N-TA LICZBA FIBONACCIEGO - TECHCODEVIEW.COM

Podany numer N , wydrukuj n-ta liczba Fibonacciego .

q1 q2 q3 q4

Liczby Fibonacciego to liczby w następującym ciągu całkowitym: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ……..

Przykłady:

Wejście : n = 1

Wyjście : 1

Wejście : n = 9

Wyjście : 3. 4

Wejście : n = 10

Wyjście : 55

Zalecany problem Rozwiąż problem [/Tex]z wartościami nasion i F_0 = 0

C++

// Fibonacci Series using Space Optimized Method> #include> using> namespace> std;> int> fib(>int> n)> {> >int> a = 0, b = 1, c, i;> >if> (n == 0)> >return> a;> >for> (i = 2; i <= n; i++) {> >c = a + b;> >a = b;> >b = c;> >}> >return> b;> }> // Driver code> int> main()> {> >int> n = 9;> >cout << fib(n);> >return> 0;> }> // This code is contributed by Code_Mech>

C

// Fibonacci Series using Space Optimized Method> #include> int> fib(>int> n)> {> >int> a = 0, b = 1, c, i;> >if> (n == 0)> >return> a;> >for> (i = 2; i <= n; i++) {> >c = a + b;> >a = b;> >b = c;> >}> >return> b;> }> int> main()> {> >int> n = 9;> >printf>(>'%d'>, fib(n));> >getchar>();> >return> 0;> }>

Jawa

// Java program for Fibonacci Series using Space> // Optimized Method> public> class> fibonacci {> >static> int> fib(>int> n)> >{> >int> a =>0>, b =>1>, c;> >if> (n ==>0>)> >return> a;> >for> (>int> i =>2>; i <= n; i++) {> >c = a + b;> >a = b;> >b = c;> >}> >return> b;> >}> >public> static> void> main(String args[])> >{> >int> n =>9>;> >System.out.println(fib(n));> >}> };> // This code is contributed by Mihir Joshi>

Python3

# Function for nth fibonacci number - Space Optimisation> # Taking 1st two fibonacci numbers as 0 and 1> def> fibonacci(n):> >a>=> 0> >b>=> 1> >if> n <>0>:> >print>(>'Incorrect input'>)> >elif> n>=>=> 0>:> >return> a> >elif> n>=>=> 1>:> >return> b> >else>:> >for> i>in> range>(>2>, n>+>1>):> >c>=> a>+> b> >a>=> b> >b>=> c> >return> b> # Driver Program> print>(fibonacci(>9>))> # This code is contributed by Saket Modi>

C#

// C# program for Fibonacci Series> // using Space Optimized Method> using> System;> namespace> Fib {> public> class> GFG {> >static> int> Fib(>int> n)> >{> >int> a = 0, b = 1, c = 0;> >// To return the first Fibonacci number> >if> (n == 0)> >return> a;> >for> (>int> i = 2; i <= n; i++) {> >c = a + b;> >a = b;> >b = c;> >}> >return> b;> >}> >// Driver function> >public> static> void> Main(>string>[] args)> >{> >int> n = 9;> >Console.Write(>'{0} '>, Fib(n));> >}> }> }> // This code is contributed by Sam007.>

JavaScript

> // Javascript program for Fibonacci Series using Space Optimized Method> function> fib(n)> {> >let a = 0, b = 1, c, i;> >if>( n == 0)> >return> a;> >for>(i = 2; i <= n; i++)> >{> >c = a + b;> >a = b;> >b = c;> >}> >return> b;> }> // Driver code> >let n = 9;> > >document.write(fib(n));> // This code is contributed by Mayank Tyagi> >

PHP

 // PHP program for Fibonacci Series  // using Space Optimized Method function fib( $n) {  $a = 0;   $b = 1;   $c;  $i;  if( $n == 0)  return $a;  for($i = 2; $i <= $n; $i++)  {  $c = $a + $b;  $a = $b;  $b = $c;  }  return $b; } // Driver Code $n = 9; echo fib($n); // This code is contributed by anuj_67. ?>>

Wyjście

34>

Złożoność czasowa: NA)
Przestrzeń pomocnicza: O(1)

Podejście rekurencyjne do znajdowania i drukowania n-tych liczb Fibonacciego:

W ujęciu matematycznym ciąg Fn liczb Fibonacciego definiuje relacja powtarzalności: $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$ z wartościami nasion i I .

