Ranga matrycy definiuje się jako wymiar przestrzeni wektorowej utworzonej przez jej kolumny. Ranga matrycy to bardzo ważna koncepcja w dziedzinie algebry liniowej, ponieważ pomaga nam dowiedzieć się, czy możemy znaleźć rozwiązanie układu równań, czy nie. Ranga macierzy pomaga nam również poznać wymiarowość jej przestrzeni wektorowej.

W tym artykule szczegółowo omówiono koncepcję rangi macierzy, w tym jej definicję, sposób obliczenia rangi macierzy, a także nieważność i jej związek z rangą. Dowiemy się również, jak rozwiązywać niektóre problemy w oparciu o rząd macierzy. Zacznijmy więc najpierw od zdefiniowania rangi macierzy.

Spis treści

• Co to jest ranga macierzy?
• Jak obliczyć rangę macierzy?
• Właściwości rangi macierzy
• Przykłady rang macierzy
• Często zadawane pytania

Co to jest ranga macierzy?

Ranga macierzy to podstawowe pojęcie algebry liniowej, która mierzy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy lub kolumn w dowolnej macierzy. Innymi słowy, informuje Cię, ile wierszy lub kolumn macierzy jest nieużytecznych i wpływa na ogólną informację lub wymiarowość macierzy. Zdefiniujmy rangę macierzy.

Ranga definicji macierzy

Rangę macierzy definiuje się jako liczbę liniowo niezależnych wierszy w a matryca .

dynamiczna tablica w Javie

Oznacza się to za pomocą ρ(A), gdzie A jest dowolną macierzą. Zatem liczba wierszy macierzy jest ograniczeniem rangi macierzy, co oznacza, że ​​ranga macierzy nie może przekraczać całkowitej liczby wierszy w macierzy.

Na przykład, jeśli macierz jest rzędu 3×3, wówczas maksymalny stopień macierzy może wynosić 3.

Notatka: Jeśli macierz ma wszystkie wiersze z elementami zerowymi, wówczas rząd macierzy jest równy zeru.

Nieważność matrixa

W danej macierzy liczbę wektorów w przestrzeni zerowej nazywa się zerowością macierzy lub można ją również zdefiniować jako wymiar przestrzeni zerowej danej macierzy.

Całkowita liczba kolumn w macierzy = pozycja + wartość nieważna

Przeczytaj więcej na temat Twierdzenie o nieważności rang .

Jak obliczyć rangę macierzy?

Istnieją 3 metody, których można użyć do uzyskania rangi dowolnej macierzy. Metody te są następujące:

• Drobna metoda
• Korzystanie z formularza Echelon
• Używanie formy normalnej

Omówmy te metody szczegółowo.

Drobna metoda

Warunek wstępny: Minusy Matrixa

Aby znaleźć rząd macierzy metodą drugorzędną, należy wykonać następujące kroki:

• Oblicz wyznacznik macierzy (powiedzmy A). Jeżeli det(A) ≠ 0, to rząd macierzy A = rząd macierzy A.
• Jeżeli det(A) = 0, to rząd macierzy jest równy rządowi maksymalnego możliwego niezerowego molla macierzy.

Przyjrzyjmy się, jak znaleźć rząd macierzy metodą minorową.

Przykład: Znajdź rząd macierzy egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} stosując metodę pomniejszą.

DanyA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Krok 1: Oblicz wyznacznik A

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Ponieważ det(A) ≠ 0, ρ(A) = rząd A = 3

Korzystanie z formularza Echelon

Metoda drugorzędna staje się bardzo uciążliwa, jeśli rząd macierzy jest bardzo duży. Zatem w tym przypadku przekształcamy macierz w formę rzutu. Macierz, która jest w środku górna forma trójkątna lub dolna forma trójkątna uważa się, że jest w formie schodkowej. Macierz można przekształcić do postaci schodkowej za pomocą elementarne operacje na wierszach . Aby obliczyć rangę macierzy przy użyciu formy Echelona, ​​należy wykonać następujące kroki:

• Przekształć podaną macierz w jej postać rzutową.
• Liczba niezerowych wierszy otrzymanych w postaci Echelona macierzy jest rangą macierzy.

Przyjrzyjmy się, jak znaleźć rząd macierzy metodą minorową.

Przykład: Znajdź rząd macierzy egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} przy użyciu metody formularza Echelon.

DanyA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Krok 1: Konwertuj A do postaci rzutowej

Zastosuj R₂= R₂– 4R₁

Zastosuj R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Zastosuj R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Ponieważ macierz A ma teraz postać dolnego trójkąta, ma ona formę rzutową.

• Krok 2: Liczba niezerowych wierszy w A = 2. Zatem ρ(A) = 2

Używanie formy normalnej

Mówi się, że macierz jest w postaci normalnej, jeśli można ją do tej postaci sprowadzić egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Tutaj ja_Rreprezentuje macierz tożsamości rzędu r . Jeżeli macierz można przekształcić do jej postaci normalnej, wówczas stopień macierzy jest równy r.

