Lokalne maksima i minima odnoszą się do punktów funkcji, które określają najwyższy i najniższy zakres tej funkcji. Pochodną funkcji można wykorzystać do obliczenia lokalnych maksimów i lokalnych minimów. Lokalne maksima i minima można znaleźć, korzystając zarówno z testu pierwszej pochodnej, jak i testu drugiej pochodnej.

W tym artykule omówimy wprowadzenie, definicję i ważną terminologię lokalnych maksimów i minimów oraz ich znaczenie. Zrozumiemy także różne metody obliczania lokalnych maksimów i minimów w matematyce i rachunek różniczkowy . Rozwiążemy również różne przykłady i przedstawimy pytania praktyczne, aby lepiej zrozumieć koncepcję tego artykułu.

Spis treści

• Co to są lokalne maksima i lokalne minima?
• Definicja lokalnych maksimów i lokalnych minimów
• Terminy związane z lokalnymi maksimami i lokalnymi minimami
• Jak znaleźć lokalne maksima i minima?
• Przykłady lokalnych maksimów i lokalnych minimów

Co to są lokalne maksima i lokalne minima?

Lokalne maksima i minima określane są jako wartości maksymalne i minimalne w określonym przedziale. Lokalne maksimum występuje, gdy wartości a funkcjonować w pobliżu określonego punktu są zawsze mniejsze od wartości funkcji w tym samym punkcie. W przypadku minimów lokalnych wartości funkcji w pobliżu określonego punktu są zawsze większe niż wartości funkcji w tym samym punkcie.

W prostym sensie punkt nazywany jest maksimum lokalnym, gdy funkcja osiąga najwyższą wartość w określonym przedziale, a punkt nazywany jest minimum lokalnym, gdy funkcja osiąga najniższą wartość w określonym przedziale.

Na przykład, jeśli udasz się na pagórkowaty obszar i staniesz na szczycie wzgórza, punkt ten nazywany jest punktem lokalnego maksimum, ponieważ znajdujesz się w najwyższym punkcie w swoim otoczeniu. Podobnie, jeśli stoisz w najniższym punkcie rzeki lub morza, punkt ten nazywany jest punktem lokalnego minimum, ponieważ znajdujesz się w najniższym punkcie w swoim otoczeniu.

Definicja lokalnych maksimów i lokalnych minimów

Lokalne maksima i minima są wartościami początkowymi dowolnej funkcji, pozwalającymi zorientować się w jej granicach, np. najwyższej i najniższej wartości wyjściowej. Lokalne minima i lokalne maksima nazywane są także lokalnymi ekstremami.

Lokalne maksymy

Punkt lokalnego maksimum to punkt dowolnej funkcji, w którym funkcja osiąga swoją maksymalną wartość w określonym przedziale. Punkt (x = a) funkcji f (a) nazywany jest maksimum lokalnym, jeśli wartość f(a) jest większa lub równa wszystkim wartościom f(x).

ciąg.format

Matematycznie f (a) ≥ f (a -h) i f (a) ≥ f (a + h) gdzie h> 0, wówczas a nazywane jest lokalnym punktem maksymalnym.

Minima lokalne

Punkt lokalnego minimum to punkt dowolnej funkcji, w którym funkcja osiąga swoją wartość minimalną w określonym przedziale. Punkt (x = a) funkcji f (a) nazywany jest minimum lokalnym, jeśli wartość f(a) jest mniejsza lub równa wszystkim wartościom f(x).

Matematycznie f (a) ≤ f (a -h) i f (a) ≤ f (a + h) gdzie h> 0, wówczas a nazywane jest lokalnym punktem minimalnym.

Terminy związane z lokalnymi maksimami i lokalnymi minimami

Poniżej omówiono ważną terminologię związaną z lokalnymi maksimami i minimami:

Maksymalna wartość

Jeśli jakakolwiek funkcja daje maksymalną wartość wyjściową dla wartości wejściowej x. Ta wartość x nazywana jest wartością maksymalną. Jeśli jest zdefiniowany w określonym zakresie. Następnie nazywa się ten punkt Lokalne maksymy .

Absolutne maksimum

Jeśli jakakolwiek funkcja daje maksymalną wartość wyjściową dla wartości wejściowej x w całym zakresie funkcji. Ta wartość x nazywana jest maksimum absolutnym.

Minimalna wartość

Jeśli jakakolwiek funkcja podaje minimalną wartość wyjściową dla wartości wejściowej x. Ta wartość x nazywana jest wartością minimalną. Jeśli jest zdefiniowany w określonym zakresie. Następnie nazywa się ten punkt Minima lokalne .

Absolutne minimum

Jeśli jakakolwiek funkcja daje minimalną wartość wyjściową dla wartości wejściowej x w całym zakresie funkcji. Ta wartość x nazywana jest minimum absolutnym.

