Odchylenie standardowe jest miarą rozproszenia statystyki. Wzór na odchylenie standardowe służy do znajdowania odchylenia wartości danych od wartości średniej, tj. służy do znajdowania rozproszenia wszystkich wartości w zbiorze danych do wartości średniej. Istnieją różne wzory na odchylenie standardowe służące do obliczania odchylenia standardowego zmiennej losowej.
W tym artykule dowiemy się o czym jest odchylenie standardowe, wzory na odchylenie standardowe, jak obliczyć odchylenie standardowe i szczegółowe przykłady odchylenia standardowego.
Spis treści
- Co to jest odchylenie standardowe?
- Wzór na odchylenie standardowe
- Jak obliczyć odchylenie standardowe?
- Co to jest wariancja
- Formuła wariancji
- Jak obliczyć wariancję?
- Odchylenie standardowe niezgrupowanych danych
- Odchylenie standardowe dyskretnych zgrupowanych danych
- Odchylenie standardowe ciągłych zgrupowanych danych
- Odchylenie standardowe rozkładu prawdopodobieństwa
- Odchylenie standardowe zmiennych losowych
- Wzór odchylenia standardowego w programie Excel
- Statystyka formuły odchylenia standardowego
Co to jest odchylenie standardowe?
Odchylenie standardowe definiuje się jako stopień rozproszenia punktu danych w stosunku do średniej wartości punktu danych. Mówi nam, jak wartość punktów danych różni się od średniej wartości punktu danych i mówi nam o zmienności punktu danych w próbce danych.
Odchylenie standardowe danej próbki zbioru danych jest również definiowane jako pierwiastek kwadratowy z zmienność zbioru danych. Średnie odchylenie z n wartości (powiedzmy x1, X2, X3, …, XN) oblicza się, biorąc sumę kwadratów różnicy każdej wartości ze średniej, tj.
Średnie odchylenie = 1/n∑ I N (X I - X) 2
Odchylenie średnie służy do informowania nas o rozproszeniu danych. Mniejszy stopień odchylenia mówi nam, że obserwacje xi są bliskie wartości średniej i depresja jest niewielka, natomiast większy stopień odchylenia mówi, że obserwacje xi są daleko od wartości średniej i rozproszenie jest duże.
iteracja mapy w Javie
Definicja odchylenia standardowego
Odchylenie standardowe jest miarą stosowaną w statystyce, aby zrozumieć, w jaki sposób punkty danych w zestawie są rozłożone od mieć na myśli wartość. Wskazuje stopień zmienności danych i pokazuje, jak daleko poszczególne punkty danych odbiegają od średniej.
Sprawdzać: Jak znaleźć odchylenie standardowe w statystykach?
Wzór na odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe służy do pomiaru rozrzutu danych statystycznych. Mówi nam o tym, jak rozłożone są dane statystyczne. Wzór do obliczania odchylenia standardowego służy do znalezienia odchylenia wszystkich zbiorów danych od ich średniego położenia. Możesz mieć pytania dotyczące odchylenia standardowego, jak obliczyć lub jak obliczyć odchylenie standardowe . Istnieją dwa wzory na odchylenie standardowe, które służą do znalezienia odchylenia standardowego dowolnego zbioru danych. Oni są,
- Wzór na odchylenie standardowe populacji
- Przykładowy wzór na odchylenie standardowe
Gdzie,
- s to odchylenie standardowe populacji
- X I czy ja t obserwacja
- x̄ to średnia próbki
- N to liczba obserwacji
Gdzie,
- σ to odchylenie standardowe populacji
- XIczy jatObserwacja
- μ to średnia populacji
- N to liczba obserwacji
Warto zauważyć, że obie formuły wyglądają tak samo i mają jedynie zmiany slajdów w mianowniku. Mianownik w przypadku próbki to n-1 ale w przypadku populacja to N. Początkowo mianownik w Odchylenie standardowe próbki formuła ma N w mianowniku, ale wynik z tego wzoru nie był odpowiedni. Wprowadzono zatem korektę i n zastępuje się n-1. Korekta ta nazywa się poprawką Bessela co z kolei przyniosło najbardziej odpowiednie rezultaty.