N-tą liczbę Fibonacciego można znaleźć, korzystając z relacji powtarzania pokazanej powyżej:

Jeśli N = 0, następnie zwróć 0.
Jeśli n = 1, to powinno zwrócić 1.
Dla n> 1 powinno zwrócić F_n-1+ F_n-2

Poniżej implementacja powyższego podejścia:

C++

// Fibonacci Series using Recursion> #include> using> namespace> std;> int> fib(>int> n)> {> >if> (n <= 1)> >return> n;> >return> fib(n - 1) + fib(n - 2);> }> int> main()> {> >int> n = 9;> >cout << n <<>'th Fibonacci Number: '> << fib(n);> >return> 0;> }> // This code is contributed> // by Akanksha Rai>

C

// Fibonacci Series using Recursion> #include> int> fib(>int> n)> {> >if> (n <= 1)> >return> n;> >return> fib(n - 1) + fib(n - 2);> }> int> main()> {> >int> n = 9;> >printf>(>'%dth Fibonacci Number: %d'>, n, fib(n));> >return> 0;> }>

Jawa

// Fibonacci Series using Recursion> import> java.io.*;> class> fibonacci {> >static> int> fib(>int> n)> >{> >if> (n <=>1>)> >return> n;> >return> fib(n ->1>) + fib(n ->2>);> >}> >public> static> void> main(String args[])> >{> >int> n =>9>;> >System.out.println(> >n +>'th Fibonacci Number: '> + fib(n));> >}> }> /* This code is contributed by Rajat Mishra */>

Python3

# Fibonacci series using recursion> def> fibonacci(n):> >if> n <>=> 1>:> >return> n> >return> fibonacci(n>->1>)>+> fibonacci(n>->2>)> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >n>=> 9> >print>(n,>'th Fibonacci Number: '>)> >print>(fibonacci(n))> ># This code is contributed by Manan Tyagi.>

C#

// C# program for Fibonacci Series> // using Recursion> using> System;> public> class> GFG {> >public> static> int> Fib(>int> n)> >{> >if> (n <= 1) {> >return> n;> >}> >else> {> >return> Fib(n - 1) + Fib(n - 2);> >}> >}> >// driver code> >public> static> void> Main(>string>[] args)> >{> >int> n = 9;> >Console.Write(n +>'th Fibonacci Number: '> + Fib(n));> >}> }> // This code is contributed by Sam007>

JavaScript

// Javascript program for Fibonacci Series> // using Recursion> function> Fib(n) {> >if> (n <= 1) {> >return> n;> >}>else> {> >return> Fib(n - 1) + Fib(n - 2);> >}> }> // driver code> let n = 9;> console.log(n +>'th Fibonacci Number: '> + Fib(n));>

PHP

 // PHP program for Fibonacci Series // using Recursion function Fib($n) {  if ($n <= 1) {  return $n;  }  else {  return Fib($n - 1) + Fib($n - 2);  } } // driver code $n = 9; echo $n . 'th Fibonacci Number: ' . Fib($n); // This code is contributed by Sam007 ?>>

Wyjście

34>

Złożoność czasowa: wykładnicza, ponieważ każda funkcja wywołuje dwie inne funkcje.
Złożoność przestrzeni pomocniczej: O(n), gdyż maksymalna głębokość drzewa rekurencji wynosi n.

