logo

TechCodeview

Odwrotne tożsamości trygonometryczne

Odwrotne tożsamości trygonometryczne: W matematyce odwrotne funkcje trygonometryczne są również znane jako funkcje arcusa lub funkcje antytrygonometryczne. Odwrotne funkcje trygonometryczne są funkcjami odwrotnymi podstawowych funkcji trygonometrycznych, tj. sinus, cosinus, tangens, cosecans, secans i cotangens. Służy do znajdowania kątów o dowolnym stosunku trygonometrycznym. Odwrotne funkcje trygonometryczne są powszechnie używane w dziedzinach takich jak geometria, inżynieria itp. Reprezentacje odwrotnych funkcji trygonometrycznych to:

Jeśli a = f(b), to funkcja odwrotna ma postać



b = f-1(A)

licznik Javy

Przykładami odwrotnych odwrotnych funkcji trygonometrycznych są grzech-1x, bo-1x, więc-1x itp.

Spis treści



Dziedzina i zakres odwrotnych tożsamości trygonometrycznych

Poniższa tabela przedstawia niektóre funkcje trygonometryczne wraz z ich dziedziną i zakresem.

Funkcjonować Domena Zakres
y = bez-1X[-jedenaście][-p/2, p/2]
y = sałata-1X[-jedenaście][0, p]
y = cosek-1X R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sek-1X R - (-jedenaście)[0, π] – {π/2}
y = tak-1X R (-p/2, p/2)
y = łóżeczko dziecięce-1X R (0, p)

Własności odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Poniżej przedstawiono właściwości odwrotnych funkcji trygonometrycznych:

Właściwość 1:



  1. bez-1(1/x) = cosek-1x, dla x ≥ 1 lub x ≤ -1
  2. sałata-1(1/x) = sek-1x, dla x ≥ 1 lub x ≤ -1
  3. Więc-1(1/x) = łóżeczko dziecięce-1x, dla x> 0

Właściwość 2:

  1. bez-1(-x) = -grzech-1x, dla x ∈ [-1 , 1]
  2. Więc-1(-x) = -tan-1x, dla x ∈ R
  3. cosek-1(-x) = -cosek-1x, dla |x| ≥ 1

Własność 3

  1. sałata-1(-x) = π – cos-1x, dla x ∈ [-1 , 1]
  2. sek-1(-x) = π – sek-1x, dla |x| ≥ 1
  3. łóżko składane-1(-x) = π – łóżeczko-1x, dla x ∈ R

Właściwość 4

  1. bez-1x + sałata-1x = π/2, dla x ∈ [-1,1]
  2. Więc-1x + łóżeczko dziecięce-1x = π/2, dla x ∈ R
  3. cosek-1x + sek-1x = π/2 , dla |x| ≥ 1

Własność 5

  1. Więc-1x + tak-1y = tak-1( x + y )/(1 – xy), dla xy <1
  2. Więc-1x- tak-1y = tak-1(x – y)/(1 + xy), dla xy> -1
  3. Więc-1x + tak-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), dla xy>1 ; x, y> 0

Własność 6

  1. 2opalenizna-1x = grzech-1(2x)/(1 + x2), dla |x| ≤ 1
  2. 2opalenizna-1x = sałata-1(1 – x2)/(1 + x2), dla x ≥ 0
  3. 2opalenizna-1x = tak-1(2x)/(1 – x2), Za 1

Tożsamości odwrotnej funkcji trygonometrycznej

Poniżej znajdują się tożsamości odwrotnych funkcji trygonometrycznych:

  1. bez-1(sin x) = x pod warunkiem -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. sałata-1(cos x) = x pod warunkiem 0 ≤ x ≤ π
  3. Więc-1(tan x) = x pod warunkiem -π/2
  4. bez (bez-1x) = x pod warunkiem -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos (kos-1x) = x pod warunkiem -1 ≤ x ≤ 1
  6. tak sobie-1x) = x pod warunkiem x ∈ R
  7. cosek(cosek-1x) = x pod warunkiem -1 ≤ x ≤ ∞ lub -∞
  8. sek. (sek-1x) = x pod warunkiem 1 ≤ x ≤ ∞ lub -∞
  9. łóżeczko (łóżeczko-1x) = x pod warunkiem -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2co-1x = sałata-1(2x2- 1)
  14. 2 grzech-1x = grzech-12x√(1 – x2)
  15. 3 grzech-1x = grzech-1(3x – 4x3)
  16. 3co-1x = sałata-1(4x3– 3x)
  17. 3opalenizna-1x = tak-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. bez-1x + grzech-1y = bez-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. bez-1x – grzech-1y = bez-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. sałata-1x + sałata-1y = sałata-1[xy – √{(1 – x2)(1 – i2)}]
  21. sałata-1x – sałata-1y = sałata-1[xy + √{(1 – x2)(1 – i2)}
  22. Więc-1x + tak-1y = tak-1(x + y/1 – xy)
  23. Więc-1x- tak-1y = tak-1(x – y/1 + xy)
  24. Więc-1x + tak-1i +opalenizna-1z = tak-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Ludzie Zobacz także:

Przykładowe problemy dotyczące odwrotnych tożsamości trygonometrycznych

Pytanie 1: Spróbuj bez -1 x = sek -1 1/√(1-x 2 )

Rozwiązanie:

Niech bez-1x = y

⇒ sin y = x , (ponieważ sin y = prostopadła/przeciwprostokątna ⇒ cos y = √(1- prostopadła2)/przeciwprostokątna )

⇒ sałata y = √(1 – x2), tutaj przeciwprostokątna = 1

⇒ s y = 1/cos y

⇒ s y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sek-11/√(1 – x2)

⇒ bez-1x = sek-11/√(1 – x2)

Zatem udowodnione.

Pytanie 2: Spróbuj -1 x = cosek -1 √(1 + x 2 )/X

Rozwiązanie:

Niech tak-1x = y

⇒ tan y = x, prostopadła = x i podstawa = 1

⇒ grzech y = x/√(x2+ 1) , (ponieważ przeciwprostokątna = √(prostopadła2+ baza2) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosek y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = cosek-1√(x2+ 1)/x

⇒ więc-1x = cosek-1√(x2+ 1)/x

Zatem udowodnione.

Pytanie 3: Oceń siebie jako -1 X)

Rozwiązanie:

Niech cos-1x = y

⇒ cos y = x , podstawa = x i przeciwprostokątna = 1 zatem sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = grzech y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/X

⇒ y = tak-1√(1 – x2)/X

⇒ kosm-1x = tak-1√(1 – x2)/X

Dlatego opalenizna (cos-1x) = tan(tan-1√(1 – x2)/x) = √(1 – x2)/X.

Pytanie 4: tak -1 √(sin x) + łóżeczko -1 √(grzech x) = y. Znajdź co i.

Rozwiązanie:

Znamy tę opaleniznę-1x + łóżeczko dziecięce-1x = /2 zatem porównując tę ​​tożsamość z równaniem podanym w pytaniu otrzymujemy y = π/2

Zatem cos y = cos π/2 = 0.

Pytanie 5: tak -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan -1 x, x> 0. Znajdź x.

Rozwiązanie:

Więc-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan-1X

⇒ 2opalenizna-1(1 – x)/(1 + x) = tan-1x…(1)

Wiemy o tym, 2tan-1x = tak-12x/(1 – x2).

Dlatego LHS równania (1) można zapisać jako

Więc-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= tak-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= tak-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= tak-1(1 – x2)/(2x)

Ponieważ LHS = RHS zatem

Więc-1(1 – x2)/(2x) = opalenizna-1X

⇒ (1 – x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Ponieważ x musi być większe od 0, zatem akceptowalną odpowiedzią jest x = 1/√3.

Pytanie 6: Spróbuj -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Rozwiązanie:

Niech tak-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ więc2y = x

Dlatego,

RHS = (1/2)cos-1(1-tzw2y)/(1 + opalenizna2I)

= (1/2)cos-1(sałata2i bez2y)/(kos2i + bez2I)

= (1/2)cos-1(sałata2i bez2I)

= (1/2)cos-1(co 2 lata)

= (1/2)(2 lata)

= i

= tak-1√x

= LHS

Zatem udowodnione.

Pytanie 7: tak -1 (2x)/(1 – x 2 ) + łóżeczko dziecięce -1 (1 – x 2 )/(2x) = π/2, -1

Rozwiązania:

Więc-1(2x)/(1 – x2) + łóżeczko dziecięce-1(1 – x2)/(2x) = π/2

⇒ więc-1(2x)/(1 – x2) + tak-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2opalenizna-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ więc-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = tan ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 lub x = -1 – √2

Ale zgodnie z pytaniem x ∈ (-1, 1) zatem dla danego równania zbiorem rozwiązań jest x ∈ ∅.