Czytaj więcej: Różnica między wariancją a odchyleniem standardowym
Wzór do obliczania odchylenia standardowego
Wzór używany do obliczania odchylenia standardowego jest omówiony na obrazku poniżej,
Jak obliczyć odchylenie standardowe?
Ogólnie rzecz biorąc, kiedy mówimy o odchyleniu standardowym, mówimy odchylenie standardowe populacji . Etapy obliczania odchylenia standardowego danego zbioru wartości są następujące:
Krok 1: Oblicz średnią obserwacji korzystając ze wzoru
(Średnia = suma obserwacji/liczba obserwacji)
Krok 2: Oblicz kwadratowe różnice wartości danych od średniej.
(Wartość danych – średnia)2
Krok 3: Oblicz średnią kwadratów różnic.
(Wariancja = suma kwadratów różnic / liczba obserwacji)
Krok 4: Oblicz pierwiastek kwadratowy z wariancji, co daje odchylenie standardowe.
(Odchylenie standardowe = √ Wariancja)
Co to jest wariancja
Wariancja zasadniczo mówi nam, jak rozproszony jest zbiór danych. Jeśli wszystkie punkty danych są takie same, wariancja wynosi zero. Każda niezerowa wariancja jest uważana za dodatnią . Niska wariancja oznacza, że punkty danych znajdują się blisko średniej (lub średniej) i siebie nawzajem. Wysoka wariancja oznacza, że punkty danych są odsunięte od średniej i od siebie. Mówiąc najprościej, wariancja to średnia kwadratu odległości każdego punktu danych od średniej.
Różnica między wariancją a odchyleniem
| Aspekt | Zmienność | Odchylenie (odchylenie standardowe) |
|---|---|---|
| Definicja | Miara rozproszenia w zbiorze danych. | Miara średniej odległości od średniej. |
| Obliczenie | Średnia kwadratów różnic od średniej. | Pierwiastek kwadratowy wariancji. |
| Symbol | σ^2 (sigma do kwadratu) | σ (sigma) |
| Interpretacja | Wskazuje średni kwadrat odchylenia punktów danych od średniej. | Wskazuje średnią odległość punktów danych od średniej. |
Sprawdzać:
- Różnica między wariancją a odchyleniem standardowym
- Średnia, wariancja i odchylenie standardowe
Formuła wariancji
Wzór na obliczenie wariancji zbioru danych jest następujący:
Wariancja (σ^2) = Σ [(x – μ)^2] / N
Gdzie:
- Σ oznacza sumowanie (dodawanie)
- x reprezentuje każdy indywidualny punkt danych
- μ (mu) to średnia (średnia) zbioru danych
- N to całkowita liczba punktów danych
Jak obliczyć wariancję?
Etapy obliczania wariancji zbioru danych:
Krok 1: Oblicz średnią (średnią):
Dodaj wszystkie wartości w zbiorze danych i podziel przez całkowitą liczbę wartości. To daje średnią (μ).
Średnia (μ) = (Suma wszystkich wartości) / (Całkowita liczba wartości)
Krok 2: Znajdź kwadraty różnic od średniej:
Dla każdej wartości w zbiorze danych odejmij od tej wartości średnią obliczoną w pierwszym kroku, a następnie podnieś wynik do kwadratu. Daje to kwadrat różnicy dla każdej wartości.
Kwadratowa różnica dla każdej wartości = (wartość – średnia)^2
Krok 3: Oblicz średnią kwadratów różnic:
Dodaj wszystkie kwadraty różnic obliczone w poprzednim kroku, a następnie podziel przez całkowitą liczbę wartości w zbiorze danych. Daje to wariancję (σ^2).
Wariancja (σ^2) = (Suma wszystkich kwadratów różnic) / (Całkowita liczba wartości)
Sprawdzać: Wariancja i odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe niezgrupowanych danych
Metoda zakładanej średniej
Odchylenie standardowe metodą średniej rzeczywistej
Metoda odchylenia standardowego metodą średniej rzeczywistej wykorzystuje podstawowy wzór średniej do obliczenia średniej danych i używając tej średniej wartości, znajdujemy odchylenie standardowe danych wartości. W tej metodzie średnią obliczamy ze wzoru:
μ = (suma obserwacji)/(liczba obserwacji)
I następnie odchylenie standardowe oblicza się przy użyciu wzoru na odchylenie standardowe.