Podejście do programowania dynamicznego polegające na znajdowaniu i drukowaniu n-tych liczb Fibonacciego:

Rozważmy drzewo rekurencji dla piątej liczby Fibonacciego z powyższego podejścia:

 fib(5)   /   fib(4) fib(3)   /  /    fib(3) fib(2) fib(2) fib(1)  /  /  /   fib(2) fib(1) fib(1) fib(0) fib(1) fib(0)  /  fib(1) fib(0)>

Jeśli widzisz, to samo wywołanie metody jest wykonywane wiele razy dla tej samej wartości. Można to zoptymalizować za pomocą programowania dynamicznego. Możemy uniknąć powtarzającej się pracy wykonywanej w podejściu rekursyjnym, przechowując obliczone dotychczas liczby Fibonacciego.

Podejście do programowania dynamicznego w celu znalezienia i wydrukowania n-tych liczb Fibonacciego:

Poniżej implementacja powyższego podejścia:

C++

// C++ program for Fibonacci Series> // using Dynamic Programming> #include> using> namespace> std;> class> GFG {> public>:> >int> fib(>int> n)> >{> >// Declare an array to store> >// Fibonacci numbers.> >// 1 extra to handle> >// case, n = 0> >int> f[n + 2];> >int> i;> >// 0th and 1st number of the> >// series are 0 and 1> >f[0] = 0;> >f[1] = 1;> >for> (i = 2; i <= n; i++) {> >// Add the previous 2 numbers> >// in the series and store it> >f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];> >}> >return> f[n];> >}> };> // Driver code> int> main()> {> >GFG g;> >int> n = 9;> >cout << g.fib(n);> >return> 0;> }> // This code is contributed by SoumikMondal>

C

// Fibonacci Series using Dynamic Programming> #include> int> fib(>int> n)> {> >/* Declare an array to store Fibonacci numbers. */> >int> f[n + 2];>// 1 extra to handle case, n = 0> >int> i;> >/* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/> >f[0] = 0;> >f[1] = 1;> >for> (i = 2; i <= n; i++) {> >/* Add the previous 2 numbers in the series> >and store it */> >f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];> >}> >return> f[n];> }> int> main()> {> >int> n = 9;> >printf>(>'%d'>, fib(n));> >getchar>();> >return> 0;> }>

Jawa

// Fibonacci Series using Dynamic Programming> public> class> fibonacci {> >static> int> fib(>int> n)> >{> >/* Declare an array to store Fibonacci numbers. */> >int> f[]> >=>new> int>[n> >+>2>];>// 1 extra to handle case, n = 0> >int> i;> >/* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/> >f[>0>] =>0>;> >f[>1>] =>1>;> >for> (i =>2>; i <= n; i++) {> >/* Add the previous 2 numbers in the series> >and store it */> >f[i] = f[i ->1>] + f[i ->2>];> >}> >return> f[n];> >}> >public> static> void> main(String args[])> >{> >int> n =>9>;> >System.out.println(fib(n));> >}> };> /* This code is contributed by Rajat Mishra */>

Python3

# Fibonacci Series using Dynamic Programming> def> fibonacci(n):> ># Taking 1st two fibonacci numbers as 0 and 1> >f>=> [>0>,>1>]> >for> i>in> range>(>2>, n>+>1>):> >f.append(f[i>->1>]>+> f[i>->2>])> >return> f[n]> print>(fibonacci(>9>))>

C#

// C# program for Fibonacci Series> // using Dynamic Programming> using> System;> class> fibonacci {> >static> int> fib(>int> n)> >{> >// Declare an array to> >// store Fibonacci numbers.> >// 1 extra to handle> >// case, n = 0> >int>[] f =>new> int>[n + 2];> >int> i;> >/* 0th and 1st number of the> >series are 0 and 1 */> >f[0] = 0;> >f[1] = 1;> >for> (i = 2; i <= n; i++) {> >/* Add the previous 2 numbers> >in the series and store it */> >f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];> >}> >return> f[n];> >}> >// Driver Code> >public> static> void> Main()> >{> >int> n = 9;> >Console.WriteLine(fib(n));> >}> }> // This code is contributed by anuj_67.>

