Normalna dystrybucja: Rozkład normalny jest najpowszechniejszą lub normalną formą rozkładu zmiennych losowych, stąd nazwa rozkład normalny. Nazywa się to również Rozkład Gaussa w statystyce lub prawdopodobieństwie. Używamy tego rozkładu do reprezentowania dużej liczby zmiennych losowych.

Dowiedzmy się o Szczegółowy rozkład normalny, w tym jego wzór, cechy i przykłady.

Spis treści

• Co to jest rozkład normalny?
• Przykłady rozkładu normalnego
• Formuła rozkładu normalnego
• Krzywa rozkładu normalnego
• Odchylenie standardowe rozkładu normalnego
• Wykres rozkładu normalnego
• Tabela rozkładu normalnego
• Właściwości rozkładu normalnego
• Rozkład normalny w statystyce
• Normalne problemy i rozwiązania dotyczące dystrybucji

Co to jest rozkład normalny?

Definiujemy rozkład normalny jako funkcję gęstości prawdopodobieństwa dowolnej ciągłej zmiennej losowej dla dowolnego układu. Załóżmy teraz, że przy definiowaniu rozkładu normalnego przyjmujemy f(x) jako funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla dowolnej zmiennej losowej X.

Ponadto funkcja jest całkowana między przedziałem (x, {x + dx}), a następnie:

f(x) ≥ 0 ∀ x ϵ (−∞,+∞),

_-∞ ∫ ^+∞ f(x) = 1

Zauważamy, że krzywa wyznaczana przez górne wartości Rozkładu Normalnego ma kształt dzwonu, dlatego też Rozkład Normalny nazywany jest także Krzywa Bella .

Sprawdzać: Python – rozkład normalny w statystyce

Przykłady rozkładu normalnego

Możemy narysować rozkład normalny dla różnych typów danych, które obejmują:

• Rozkład wzrostu ludzi
• Rozkład błędów w dowolnym pomiarze
• Rozkład ciśnienia krwi dowolnego pacjenta itp.

Formuła rozkładu normalnego

Poniżej dodano wzór na funkcję gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego (rozkładu Gaussa):

funkcja podciągu Java

Gdzie,

• x jest Zmienna losowa
• jest Mieć na myśli
• σ jest Odchylenie standardowe

Krzywa rozkładu normalnego

W jakimkolwiek Rozkład normalny, zmienne losowe to zmienne, które przyjmują nieznane wartości związane z rozkładem i są zazwyczaj ograniczone zakresem.

Przykładem zmiennej losowej jest, załóżmy, że weźmiemy a rozkładu wzrostu uczniów w klasie, wówczas zmienna losowa może przyjąć w tym przypadku dowolną wartość przypadku, ale jest ograniczony granicą od 2 stóp do 6 stóp, ponieważ zazwyczaj jest to wymuszone fizycznie.

• Zakres dowolny rozkład normalny może być nieskończony, w tym przypadku mówimy, że rozkład normalny nie ma wpływu na jego zasięg. W tym przypadku zakres wydłuża się od –∞ do + ∞.
• W takim razie Bell Curve nadal istnieje wszystkie zmienne w tym zakresie nazywane są zmiennymi ciągłymi a ich rozkład nazywa się rozkładem normalnym, ponieważ wszystkie wartości są na ogół zamknięte i wyrównane do wartości średniej.
• The wykres lub krzywa dla tego samego nazywa się krzywą rozkładu normalnego lub wykresem rozkładu normalnego.

Odchylenie standardowe rozkładu normalnego

Wiemy, że średnia dowolnych danych rozłożonych na wykresie pomaga nam znaleźć linię symetrii wykresu, podczas gdy odchylenie standardowe mówi nam, jak daleko dane są rozłożone od wartości średniej po obu stronach. Dla mniejszych wartości odchylenia standardowego wartości na wykresie zbliżają się do siebie i wykres staje się węższy. Natomiast dla wyższych wartości odchylenia standardowego wartości na wykresie są bardziej rozproszone i wykres staje się szerszy.

Empiryczna zasada odchylenia standardowego

Ogólnie rzecz biorąc, rozkład normalny ma dodatnie odchylenie standardowe, a odchylenie standardowe dzieli obszar krzywej normalnej na mniejsze części, a każda część określa procent danych przypadających na określony obszar. Nazywa się to empiryczną regułą odchylenia standardowego w rozkładzie normalnym .