Pytanie 8: tak -1 1/(1 + 1,2) + opalenizna -1 1/(1 + 2,3) + … + Więc -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 X. Rozwiąż x.

Rozwiązanie:

Więc-11/(1 + 1,2) + opalenizna-11/(1 + 2,3) + … + opalenizna-11/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ więc-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + opalenizna-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + tzw-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ (tj-12 – tak-11) + (tj-13 – tak-12) + … + (tzw-1(n + 1) – tak-1n) = tak-1X

⇒ więc-1(n + 1) – tak-11 = tak-1X

⇒ więc-1n/(1 + (n + 1).1) = tan-1X

⇒ więc-1n/(n + 2) = tan-1X

⇒ x = n/(n + 2)

Pytanie 9: Jeśli 2tan -1 (bez x) = tak -1 (2 sekundy x), a następnie oblicz x.

Rozwiązanie:

2opalenizna-1(bez x) = tak-1(2 sekundy x)

⇒ więc-1(2sin x)/(1 – grzech2x) = tak-1(2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – grzech2x) = 2/cos x

⇒ grzech x/cos2x = 1/cos x

⇒ grzech x sałata x = sałata2X

⇒ grzech x cos x – sałata2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 lub sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 lub tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 lub x = π/4

Ale przy x = π/2 dane równanie nie istnieje, stąd x = π/4 jest jedynym rozwiązaniem.

Pytanie 10: Udowodnij, że łóżeczko dziecięce -1 [ {√(1 + grzech x) + √(1 – grzech x)}/{√(1 + grzech x) – √(1 – grzech x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Rozwiązanie:

Niech więc x = 2y

LHS = łóżeczko dziecięce-1[{√(1+grzech 2y) + √(1-grzech 2y)}/{√(1+grzech 2y) – √(1-grzech 2y)}]

= łóżeczko dziecięce-1[{√(kos2i + bez2y + 2sin y cos y) + √(cos2i + bez2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2i + bez2y + 2sin y cos y) – √(cos2i + bez2y – 2sin i cos y)} ]

= łóżeczko dziecięce-1[{√(cos y + grzech y)2+ √(cos y – grzech y)2} / {√(cos y + grzech y)2– √(cos i – grzech i)2}]

= łóżeczko dziecięce-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= łóżeczko dziecięce-1(2cos y)/(2sin y)

= łóżeczko dziecięce-1(łóżeczko dziecięce i)

= i

= x/2.

Zadania praktyczne dotyczące odwrotnych tożsamości trygonometrycznych

Zadanie 1: Znajdź x w równaniu sin -1 (x) + sałata -1 (x) = π/2

Zadanie 2: Udowodnij opaleniznę -1 (1) + tak -1 (2) + tak -1 (3) = str

Problem 3: Oceń cos⁡(bez -1 (0,5))

Problem 4: Jeśli się opalasz -1 (x) + opalenizna -1 (2x) = π/4, następnie znajdź x

Często zadawane pytania dotyczące odwrotnych tożsamości trygonometrycznych

Co to są odwrotne funkcje trygonometryczne?

Odwrotne funkcje trygonometryczne to funkcje odwrotne podstawowych funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens, cosecans, secans i cotangens). Służą do znajdowania kątów odpowiadających danym stosunkom trygonometrycznym.

Dlaczego odwrotne funkcje trygonometryczne są ważne?

Odwrotne funkcje trygonometryczne są niezbędne w różnych dziedzinach, takich jak geometria, inżynieria i fizyka, ponieważ pomagają wyznaczać kąty na podstawie stosunków trygonometrycznych, co ma kluczowe znaczenie w rozwiązywaniu wielu praktycznych problemów.

Jakie są dziedziny i zakresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych?

Każda odwrotna funkcja trygonometryczna ma określone dziedziny i zakresy:

S W -1 (x): Dziedzina [-1, 1] i zakres [- π/2, π/2]

sałata -1 (x): Dziedzina [-1, 1] i zakres [0, π]

więc⁡ -1 (x): Dziedzina R i zakres (- π/2, π/2)

Czy w rachunku różniczkowym można używać odwrotnych funkcji trygonometrycznych?

Tak, odwrotne funkcje trygonometryczne są często używane w rachunku różniczkowym do całkowania i różniczkowania. Są one szczególnie przydatne do całkowania funkcji obejmujących wyrażenia trygonometryczne.