JavaScript

> // Fibonacci Series using Dynamic Programming> >function> fib(n)> >{> >/* Declare an array to store Fibonacci numbers. */> >let f =>new> Array(n+2);>// 1 extra to handle case, n = 0> >let i;> >/* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/> >f[0] = 0;> >f[1] = 1;> >for> (i = 2; i <= n; i++)> >{> >/* Add the previous 2 numbers in the series> >and store it */> >f[i] = f[i-1] + f[i-2];> >}> >return> f[n];> >}> >let n=9;> >document.write(fib(n));> > >// This code is contributed by avanitrachhadiya2155> > >

PHP

 //Fibonacci Series using Dynamic // Programming function fib( $n) {    /* Declare an array to store  Fibonacci numbers. */    // 1 extra to handle case,  // n = 0  $f = array();  $i;    /* 0th and 1st number of the  series are 0 and 1*/  $f[0] = 0;  $f[1] = 1;    for ($i = 2; $i <= $n; $i++)  {    /* Add the previous 2  numbers in the series  and store it */  $f[$i] = $f[$i-1] + $f[$i-2];  }    return $f[$n]; } $n = 9; echo fib($n); // This code is contributed by // anuj_67.  ?>>

Wyjście

34>

Złożoność czasowa : O(n) dla danego n
Przestrzeń pomocnicza : NA)

Podejście N-tej potęgi macierzy do znajdowania i drukowania N-tych liczb Fibonacciego

Podejście to opiera się na fakcie, że jeśli n razy pomnożymy macierz M = {{1,1},{1,0}} przez samą siebie (innymi słowy obliczymy moc(M, n)), to otrzymamy (n +1)-ta liczba Fibonacciego jako element w wierszu i kolumnie (0, 0) macierzy wynikowej.
matryca lateksowa

Jeśli n jest parzyste, to k = n/2:
Zatem N-ta liczba Fibonacciego = F(n) = [2*F(k-1) + F(k)]*F(k)
Jeśli n jest nieparzyste, to k = (n + 1)/2:
Zatem N-ta liczba Fibonacciego = F(n) = F(k)*F(k) + F(k-1)*F(k-1)

Jak działa ta formuła?
Wzór można wyprowadzić z równania macierzowego.

$egin{bmatrix}1 i 1 1 i 0 end{bmatrix}^n = egin{bmatrix}F_{n+1} i F_n F_n i F_{n-1} end{bmatrix}$

Biorąc wyznacznik po obu stronach, otrzymujemy (-1)^N= F_n+1F_n-1- F_N²

Co więcej, ponieważ A^NA^M= A^n+mdla dowolnej macierzy kwadratowej A można wyprowadzić następujące tożsamości (otrzymuje się je z dwóch różnych współczynników iloczynu macierzy)

F_MF_N+ F_m-1F_n-1= F_{m+n-1 —————————(1)}

Umieszczając n = n+1 w równaniu (1),

F_MF_n+1+ F_m-1F_N= F_{m+n ————————–(2)}

Umieszczając m = n w równaniu (1).