σ = √(∑ I N (X I - X) 2 /N)
Przykład: Znajdź odchylenie standardowe zbioru danych. X = {2, 3, 4, 5, 6}
Rozwiązanie:
Dany,
- n = 5
- XI= {2, 3, 4, 5, 6}
Wiemy,
Średnia (μ) = (suma obserwacji)/(liczba obserwacji)
⇒ μ = (2 + 3 + 4 + 5 + 6)/ 5
⇒ μ = 4
P2= ∑IN(XI- X)2/N
⇒ s2= 1/n[(2 – 4)2+ (3 – 4)2+ (4 – 4)2+ (5 – 4)2+ (6 – 4)2]
⇒ s2= 10/5 = 2
Zatem σ = √(2) = 1,414
Odchylenie standardowe według metody zakładanej średniej
W przypadku bardzo dużych wartości x znalezienie średniej zgrupowanych danych jest żmudnym zadaniem, dlatego przyjęliśmy dowolną wartość (A) jako wartość średnią, a następnie obliczyliśmy odchylenie standardowe metodą normalną. Załóżmy, że dla grupy n wartości danych ( x1, X2, X3, …, XN), zakładana średnia to A, to odchylenie wynosi,
D I = x I - A
Teraz, zakładana średnia formuła to,
σ = √(∑ I N (D I ) 2 /N)
Odchylenie standardowe metodą odchylenia krokowego
Odchylenie standardowe zgrupowanych danych możemy również obliczyć metodą odchylenia schodkowego. Podobnie jak w powyższej metodzie, również w tej metodzie jako zakładaną średnią wybieramy dowolną wartość danych (powiedzmy A). Następnie obliczamy odchylenia wszystkich wartości danych (x 1 , X 2 , X 3 , …, X N ), D I = x I - A
W następnym kroku obliczamy odchylenia krokowe (d’) za pomocą
d’ = d/i
Gdzie ' I „jest wspólnym czynnikiem wszystkich wartości „d”.
Następnie, wzór na odchylenie standardowe to:
σ = √[(∑(d’) 2 /n) – (∑d’n) 2 ] × ja
Gdzie ' N „ oznacza całkowitą liczbę wartości danych
Odchylenie standardowe dyskretnych zgrupowanych danych
W przypadku danych pogrupowanych najpierw sporządzono tabelę częstości, a następnie dokonano dalszych obliczeń. W przypadku dyskretnych pogrupowanych danych odchylenie standardowe można również obliczyć za pomocą trzech metod, którymi są:
- Metoda średniej rzeczywistej
- Metoda zakładanej średniej
- Metoda odchylenia krokowego
Wzór na odchylenie standardowe oparty na dyskretnym rozkładzie częstotliwości
Dla danego zbioru danych, jeśli ma on n wartości (x1, X2, X3, …, XN), a odpowiadająca im częstotliwość wynosi (f1, F2, F3, …, FN) to jego odchylenie standardowe oblicza się ze wzoru,
σ = √(∑ I N F I (X I - X) 2 /N)
Gdzie,
- N jest częstotliwością całkowitą (n = f1+ f2+ f3+…+ fN)
- X oznacza średnią danych
Przykład: Oblicz odchylenie standardowe dla podanych danych
XI | FI |
|---|---|
| 10 | 1 |
| 4 | 3 |
| 6 | 5 |
| 8 | 1 |
Rozwiązanie:
Średnia (x̄) = ∑(fIXI)/∑(fI)
⇒ Średnia (μ) = (10×1 + 4×3 + 6×5 + 8×1)/(1+3+5+1)
⇒ Średnia (μ) = 60/10 = 6
n = ∑(fI) = 1+3+5+1 = 10
| XI | FI | FIXI | (XI- X) | (XI- X)2 | FI(XI- X)2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 1 | 10 | 4 | 16 | 16 |
| 4 | 3 | 12 | -2 | 4 | 12 |
