A,

A ^-1 = 1 / |A| × Przym. (A)

Przykład: Znajdź odwrotność macierzyA=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]za pomocą formuły.

Mamy,A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]

Znajdź sprzężenie macierzy A, obliczając kofaktory każdego elementu, a następnie uzyskując transpozycję macierzy kofaktorów.

przym A =left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

Znajdź wartość wyznacznika macierzy.

|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)

⇒ |A| = 49

Zatem odwrotnością macierzy jest:

A^-1=frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

⇒ A^-1=left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]

Metoda macierzy odwrotnej

Istnieją dwie metody odwrotnej macierzy, aby znaleźć odwrotność macierzy:

1. Metoda wyznaczająca
2. Elementarna metoda transformacji

Metoda 1: Metoda wyznaczająca

Najważniejszą metodą znajdowania odwrotności macierzy jest użycie wyznacznika.

krotki Java

Macierz odwrotną można również znaleźć za pomocą następującego równania:

A ^-1 = przym(A) / det(A)

Gdzie,

• przym (A) jest sprzężeniem macierzy A, oraz
• to (A) jest wyznacznikiem macierzy A.

Aby znaleźć połączenie macierzy A, wymagana jest macierz kofaktorów A. Następnie sprzężone (A) jest transpozycją macierzy kofaktorów A, tj.

przym (A) = [C _ja ] ^T

• Dla kofaktora macierzy, tj. C_ja, możemy skorzystać z następującego wzoru:

C _ja = (-1) ^ja+j to (M _ja )

Gdzie M _ja odnosi się do (i, j) ^t mała macierz kiedy I ^t rząd i J ^t kolumna jest usunięta.

Metoda 2: Elementarna metoda transformacji

Wykonaj poniższe kroki, aby znaleźć macierz odwrotną metodą transformacji elementarnej.

Krok 1 : Zapisz podaną macierz jako A = IA, gdzie I jest macierzą jednostkową rzędu tego samego co A.

Krok 2 : Użyj sekwencji operacji na wierszach lub kolumnach, aż do uzyskania macierzy tożsamości na LHS. Użyj również podobnych operacji elementarnych na RHS, tak aby otrzymać I = BA. Zatem macierz B na RHS jest odwrotnością macierzy A.

Krok 3 : Upewnij się, że podczas wykonywania elementarnych operacji używamy operacji na wierszach lub operacji na kolumnach.

Możemy łatwo znaleźć odwrotność macierzy 2 × 2, korzystając z operacji elementarnej. Rozumiemy to na przykładzie.

Przykład: Znajdź odwrotność 2 × 2, A =egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}za pomocą operacji elementarnej.

Rozwiązanie:

Dany:

A = IA

egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}

Teraz R₁⇢ R₁/2

egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂- R₁

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂23

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

R₁⇢ R₁- R₂/2

egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

Zatem odwrotność macierzy A = egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} Jest

A^-1=egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}

Odwrotność macierzy 2×2. Przykład

Odwrotność macierzy 2×2 można również obliczyć metodą skrótową, oprócz metody omówionej powyżej. Rozważmy przykład, aby zrozumieć skrótową metodę obliczenia odwrotności macierzy 2 × 2.

Dla danej macierzy A =egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix}

Wiemy, |A| = (reklama – bc)

i przym. A =egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

następnie korzystając ze wzoru na odwrotność

A^-1= (1 / |A|) × Przym. A

⇒ A^-1=[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

W ten sposób obliczana jest odwrotność macierzy 2 × 2.

Odwrotność przykładu macierzy 3X3

Weźmy dowolną macierz 3×3 A =egin{bmatrix}a & b & c l & m & n p & q & rend{bmatrix}

Odwrotność macierzy 3×3 oblicza się za pomocą wzoru odwrotny wzór macierzowy ,

A ^-1 = (1 / |A|) × Przym. A

Wyznacznik macierzy odwrotnej

Wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością wyznacznika macierzy pierwotnej. tj.,

to (A ^-1 ) = 1 / it(A)

Dowód powyższego twierdzenia omówiono poniżej:

det(A × B) = det (A) × det(B) (już wiem)

⇒ A × A^-1= I (według właściwości macierzy odwrotnej)

⇒ to (A × A^-1) = to(ja)

⇒ to(A) × to(A^-1) = det(I) [ ale, det(I) = 1]

⇒ to(A) × to(A^-1) = 1

⇒ to (A^-1) = 1 / it(A)

Zatem udowodnione.

Własności odwrotności macierzy

Macierz odwrotna ma następujące właściwości:

• Dla dowolnej nieosobliwej macierzy A, (A ^-1 ) ^-1 = A
• Dla dowolnych dwóch nieosobliwych macierzy A i B, (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1
• Istnieje odwrotność macierzy nieosobliwej, dla macierzy pojedynczej odwrotność nie istnieje.
• Dla dowolnego nieosobliwego A, (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T

Powiązany:

• Odwracalna matryca
• Macierze: właściwości i wzory
• Operacje matematyczne na macierzach
• Wyznacznik macierzy
• Jak znaleźć wyznacznik macierzy?