F_2n-1= F_N²+ F_n-1²

Umieszczenie m = n w równaniu (2)

F_2n= (F_n-1+ F_n+1)F_N= (2F_n-1+ F_N)F_N——–

(Wstawiając Fn+1 = Fn + Fn-1)

Aby udowodnić wzór, wystarczy wykonać następujące czynności

Jeśli n jest parzyste, możemy umieścić k = n/2
Jeśli n jest nieparzyste, możemy umieścić k = (n+1)/2

Poniżej implementacja powyższego podejścia

C++

// Fibonacci Series using Optimized Method> #include> using> namespace> std;> void> multiply(>int> F[2][2],>int> M[2][2]);> void> power(>int> F[2][2],>int> n);> // Function that returns nth Fibonacci number> int> fib(>int> n)> {> >int> F[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >if> (n == 0)> >return> 0;> >power(F, n - 1);> >return> F[0][0];> }> // Optimized version of power() in method 4> void> power(>int> F[2][2],>int> n)> {> >if> (n == 0 || n == 1)> >return>;> >int> M[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >power(F, n / 2);> >multiply(F, F);> >if> (n % 2 != 0)> >multiply(F, M);> }> void> multiply(>int> F[2][2],>int> M[2][2])> {> >int> x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];> >int> y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];> >int> z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];> >int> w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];> >F[0][0] = x;> >F[0][1] = y;> >F[1][0] = z;> >F[1][1] = w;> }> // Driver code> int> main()> {> >int> n = 9;> >cout << fib(9);> >getchar>();> >return> 0;> }> // This code is contributed by Nidhi_biet>

C

#include> void> multiply(>int> F[2][2],>int> M[2][2]);> void> power(>int> F[2][2],>int> n);> /* function that returns nth Fibonacci number */> int> fib(>int> n)> {> >int> F[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >if> (n == 0)> >return> 0;> >power(F, n - 1);> >return> F[0][0];> }> /* Optimized version of power() in method 4 */> void> power(>int> F[2][2],>int> n)> {> >if> (n == 0 || n == 1)> >return>;> >int> M[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >power(F, n / 2);> >multiply(F, F);> >if> (n % 2 != 0)> >multiply(F, M);> }> void> multiply(>int> F[2][2],>int> M[2][2])> {> >int> x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];> >int> y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];> >int> z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];> >int> w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];> >F[0][0] = x;> >F[0][1] = y;> >F[1][0] = z;> >F[1][1] = w;> }> /* Driver program to test above function */> int> main()> {> >int> n = 9;> >printf>(>'%d'>, fib(9));> >getchar>();> >return> 0;> }>

Jawa

// Fibonacci Series using Optimized Method> public> class> fibonacci {> >/* function that returns nth Fibonacci number */> >static> int> fib(>int> n)> >{> >int> F[][] =>new> int>[][] { {>1>,>1> }, {>1>,>0> } };> >if> (n ==>0>)> >return> 0>;> >power(F, n ->1>);> >return> F[>0>][>0>];> >}> >static> void> multiply(>int> F[][],>int> M[][])> >{> >int> x = F[>0>][>0>] * M[>0>][>0>] + F[>0>][>1>] * M[>1>][>0>];> >int> y = F[>0>][>0>] * M[>0>][>1>] + F[>0>][>1>] * M[>1>][>1>];> >int> z = F[>1>][>0>] * M[>0>][>0>] + F[>1>][>1>] * M[>1>][>0>];> >int> w = F[>1>][>0>] * M[>0>][>1>] + F[>1>][>1>] * M[>1>][>1>];> >F[>0>][>0>] = x;> >F[>0>][>1>] = y;> >F[>1>][>0>] = z;> >F[>1>][>1>] = w;> >}> >/* Optimized version of power() in method 4 */> >static> void> power(>int> F[][],>int> n)> >{> >if> (n ==>0> || n ==>1>)> >return>;> >int> M[][] =>new> int>[][] { {>1>,>1> }, {>1>,>0> } };> >power(F, n />2>);> >multiply(F, F);> >if> (n %>2> !=>0>)> >multiply(F, M);> >}> >/* Driver program to test above function */> >public> static> void> main(String args[])> >{> >int> n =>9>;> >System.out.println(fib(n));> >}> };> /* This code is contributed by Rajat Mishra */>