| 6 | 5 | 30 | 0 | 0 | 0 |
| 8 | 1 | 8 | 2 | 4 | 8 |
Teraz,
σ = √(∑ I N F I (X I - X) 2 /N)
⇒ σ = √[(16 + 12 + 0 +8)/10]
⇒ σ = √(3,6) = 1,897
Wyprowadzenie standardowe (σ) = 1,897
D I = x I - A
Teraz wzór na odchylenie standardowe metodą przyjętej średniej to:
σ = √[(∑(f I D I ) 2 /n) – (∑f I D I /N) 2 ]
Gdzie,
- ' F „jest częstotliwością wartości danych x
- ' N „to częstotliwość całkowita”. [n = ∑(f I )]
W następnym kroku obliczamy odchylenia krokowe (d’) za pomocą
d’ = d/i
Gdzie ' I „jest wspólnym czynnikiem wszystkich” D wartości
Następnie, wzór na odchylenie standardowe to:
σ = √[(∑(fd’) 2 /n) – (�’/n) 2 ] × ja
Gdzie ' N „ oznacza całkowitą liczbę wartości danych
Odchylenie standardowe ciągłych zgrupowanych danych
W przypadku ciągłych pogrupowanych danych możemy łatwo obliczyć odchylenie standardowe za pomocą wzorów na dane dyskretne, zastępując każdą klasę jej punktem środkowym (jako xI), a następnie normalnie obliczając formuły.
Punkt środkowy każdej klasy oblicza się za pomocą wzoru,
X I (Punkt środkowy) = (Górna granica + Dolna granica)/2
Na przykład, Oblicz odchylenie standardowe ciągłych pogrupowanych danych zgodnie z tabelą,
| Klasa | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 |
|---|---|---|---|---|
Częstotliwość (npI) | 2 | 4 | 2 | 2 |
Metoda średniej rzeczywistej
- Metoda zakładanej średniej
- Metoda odchylenia krokowego
Do znalezienia odchylenia standardowego możemy użyć dowolnej z powyższych metod. Tutaj znajdujemy odchylenie standardowe przy użyciu metody średniej rzeczywistej.
Rozwiązaniem powyższego pytania jest:
| Klasa | 5-15 | 15-25 | 25-35 | 35-45 |
|---|---|---|---|---|
| XI | 10 | 20 | 30 | 40 |
Częstotliwość (npI) | 2 | 4 | 2 | 2 |
Średnia (x̄) = ∑(fIXI)/∑(fI)
⇒ Średnia (μ) = (10×2 + 20×4 + 30×2 + 40×2)/(2+4+2+2)
⇒ Średnia (μ) = 240/10 = 24
n = ∑(fI) = 2+4+2+2 = 10
| XI | FI | FIXI | (XI- X) | (XI- X)2 | FI(XI- X)2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 2 | 20 | 14 | 196 | 392 |
| 20 | 4 | 80 | -4 | 16 | 64 |
| 30 | 2 | 60 | 6 | 36 | 72 |
| 40 | 2 | 80 | 16 | 256 | 512 |
Teraz,
σ = √(∑ I N F I (X I - X) 2 /N)
⇒ σ = √[(392 + 64 + 72 +512)/10]
⇒ σ = √(104) = 10198
Wyprowadzenie standardowe (σ) = 10198
Podobnie można również zastosować inne metody do znalezienia odchylenia standardowego ciągłych pogrupowanych danych.
Sprawdzać: Odchylenie standardowe w poszczególnych seriach
Odchylenie standardowe rozkładu prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo wszystkich możliwych wyników jest na ogół równe i podejmujemy wiele prób, aby znaleźć eksperymentalne prawdopodobieństwo danego eksperymentu.
- W przypadku rozkładu normalnego średnia oczekiwana wynosi zero, a odchylenie standardowe wynosi 1.