Punkt inwersji

Jeżeli wartość x w zakresie danej funkcji nie pokazuje najwyższego i najniższego wyjścia, nazywa się to Punktem Inwersji.

Ucz się więcej, Absolutne maksima i minima

Jak znaleźć lokalne maksima i minima?

Maksima i Minima Lokalne wyznaczane są tylko dla określonego zakresu, nie są to maksimum i minimum dla całej funkcji i nie dotyczą całego zakresu funkcji.

Istnieją następujące metody obliczania lokalnych maksimów i minimów. To są:

• W pierwszym kroku liczymy pochodną funkcji.

• W drugim kroku ustawiamy pochodną równą zero i obliczamy punkty krytyczne dla c.

• W trzecim kroku używamy Pierwsza pochodna I Test drugiej pochodnej w celu określenia lokalnych maksimów i lokalnych minimów.

Co to jest test pierwszej pochodnej?

Najpierw bierzemy pierwszą pochodną funkcji, która określa nachylenie funkcji. W miarę zbliżania się do punktu maksymalnego nachylenie funkcji rośnie, następnie w punkcie maksymalnym osiąga zero, a następnie maleje w miarę oddalania się od niego.

Podobnie w punkcie minimalnym, w miarę zbliżania się do punktu minimalnego, nachylenie krzywej maleje, następnie w punkcie minimalnym osiąga zero, a następnie wzrasta w miarę oddalania się od tego punktu.

Weźmy funkcję f(x), która w punkcie krytycznym c jest ciągła w przedziale otwartym I, a f'(c) = 0 oznacza nachylenie w punkcie krytycznym c = 0.

Aby sprawdzić naturę f'(x) wokół punktu krytycznego c, mamy następujące warunki do określenia wartości lokalnego maksimum i minimum z testu pierwszej pochodnej. Warunki te to:

• Jeśli f ′(x) zmienia znak z dodatniego na ujemny w miarę wzrostu x przez c, to f(c) pokazuje największą wartość tej funkcji w danym przedziale. Zatem punkt c jest punktem maksima lokalnego, jeśli pierwsza pochodna f’(x)> 0 w dowolnym punkcie wystarczająco blisko na lewo od c oraz f’(x) <0 w dowolnym punkcie wystarczająco blisko na prawo od c.

• Jeśli f ′(x) zmienia znak z ujemnego na dodatni w miarę wzrostu x przez c, to f(c) pokazuje najniższą wartość tej funkcji w danym przedziale. Zatem punkt c jest punktem minima lokalnego, jeśli pierwsza pochodna f’(x) wynosi 0 w dowolnym punkcie wystarczająco blisko na prawo od c.

• Jeżeli f'(x) nie zmienia znacząco znaku wraz ze wzrostem x przez c, to punkt c nie wykazuje najwyższej (Local Maxima) i najniższej (Local Minima) wartości funkcji. W takim przypadku punkt c jest zwany punktem przegięcia.

Przeczytaj więcej o Pierwszy test na pochodną .

Co to jest test drugiej pochodnej?

Test drugiej pochodnej służy do ustalenia wartości absolutnego maksimum i absolutnego minimum dowolnej funkcji w określonym przedziale. Weźmy funkcję f(x), która w punkcie krytycznym c jest ciągła w przedziale otwartym I, a f'(c) = 0 oznacza nachylenie w punkcie krytycznym c = 0. Tutaj bierzemy drugą pochodną f (x) funkcji f(x), która podaje nachylenie funkcji.

Aby sprawdzić naturę f'(x), mamy następujące warunki do określenia wartości lokalnego maksimum i minimum z testu drugiej pochodnej. Warunki te to:

• Punkt c jest punktem maksima lokalnego, jeśli pierwsza pochodna f'(c) = 0, a druga pochodna f(c) <0. Punkt w x= c będzie lokalnym maksimem, a f(c) będzie lokalną wartością maksymalną f(x).

• Punkt c jest punktem Minima Lokalnego, jeśli pierwsza pochodna f'(c) = 0, a f(c) druga pochodna> 0. Punkt w x= c będzie Minimem Lokalnym, a f(c) będzie Lokalna minimalna wartość f(x).

• Test nie jest spełniony, jeżeli pierwsza pochodna f'(c) = 0, a druga pochodna f(c) = 0, to punkt c nie wykazuje najwyższej (lokalne maksima) i najniższej (lokalne minima) wartości funkcji , W takim przypadku punkt c nazywany jest punktem przegięcia, a punkt x = c nazywany jest punktem przegięcia Punkt przegięcia.