Python3

# Fibonacci Series using> # Optimized Method> # function that returns nth> # Fibonacci number> def> fib(n):> >F>=> [[>1>,>1>],> >[>1>,>0>]]> >if> (n>=>=> 0>):> >return> 0> >power(F, n>-> 1>)> >return> F[>0>][>0>]> def> multiply(F, M):> >x>=> (F[>0>][>0>]>*> M[>0>][>0>]>+> >F[>0>][>1>]>*> M[>1>][>0>])> >y>=> (F[>0>][>0>]>*> M[>0>][>1>]>+> >F[>0>][>1>]>*> M[>1>][>1>])> >z>=> (F[>1>][>0>]>*> M[>0>][>0>]>+> >F[>1>][>1>]>*> M[>1>][>0>])> >w>=> (F[>1>][>0>]>*> M[>0>][>1>]>+> >F[>1>][>1>]>*> M[>1>][>1>])> >F[>0>][>0>]>=> x> >F[>0>][>1>]>=> y> >F[>1>][>0>]>=> z> >F[>1>][>1>]>=> w> # Optimized version of> # power() in method 4> def> power(F, n):> >if>(n>=>=> 0> or> n>=>=> 1>):> >return> >M>=> [[>1>,>1>],> >[>1>,>0>]]> >power(F, n>/>/> 2>)> >multiply(F, F)> >if> (n>%> 2> !>=> 0>):> >multiply(F, M)> # Driver Code> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >n>=> 9> >print>(fib(n))> # This code is contributed> # by ChitraNayal>

C#

// Fibonacci Series using> // Optimized Method> using> System;> class> GFG {> >/* function that returns> >nth Fibonacci number */> >static> int> fib(>int> n)> >{> >int>[, ] F =>new> int>[, ] { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >if> (n == 0)> >return> 0;> >power(F, n - 1);> >return> F[0, 0];> >}> >static> void> multiply(>int>[, ] F,>int>[, ] M)> >{> >int> x = F[0, 0] * M[0, 0] + F[0, 1] * M[1, 0];> >int> y = F[0, 0] * M[0, 1] + F[0, 1] * M[1, 1];> >int> z = F[1, 0] * M[0, 0] + F[1, 1] * M[1, 0];> >int> w = F[1, 0] * M[0, 1] + F[1, 1] * M[1, 1];> >F[0, 0] = x;> >F[0, 1] = y;> >F[1, 0] = z;> >F[1, 1] = w;> >}> >/* Optimized version of> >power() in method 4 */> >static> void> power(>int>[, ] F,>int> n)> >{> >if> (n == 0 || n == 1)> >return>;> >int>[, ] M =>new> int>[, ] { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >power(F, n / 2);> >multiply(F, F);> >if> (n % 2 != 0)> >multiply(F, M);> >}> >// Driver Code> >public> static> void> Main()> >{> >int> n = 9;> >Console.Write(fib(n));> >}> }> // This code is contributed> // by ChitraNayal>

JavaScript

> // Fibonacci Series using Optimized Method> // Function that returns nth Fibonacci number> function> fib(n)> {> >var> F = [ [ 1, 1 ], [ 1, 0 ] ];> >if> (n == 0)> >return> 0;> > >power(F, n - 1);> >return> F[0][0];> }> function> multiply(F, M)> {> >var> x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];> >var> y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];> >var> z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];> >var> w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];> >F[0][0] = x;> >F[0][1] = y;> >F[1][0] = z;> >F[1][1] = w;> }> // Optimized version of power() in method 4 */> function> power(F, n)> > >if> (n == 0> // Driver code> var> n = 9;> document.write(fib(n));> // This code is contributed by gauravrajput1> >

Wyjście

34>

Złożoność czasowa: O(Log n)
Przestrzeń pomocnicza: O(Log n), jeśli weźmiemy pod uwagę rozmiar stosu wywołań funkcji, w przeciwnym razie O(1).

Powiązane artykuły:
Duże liczby Fibonacciego w Javie