- W przypadku rozkładu dwumianowego odchylenie standardowe jest określone wzorem:
σ = √(npq)
Gdzie,
- N to Liczba prób
- P jest prawdopodobieństwem powodzenia próby
- Q to prawdopodobieństwo niepowodzenia próby (q = 1 – p)
- W przypadku rozkładu Poissona odchylenie standardowe jest określone przez
σ = √λt
Gdzie,
- l to średnia liczba sukcesów
- T jest podanym przedziałem czasowym
Odchylenie standardowe zmiennych losowych
Zmienne losowe są wartościami liczbowymi, które oznaczają możliwy wynik losowego eksperymentu w przestrzeni próbki. Obliczenie odchylenia standardowego zmiennej losowej mówi nam o rozkładzie prawdopodobieństwa zmiennej losowej i stopniu różnicy od wartości oczekiwanej.
Używamy X, Y i Z jako funkcje reprezentujące zmienne losowe. Prawdopodobieństwo wystąpienia zmiennej losowej oznacza się jako P(X), a wartość oczekiwaną oznacza się symbolem μ.
Następnie odchylenie standardowe rozkładu prawdopodobieństwa podaje się za pomocą wzoru:
σ = √(∑ (x I - M) 2 × P(X)/n)
sieci i typy
Czytaj więcej,
- Mieć na myśli
- Tryb
- Średnie odchylenie
Przykład wzoru na odchylenie standardowe
Przykład 1: Znajdź odchylenie standardowe następujących danych,
XI | 5 | 12 | piętnaście |
|---|---|---|---|
FI | 2 | 4 | 3 |
Rozwiązanie:
Najpierw utwórz tabelę w następujący sposób, abyśmy mogli łatwo obliczyć dalsze wartości.
XI | FI | XI×fI | XI- M | (Xi-μ)2 | f×(XI-M)2 |
|---|---|---|---|---|---|
5 | 2 | 10 | -6375 | 40,64 | 81,28 |
12 | 3 | 36 | 0,625 jak przekonwertować z int na string w Javie | 0,39 | 1.17 |
piętnaście | 3 | Cztery pięć | 3625 | 13.14 | 39,42 |
Całkowity | 8 | 91 |
|
| 121,87 |
Średnia (μ) = ∑(f I X I )/∑(f I )
⇒ Średnia (μ) = 91/8 = 11,375
σ = √(∑ I N F I (X I - M) 2 /N)
⇒ σ = √[(121,87)/(8)]
⇒ σ = √(15,234)
⇒ σ = 3,90
Wyprowadzenie standardowe (σ) = 3,90
Rozwiązanie:
Klasa | Xi | FI | f×Xi | Xi – μ | (Xi – µ)2 | f×(XI- M)2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
0-10 | 5 | 3 | piętnaście | -piętnaście | 225 | 675 |
10-20 | piętnaście | 6 | 90 | -5 | 25 | 150 |
20-30 | 25 | 4 | 100 | 5 | 25 | 100 |
30-40 | 35 | 2 | 70 | piętnaście | 225 | 450 |
40-50 | Cztery pięć | 1 | Cztery pięć | 25 | 625 Ulepszona pętla Java | 625 |
Całkowity |
| 16 | 320 |
|
| 2000 |
Średnia (μ) = ∑(fi xi)/∑(fi)
⇒ Średnia (μ) = 320/16 = 20
σ = √(∑ I N F I (X I - M) 2 /N)
⇒ σ = √[(2000)/(16)]
⇒ σ = √(125)
⇒ σ = 11,18
Wyprowadzenie standardowe (σ) = 11,18
Sprawdzać: Metody obliczania odchylenia standardowego w szeregach dyskretnych
Aby uzyskać kompleksową kolekcję formuły matematyczne na różnych poziomach i koncepcjach, śledź dalej techcodeview.com.
Sprawdź także:
- Tryb średniej mediany
- Tendencji centralnej
Wzór odchylenia standardowego w programie Excel
- Łatwe obliczenia: Skorzystaj z wbudowanych funkcji programu Excel
STDEV.P>dla całej populacji lubSTDEV.S>dla próbki. - Przewodnik krok po kroku: wprowadź zestaw danych w jednej kolumnie, a następnie wpisz
=STDEV.S(A1:A10)>(zastąp A1:A10 swoim zakresem danych) w nowej komórce, aby uzyskać odchylenie standardowe dla próbki. - Pomoce wizualne: Wykorzystaj narzędzia wykresów programu Excel do wizualnego przedstawienia zmienności danych wraz z odchyleniem standardowym.