Reguła empiryczna stwierdza, że

• 68% danych mieści się w przybliżeniu w granicach jednego odchylenia standardowego średniej, tj. mieści się w przedziale { Średnia – jedno odchylenie standardowe i średnia + jedno odchylenie standardowe }
• 95% danych mieści się w przybliżeniu w granicach dwóch odchyleń standardowych od średniej, tj. mieści się pomiędzy { Średnia – dwa odchylenie standardowe i średnia + dwa odchylenie standardowe }
• 99,7% danych mieści się w przybliżeniu w granicach trzeciego odchylenia standardowego średniej, tj. mieści się w przedziale { Średnia – trzecie odchylenie standardowe i średnia + trzecie odchylenie standardowe }

Wykres rozkładu normalnego

Uczenie się z wykresu jasno wynika, że ​​stosując Regułę empiryczną, dzielimy dane zasadniczo na trzy części. I dlatego reguła empiryczna nazywana jest również regułą 68 – 95 – 99,7.

Sprawdzać: Matematyka | Rozkład prawdopodobieństwa zestaw 3 (rozkład normalny)

znajdź na mapie C++

Tabela rozkładu normalnego

Tabela rozkładu normalnego, zwana także tablicą rozkładu normalnego Z, jest tabelą wartości z dla rozkładu normalnego. Ta tabela rozkładu normalnego Z jest podana w następujący sposób:

Właściwości rozkładu normalnego

Niektóre ważne właściwości rozkładu normalnego to:

• W przypadku normalnego rozkładu danych średnia, mediana i moda są równe (tj. Średnia = Mediana = Tryb).
• Całkowita powierzchnia pod krzywą rozkładu normalnego wynosi 1.
• Krzywa o rozkładzie normalnym jest symetryczna w środku wzdłuż średniej.
• Na krzywej o rozkładzie normalnym znajduje się dokładnie połowa wartości po prawej stronie wartości środkowej i dokładnie połowa wartości po prawej stronie wartości środkowej.
• Rozkład normalny definiuje się za pomocą wartości średniej i odchylenia standardowego.

• Krzywa rozkładu normalnego jest krzywą jednomodalną, tj. krzywą z tylko jednym pikiem

Ludzie Zobacz także:

• Rozkład Poissona
• Rozkład dwumianowy
• Rozkład prawdopodobieństwa

Rozkład normalny w statystyce

• Rozkład normalny, znany również jako rozkład Gaussa , jest krzywa w kształcie dzwonu, która opisuje dużą liczbę zjawisk w świecie rzeczywistym . Jest to jedno z najważniejszych pojęć w statystyce, ponieważ pojawia się w wielu obszarach nauki.
• Krzywa w kształcie dzwonu : Wyobraź sobie symetryczny dzwon, w którym środek jest najwyższym punktem, a ogony zwężają się po obu stronach. To jest podstawowy kształt rozkładu normalnego. Większość punktów danych skupia się wokół środka, a w miarę oddalania się od środka punkty danych stają się rzadsze.
• Tendencja centralna: Środek krzywej dzwonowej reprezentuje tendencję centralną danych, co oznacza, że ​​pokazuje, gdzie koncentruje się większość wartości. Może to być średnia, mediana lub tryb, w zależności od konkretnego zestawu danych.
• Rozprzestrzenianie danych: Szerokość krzywej dzwonowej wskazuje stopień rozproszenia danych, szersza krzywa oznacza, że ​​punkty danych są bardziej rozproszone, podczas gdy węższa krzywa oznacza, że ​​punkty danych są bliżej siebie.
• Zmienne losowe: Rozkład normalny jest zwykle używany w przypadku ciągłych zmiennych losowych, które mogą przyjmować dowolną wartość w określonym zakresie. Przykładami mogą tu być wzrost, waga, wyniki IQ lub oceny z egzaminów.

Sprawdzać : Rozkład normalny w statystyce biznesowej

Normalne problemy i rozwiązania dotyczące dystrybucji

Rozwiążmy kilka problemów dotyczących rozkładu normalnego

Przykład 1: Znajdź funkcję gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego następujących danych. x = 2, μ = 3 i σ = 4.