Sprawdź także

• Zastosowanie instrumentów pochodnych
• Względne maksima i minima
• Formuła różniczkowania i całkowania

Przykłady lokalnych maksimów i lokalnych minimów

Przykład 1: Przeanalizuj lokalne maksima i lokalne minima funkcji f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 przy użyciu testu pierwszej pochodnej.

Rozwiązanie:

Podana funkcja to f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

Pierwsza pochodna funkcji to f'(x) = 6x²– 6x – 12, użyje go do znalezienia punktów krytycznych.

Aby znaleźć punkt krytyczny, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Zatem punktami krytycznymi są x = -1 i x = 2.

Przeanalizuj punkt bezpośredni pierwszej pochodnej do punktu krytycznego x = -1. Punkty to {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 i f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Znak pochodnej jest dodatni w lewo od x = -1 i ujemny w prawo. Zatem wskazuje, że x = -1 jest lokalnym maksimem.

Przeanalizujmy teraz punkt bezpośredni pierwszej pochodnej do punktu krytycznego x = 2. Punkty wynoszą {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 i f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

Java ma następną

Znak pochodnej jest ujemny w lewo od x = 2 i dodatni w prawo. Zatem wskazuje, że x = 2 jest minimem lokalnym.

Dlatego lokalne maksima wynoszą -1, a lokalne minima wynoszą 2.

Przykład 2: Przeanalizuj lokalne maksima i lokalne minima funkcji f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 przy użyciu testu drugiej pochodnej.

Rozwiązanie:

Podana funkcja to f(x) = -x³+6x²-12x +10

Pierwsza pochodna funkcji to f'(x) = -x³+6x²-12x +10, użyje go do znalezienia punktów krytycznych.

Aby znaleźć punkt krytyczny, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

X²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

Stąd punktami krytycznymi są x = 1 i x = 3

Teraz weź drugą pochodną funkcji,

f(x) = 6x – 12

Oceń f(x) w punkcie krytycznym x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, a zatem x = 1 odpowiada lokalnym maksimam.

Oszacuj f(x) w punkcie krytycznym x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, a zatem x = 3 odpowiada minimom lokalnym.

Teraz obliczymy wartości funkcji w punktach krytycznych:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, dlatego lokalne maksimum wynosi (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, dlatego lokalne maksimum wynosi (3, 1)

Ćwicz pytania dotyczące lokalnych minimów i maksimów

Pytanie 1. Znajdź lokalne maksima i lokalne minima funkcji f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 przy użyciu testu drugiej pochodnej.

Pytanie 2. Znajdź i przeanalizuj lokalne maksima i lokalne minima funkcji f(x) = – x²+4x -5 przy użyciu testu drugiej pochodnej.

Pytanie 3. Znajdź lokalne maksima i lokalne minima funkcji f(x) = x²-4x +5 przy użyciu testu pierwszej pochodnej.

Verma dhanashree

Pytanie 4. Znajdź i przeanalizuj lokalne maksima i lokalne minima funkcji f(x) = 3x²-12x +5 przy użyciu testu pierwszej pochodnej.

Pytanie 5. Znajdź i przeanalizuj lokalne maksima i lokalne minima funkcji f(x) = x³– 6x²+9x + 15 przy użyciu testu pierwszej pochodnej.

Pytanie 6. Znajdź i przeanalizuj lokalne maksima i lokalne minima funkcji f(x) = 2x³-9x²+12x +5 przy użyciu testu drugiej pochodnej.

Lokalne maksima i lokalne minima – często zadawane pytania

Co to są maksima lokalne?

Punkt nazywany jest maksimem lokalnym, gdy funkcja osiąga najwyższą wartość w określonym przedziale.

Jak znaleźć maksimum lokalne?

Różniczkując funkcję i znajdując wartość krytyczną, przy której nachylenie wynosi zero, możemy znaleźć maksimum lokalne.

Co to są minima lokalne?

Punkt nazywa się minimem lokalnym, gdy funkcja osiąga najniższą wartość w określonym przedziale.

Jakich metod można użyć do obliczenia lokalnych maksimów i lokalnych minimów?

Test pierwszej pochodnej i test drugiej pochodnej.

Jaka jest różnica między testem pierwszej pochodnej a testem drugiej pochodnej?

Test pierwszej pochodnej jest przybliżoną metodą obliczania wartości maksimów lokalnych i minimów lLcal, a test drugiej pochodnej jest systematyczną i dokładną metodą obliczania wartości maksimów lokalnych i minimów lokalnych.

Jakie jest znaczenie punktu inwersji?

Jeżeli wartość punktu w zakresie danej funkcji nie wykazuje wartości najwyższej i najniższej, punkt ten nazywany jest Punktem Inwersji.

Jakie jest zastosowanie lokalnych maksimów i lokalnych minimów?

Aby znaleźć ekstremalną wartość funkcji w określonym zakresie.