Sprawdzać: Metody obliczania odchylenia standardowego w szeregach rozkładu częstotliwości
Statystyka formuły odchylenia standardowego
- Podstawowa koncepcja: Odchylenie standardowe mierzy wielkość zmienności lub rozproszenia zbioru wartości.
- Kluczowy wniosek: Niskie odchylenie standardowe wskazuje, że wartości są zwykle zbliżone do średniej, natomiast wysokie odchylenie standardowe wskazuje, że wartości są rozłożone w szerszym zakresie.
- Znaczenie statystyczne: Stosowane do określenia, czy różnice między grupami wynikają z przypadku, szczególnie w przypadku testowania hipotez i analizy danych eksperymentalnych.
Wniosek – odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe dostarcza cennych informacji na temat zmienności lub spójności zbioru danych. Jest szeroko stosowany w różnych dziedzinach, w tym w statystyce, finansach i nauce, do zrozumienia rozkładu danych i podejmowania świadomych decyzji w oparciu o poziom występującej zmienności.
Często zadawane pytania dotyczące odchylenia standardowego
Co to jest odchylenie standardowe w statystyce?
Odchylenie standardowe określa zmienność wartości danych w odniesieniu do wartości średniej danego zbioru danych. Definiuje się go jako pierwiastek kwadratowy kwadratu średniej odchylenia.
Jak obliczyć odchylenie standardowe?
Odchylenie standardowe oblicza się za pomocą wzoru,
σ =
Dlaczego stosuje się odchylenie standardowe? Odchylenie standardowe jest wykorzystywane do różnych celów, niektóre z jego ważnych zastosowań to:
- Służy do znajdowania zmienności wartości danych w odniesieniu do wartości średniej.
- Służy do znalezienia zakresu odchylenia danych.
- Przewiduje maksymalną zmienność danej wartości zbioru danych.
Jaka jest różnica między odchyleniem standardowym a wariancją?
Wariancję oblicza się, biorąc średnią kwadratu odchylenia od średniej, podczas gdy odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji. Inna różnica między nimi polega na ich jednostce. Odchylenie standardowe wyraża się w tych samych jednostkach, co wartości oryginalne, natomiast wariancję wyraża się w jednostkach2.
Metoda średniej rzeczywistej
Metoda zakładanej średniej Metoda odchylenia krokowego Czy odchylenie standardowe może być ujemne?
Nie, odchylenie standardowe nigdy nie może być ujemne, jak widzimy we wzorze, wszystkie wyrazy, które mogą być ujemne, są podnoszone do kwadratu.
Co to jest odchylenie standardowe? Wyjaśnij na przykładach?
Odchylenie standardowe jest miarą zmienności lub rozproszenia danych wartości zbioru danych.
Przykład: Aby znaleźć średnią z 1, 2, 3 i 4
Średnia danych = 13/4 = 3,25
Odchylenie standardowe = √[(3,25-1)2 + (3-3,25)2 + (4-3,25)2 + (5-3,25)2]/4 = √2,06 = 1,43
Jaki jest wzór na odchylenie standardowe?
Wzór na odchylenie standardowe to:
Odchylenie standardowe (σ) = √[ Σ(x – μ) 2 / N]
Kiedy odchylenie standardowe wynosi 1?
Odchylenie standardowe z wartością 1 i średnią 0 nazywane jest standardowym rozkładem normalnym.
Co to jest odchylenie standardowe pierwszych 10 liczb naturalnych?
Odchylenie standardowe pierwszych 10 liczb naturalnych wynosi 2,87
Co to jest odchylenie standardowe wynoszące 40, 42 i 48?
Odchylenie standardowe 40, 42 i 48 wynosi 3,399
Co mówi odchylenie standardowe?
Odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu rozkładu normalnego. Odchylenie standardowe mówi nam o rozproszeniu zbioru danych wokół średniej wartości zbioru danych.