Przykłady rozwiązań odwrotnych macierzy

Rozwiążmy kilka przykładowych pytań dotyczących odwrotności macierzy.

Przykład 1: Znajdź odwrotność macierzyold{A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]}za pomocą formuły.

Rozwiązanie:

Mamy,

A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]

Znajdź sprzężenie macierzy A, obliczając kofaktory każdego elementu, a następnie uzyskując transpozycję macierzy kofaktorów.

przym A =left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

Znajdź wartość wyznacznika macierzy.

|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)

= –3

Zatem odwrotnością macierzy jest:

A^-1=frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]

Przykład 2: Znajdź odwrotność macierzy A=old{ korzystając ze wzoru.}left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Rozwiązanie:

Mamy,

A=left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Znajdź sprzężenie macierzy A, obliczając kofaktory każdego elementu, a następnie uzyskując transpozycję macierzy kofaktorów.

przym A =left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

Znajdź wartość wyznacznika macierzy.

|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)

= 16

Zatem odwrotnością macierzy jest:

A^-1=frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]

Przykład 3: Znajdź odwrotność macierzy A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] } za pomocą formuły.

Rozwiązanie:

Mamy,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight]

Znajdź sprzężenie macierzy A, obliczając kofaktory każdego elementu, a następnie uzyskując transpozycję macierzy kofaktorów.

przym A =left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Znajdź wartość wyznacznika macierzy.

|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)

= 1

Zatem odwrotnością macierzy jest:

A^-1=frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Przykład 4: Znajdź odwrotność macierzy A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] } za pomocą formuły.

Rozwiązanie:

Mamy,

numpy sumowanie

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight]

Znajdź sprzężenie macierzy A, obliczając kofaktory każdego elementu, a następnie uzyskując transpozycję macierzy kofaktorów.

przym A =left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

Znajdź wartość wyznacznika macierzy.

|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)

= 20

Zatem odwrotnością macierzy jest:

A^-1=frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]

Często zadawane pytania dotyczące odwrotności macierzy

Co to jest odwrotność macierzy?

Odwrotność macierzy nazywa się odwrotnością macierzy. Odwracalne są tylko macierze kwadratowe z niezerowymi wyznacznikami. Załóżmy, że dla dowolnej macierzy kwadratowej A z macierzą odwrotną B ich iloczynem jest zawsze macierz jednostkowa (I) tego samego rzędu.

[A]×[B] = [I]

Co to jest Matrix?

Macierz to prostokątna tablica liczb podzielona na określoną liczbę wierszy i kolumn. Liczbę wierszy i kolumn macierzy nazywa się jej wymiarem lub porządkiem.

Jaka jest odwrotność macierzy 2×2?

Dla dowolnej macierzy A lub rzędu 3×3 jej odwrotność wyznacza się ze wzoru:

A ^-1 = (1 / |A|) × Przym. A

Jaka jest odwrotność macierzy 3×3?

Odwrotnością dowolnej macierzy kwadratowej 3×3 (powiedzmy A) jest macierz tego samego rzędu oznaczoną przez A^-1tak, że ich iloczyn jest macierzą tożsamości rzędu 3×3.

[A] _3×3 × [A ^-1 ] _3×3 = [ja] _3×3

Czy sprzężenie i odwrotność macierzy są takie same?

Nie, sprzężenie macierzy i odwrotność macierzy to nie to samo.

Jak korzystać z odwrotności macierzy?

Odwrotność macierzy służy do rozwiązywania wyrażeń algebraicznych w postaci macierzowej. Na przykład, aby rozwiązać AX = B, gdzie A jest macierzą współczynników, X jest macierzą zmienną, a B jest macierzą stałą. Tutaj macierz zmiennych znajduje się za pomocą operacji odwrotnej, jak:

X = A ^-1 B

Co to są macierze odwracalne?

Macierze, których istnieje odwrotność, nazywane są odwracalnymi. Macierze odwracalne to macierze, które mają niezerowy wyznacznik.

Dlaczego nie istnieje odwrotność macierzy 2 × 3?

Istnieje odwrotność tylko macierzy kwadratowej. Ponieważ macierz 2 × 3 nie jest macierzą kwadratową, ale raczej macierzą prostokątną, zatem jej odwrotność nie istnieje.

Podobnie macierz 2 × 1 również nie jest macierzą kwadratową, ale raczej macierzą prostokątną, zatem jej odwrotność nie istnieje.

Co to jest odwrotność macierzy tożsamości?

Odwrotnością macierzy tożsamości jest sama macierz tożsamości. Dzieje się tak, ponieważ macierz tożsamości, oznaczona jako I (Lub I _N na N × N macierz), jest jedyną macierzą, dla której każdy element wzdłuż głównej przekątnej wynosi 1, a wszystkie pozostałe elementy wynoszą 0. Kiedy mnożymy macierz jednostkową przez samą siebie (lub jej odwrotność), ponownie otrzymujemy macierz jednostkową.