Rozwiązanie:

Dany,

• Zmienna (x) = 2
• Średnia = 3
• Odchylenie standardowe = 4

Korzystając ze wzoru na gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Uproszczenie,

f(2, 3, 4) = 0,09666703

Przykład 2: Jeśli wartość zmiennej losowej wynosi 4, średnia wynosi 4, a odchylenie standardowe wynosi 3, znajdź funkcję gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Gaussa.

jak duży jest ekran mojego monitora

Rozwiązanie:

Dany,

• Zmienna (x) = 4
• Średnia = 4
• Odchylenie standardowe = 3

Korzystając ze wzoru na gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Uproszczenie,

f(4, 4, 3) = 1/(3√2π)e⁰

f(4, 4, 3) = 0,13301

Wniosek – rozkład normalny

Rozkład normalny, znany również jako rozkład Gaussa, jest podstawowym pojęciem w statystyce i teorii prawdopodobieństwa. Charakteryzuje się krzywą w kształcie dzwonu, która jest symetryczna i wyśrodkowana wokół średniej. Właściwości rozkładu normalnego, takie jak jego średnia i odchylenie standardowe, odgrywają kluczową rolę w wielu analizach i zastosowaniach statystycznych. Rozkłady normalne są szeroko stosowane w takich dziedzinach, jak finanse, inżynieria, nauki przyrodnicze i nauki społeczne do modelowania i analizowania szerokiego zakresu zjawisk. Zrozumienie rozkładu normalnego pozwala na lepszą interpretację danych, szacowanie prawdopodobieństw i podejmowanie świadomych decyzji w oparciu o wnioski statystyczne.

Często zadawane pytania dotyczące rozkładu normalnego

Co to jest rozkład normalny?

W statystyce rozkład normalny to rozkład prawdopodobieństwa symetryczny względem średniej, pokazujący, że dane zbliżone do średniej występują częściej niż dane odległe od średniej.

Dlaczego rozkład normalny nazywa się normalnym?

Rozkład normalny, zwany także rozkładem Gaussa, nazywany jest normalnym, ponieważ wykazano, że różne naturalne procesy zwykle podążają za rozkładem Gaussa i stąd nazwa rozkładu normalnego.

Java analizuje ciąg znaków na int

Co to jest wykres rozkładu normalnego?

Wykres rozkładu normalnego, znany również jako rozkład Gaussa lub krzywa dzwonowa, jest specyficznym typem rozkładu prawdopodobieństwa. Charakteryzuje się symetryczną krzywą w kształcie dzwonu nakreśloną na wykresie.

Co to jest tabela rozkładu normalnego Z?

Tabela Z, znana również jako standardowa tabela rozkładu normalnego lub tabela wyników Z, to tabela referencyjna używana w statystyce do znajdowania prawdopodobieństw związanych z określonymi wartościami w standardowym rozkładzie normalnym.

Jakie są cechy rozkładu normalnego?

Właściwości rozkładu normalnego to:

• Krzywa rozkładu normalnego jest symetryczna względem średniej.
• Rozkład normalny ma charakter unimodalny, tj. ma jedną wartość szczytową.
• Krzywa rozkładu normalnego ma zawsze kształt dzwonu.
• Średnia, tryb i mediana dla rozkładu normalnego jest zawsze taki sam.
• Rozkład normalny jest zgodny z regułą empiryczną.

Co to jest średnia rozkładu normalnego?

Średnia (oznaczona jako μ) reprezentuje centralną lub średnią wartość danych. Jest to także punkt, wokół którego dane są rozłożone symetrycznie.

Co to jest odchylenie standardowe rozkładu normalnego?

Odchylenie standardowe (oznaczone jako σ) mierzy rozproszenie lub rozproszenie punktów danych w rozkładzie. Mniejsze σ wskazuje, że punkty danych są ściśle upakowane wokół średniej, podczas gdy większe σ oznacza większy rozrzut.

Co to jest reguła empiryczna (reguła 68-95-99.7)?

Reguła empiryczna dla stanów rozkładu normalnego,

• Około 68% danych mieści się w zakresie jednego odchylenia standardowego od średniej.
• Około 95% mieści się w granicach dwóch odchyleń standardowych od średniej.
• Około 99,7% mieści się w trzech odchyleniach standardowych od średniej.

Jakie są zastosowania rozkładu normalnego?

Różne zastosowania rozkładu normalnego to:

• Do badania różnych zjawisk naturalnych
• Do badania danych finansowych.
• W naukach społecznych do badania i przewidywania różnych parametrów itp.

Jakie są ograniczenia rozkładu normalnego?

Rozkład normalny jest niezwykle ważną koncepcją statyczną, ale nawet ona ma pewne ograniczenia, takie jak:

• Różnorodny rozkład danych nie jest zgodny z rozkładem normalnym i dlatego nie można komentować tych danych.
• Nadmierne poleganie na rozkładzie normalnym lub krzywej Bella nie jest dobrym sposobem na przewidywanie danych, ponieważ nie są one w 100% dokładne itp.