Zanim omówimy kryterium Routha-Hurwitza, najpierw przeanalizujemy system stabilny, niestabilny i marginalnie stabilny.

Stabilny system: Jeśli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego leżą na lewy połowy płaszczyzny „S”, wówczas układ nazywa się stabilnym.Marginalnie stabilny system: Jeżeli wszystkie pierwiastki układu leżą na wyimaginowanej osi płaszczyzny „S”, wówczas mówi się, że układ jest marginalnie stabilny.Niestabilny system: Jeśli wszystkie korzenie systemu leżą na Prawidłowy połowy płaszczyzny „S”, wówczas układ nazywa się niestabilnym.

Oświadczenie o kryterium Routha-Hurwitza

Kryterium Routha Hurwitza stwierdza, że ​​każdy system może być stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki pierwszej kolumny mają ten sam znak, a jeśli nie ma tego samego znaku lub następuje zmiana znaku, to liczba zmian znaku w pierwszej kolumnie jest równa liczbie pierwiastków równania charakterystycznego w prawej połowie płaszczyzny s, czyli jest równa liczbie pierwiastków o dodatnich częściach rzeczywistych.

Warunki konieczne, ale niewystarczające dla stabilności

Musimy przestrzegać pewnych warunków, aby dowolny system był stabilny. Można też powiedzieć, że istnieją pewne warunki niezbędne, aby system był stabilny.

Rozważmy układ z równaniem charakterystycznym:

1. Wszystkie współczynniki równania powinny mieć ten sam znak.
2. Nie powinno zabraknąć żadnego terminu.

Jeśli wszystkie współczynniki mają ten sam znak i nie brakuje żadnych składników, nie mamy gwarancji, że system będzie stabilny. W tym celu używamy Kryterium Routha Hurwitza aby sprawdzić stabilność systemu. Jeżeli powyższe warunki nie są spełnione, to mówimy, że system jest niestabilny. Kryterium to podają A. Hurwitz i E.J. Routha.

Zalety kryterium Routha-Hurwitza

1. Stabilność układu możemy znaleźć bez rozwiązywania równania.
2. Z łatwością możemy określić względną stabilność układu.
3. Metodą tą możemy wyznaczyć zakres K dla stabilności.
4. Metodą tą możemy również wyznaczyć punkt przecięcia miejsca korzeniowego z wyimaginowaną osią.

Ograniczenia kryterium Routha-Hurwitza

1. Kryterium to ma zastosowanie wyłącznie do układu liniowego.
2. Nie podaje dokładnego położenia biegunów prawej i lewej połowy płaszczyzny S.
3. W przypadku równania charakterystycznego obowiązuje ono tylko dla współczynników rzeczywistych.

Kryterium Routha-Hurwitza

Rozważ następujący charakterystyczny wielomian

Gdy współczynniki a0, a1, ......................an mają ten sam znak i żaden nie jest równy zero.

Krok 1 : Ułóż wszystkie współczynniki powyższego równania w dwóch wierszach:

metody listy tablic Java

Krok 2 : Z tych dwóch rzędów utworzymy trzeci rząd:

Krok 3 : Teraz utworzymy czwarty rząd, używając drugiego i trzeciego rzędu:

Krok 4 : Będziemy kontynuować tę procedurę tworzenia nowych wierszy:

Przykład

Sprawdź stabilność układu, którego równanie charakterystyczne podaje wzór

s<sup>4</sup> + 2s<sup>3</sup>+6s<sup>2</sup>+4s+1 = 0 

Rozwiązanie

Uzyskaj strzałkę współczynników w następujący sposób

Ponieważ wszystkie współczynniki w pierwszej kolumnie mają ten sam znak, czyli dodatni, dane równanie nie ma pierwiastków z dodatnimi częściami rzeczywistymi; dlatego mówi się, że system jest stabilny.