Przyjrzyjmy się, jak znaleźć rząd macierzy metodą minorową.

Przykład: Znajdź rząd macierzy old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} przy użyciu metody postaci normalnej.

DanyA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Zastosuj R₂= R₂- R₁, R₃= R₃– 2R₁i R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Zastosuj R₁= R₁– 2R₂i R₄= R₄- R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Zastosuj R₁= R₁+ R₃i R₂= R₂- R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Zastosuj C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Zatem A można zapisać jako egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Zatem ρ(A) = 3

Oracle SQL nie jest równy

Właściwości rangi macierzy

Własności rangi macierzy są następujące:

• Rząd macierzy jest równy rządowi macierzy, jeżeli jest to macierz nieosobliwa.
• Ranga macierzy jest równa liczbie niezerowych wierszy, jeśli jest ona w formie rzutowej.
• Ranga macierzy jest równa rządowi macierzy jednostkowej, jeśli jest ona w postaci normalnej.
• Ranga macierzy
• Ranga macierzy
• Ranga macierzy tożsamości jest równa rządowi macierzy tożsamości.
• Ranga macierzy zerowej lub macierzy zerowej wynosi zero.

Czytaj więcej,

• Rodzaje macierzy
• Transpozycja macierzy
• Odwrotność macierzy

Przykłady rang macierzy

I przykład 1: Znajdź rząd macierzy old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} stosując metodę pomniejszą.

Rozwiązanie:

DanyA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Krok 1: Oblicz wyznacznik A

it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Ponieważ det(A) ≠ 0, ρ(A) = rząd A = 3

Przykład 2. Znajdź rząd macierzy old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} stosując metodę pomniejszą.

Rozwiązanie:

DanyA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Krok 1: Oblicz wyznacznik A

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Ponieważ det(A) ≠ 0, ρ(A) = rząd A = 3

Przykład 3. Znajdź rząd macierzy old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} przy użyciu metody formularza Echelon.

ciąg do int Java

Rozwiązanie:

DanyA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Krok 1: Konwertuj A do postaci rzutowej

Zastosuj R₂= R₂– 4R₁

Zastosuj R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Zastosuj R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Ponieważ macierz A ma teraz postać dolnego trójkąta, ma ona formę rzutową.

Krok 2: Liczba niezerowych wierszy w A = 2. Zatem ρ(A) = 2

Przykład 4. Znajdź rząd macierzy old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} przy użyciu metody formularza Echelon.

Rozwiązanie:

DanyA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Krok 1: Konwertuj A do postaci rzutowej

Zastosuj R₂= R₂– 4R₁

Zastosuj R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Zastosuj R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Ponieważ macierz A ma teraz postać dolnego trójkąta, ma ona formę rzutową.

Krok 2: Liczba niezerowych wierszy w A = 2. Zatem ρ(A) = 2

Przykład 5. Znajdź rząd macierzy old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} przy użyciu metody postaci normalnej.

Rozwiązanie:

DanyA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Zastosuj R₂= R₂- R₁, R₃= R₃– 2R₁i R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Zastosuj R₁= R₁– 2R₂i R4 = R₄- R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Zastosuj R₁= R₁+ R₃i R₂= R₂- R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Zastosuj C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Zastosuj R₁= R₁/2, r₂= R₂/2, r₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Zatem A można zapisać jakoegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Zatem ρ(A) = 3

Ranga matrycy – często zadawane pytania

Zdefiniuj rangę macierzy.

Rangę macierzy definiuje się jako liczbę liniowo niezależnych wierszy w macierzy. Oznacza się to za pomocą ρ(A), gdzie A jest dowolną macierzą.

Jak znaleźć rangę macierzy?

Rangę macierzy można obliczyć różnymi metodami, takimi jak:

• Drobna metoda
• Korzystanie z formularza Echelon
• Używanie formy normalnej

Jaki jest stopień macierzy, jeśli wyznacznik macierzy nie jest równy zero?

Jeżeli wyznacznik macierzy wynosi zero, to rząd macierzy jest równy rządowi macierzy.

Kiedy mówi się, że Matrix jest w formie Echelon?

Mówi się, że macierz, która ma postać górnego trójkąta lub dolnego trójkąta, ma postać rzutową.

Jaka jest postać normalna macierzy?

Mówi się, że macierz ma postać normalną, jeśli można ją zapisać jako egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} Gdzie ja_Rjest macierzą jednostkową rzędu „r”.

Jaki jest stopień macierzy zerowej?

Ranga macierzy zerowej wynosi zero.

Jaka jest ranga macierzy tożsamości?

Ranga macierzy jednostkowej jest równa rządowi macierzy.

ile 0 na miliard

Jaki jest związek między nieważnością a rangą macierzy?

Związek między nieważnością a rangą macierzy jest następujący:

Całkowita liczba kolumn w macierzy = pozycja + wartość nieważna