logo

TechCodeview

Podobne trójkąty

Podobne trójkąty to trójkąty o tym samym kształcie, ale mogą mieć różne rozmiary. Podobne trójkąty mają odpowiednie boki proporcjonalne do siebie i odpowiadające sobie kąty. Trójkąty podobne różnią się od trójkątów przystających. Dwie figury przystające są zawsze podobne, ale dwie figury podobne nie muszą być przystające.

Dwa trójkąty uważa się za podobne, gdy odpowiadające im kąty są zgodne, a boki są proporcjonalne. Oznacza to, że podobne trójkąty mają ten sam kształt, chociaż ich rozmiary mogą się różnić. Z drugiej strony trójkąty definiuje się jako przystające, gdy nie tylko mają ten sam kształt, ale także mają odpowiadające sobie boki o identycznej długości.



Teraz dowiedzmy się więcej o podobne trójkąty i ich właściwości z rozwiązanymi przykładami i innymi szczegółowo w tym artykule.

Spis treści

Jakie są podobne Trójkąty?

Trójkąty podobne to trójkąty, które wyglądają podobnie do siebie, ale ich rozmiary mogą się różnić. Podobne obiekty mają ten sam kształt, ale różne rozmiary. Oznacza to, że podobne kształty, powiększone lub pomniejszone, powinny nakładać się na siebie. Ta właściwość podobnych kształtów jest znana jako Podobieństwo .



Istnieją trzy podobne twierdzenia o trójkącie:

  • AA (lub AAA) lub twierdzenie o podobieństwie kąt-kąt
  • Twierdzenie o podobieństwie SAS lub bok-kąt-bok
  • Twierdzenie o podobieństwie SSS lub strona-strona-strona

Podobne definicje trójkątów

Dwa trójkąty nazywane są trójkątami podobnymi, jeśli odpowiadające im kąty są równe, a odpowiednie boki są w tej samej proporcji. Odpowiednie kąty dwóch podobnych trójkątów muszą być równe. Podobne trójkąty mogą mieć różne długości boków trójkąta, ale stosunek długości odpowiednich boków musi być taki sam.

Kiedy dwa trójkąty są podobne, oznacza to, że:



co to jest stos w Javie
  • Wszystkie pary odpowiednich kątów w trójkątach są równe.
  • Wszystkie pary odpowiednich boków trójkąta są proporcjonalne.

Symbol ∼ służy do przedstawienia podobieństwa między podobnymi trójkątami. Zatem, gdy dwa trójkąty są podobne, zapisujemy to jako △ABC ∼ △DEF.

Podobne przykłady trójkątów

Różne przykłady podobnych trójkątów to:

  • Jeśli weźmiemy dwa trójkąty, które mają boki w proporcji, to są to trójkąty podobne.
  • Maszty flagowe i ich cienie reprezentują podobne trójkąty.

Trójkąty pokazane na obrazku poniżej są podobne i przedstawiamy je jako △ABC ∼ △PQR.

Podobne trójkąty

Podstawowe twierdzenie o proporcjonalności (twierdzenie Talesa)

Podstawowe twierdzenie o proporcjonalności, znane również jako twierdzenie Talesa, jest podstawową koncepcją w geometrii, która odnosi się do podobieństwa trójkątów. Mówi, że jeśli linia jest poprowadzona równolegle do jednego boku trójkąta, dzieli ona proporcjonalnie pozostałe dwa boki. Mówiąc prościej, jeśli linia równoległa do jednego boku trójkąta przecina pozostałe dwa boki, dzieli te boki proporcjonalnie.

Matematycznie, jeśli poprowadzono prostą DE równolegle do jednego z boków trójkąta ABC, przecinającą boki AB i AC odpowiednio w punktach D i E, to zgodnie z podstawowym twierdzeniem o proporcjonalności:

BD/DA = CE/HER

Twierdzenie to jest konsekwencją podobieństwa trójkątów utworzonych przez linię równoległą i boki pierwotnego trójkąta. W szczególności trójkąty ADE i ABC, a także trójkąty ADC i AEB są podobne, ponieważ odpowiadające im kąty są równe. W konsekwencji stosunki odpowiednich boków w podobnych trójkątach są równe, co prowadzi do zależności proporcjonalności opisanej podstawowym twierdzeniem o proporcjonalności.

Podstawowe twierdzenie o proporcjonalności jest szeroko stosowane w geometrii i trygonometrii do rozwiązywania różnych problemów związanych z liniami równoległymi i trójkątami. Służy jako podstawowa zasada zrozumienia właściwości podobnych trójkątów i relacji między odpowiadającymi im bokami i kątami. Dodatkowo stanowi podstawę dla bardziej zaawansowanych koncepcji geometrii, takich jak twierdzenie o liniach równoległych oraz zastosowań w różnych konstrukcjach geometrycznych i dowodach.

Podobne kryteria dotyczące trójkątów

Jeśli dwa trójkąty są podobne, muszą spełniać jedną z następujących zasad:

  • Dwie pary odpowiednich kątów są równe. (Zasada AA)
  • Trzy pary odpowiednich boków są proporcjonalne. (Reguła SSS)
  • Dwie pary odpowiednich boków są proporcjonalne, a odpowiadające im kąty między nimi są równe. (Reguła SAS-owa)

Przeczytaj szczegółowo: Kryteria dla podobnych trójkątów

Podobny wzór na trójkąty

W ostatniej części zbadaliśmy dwa warunki, za pomocą których możemy sprawdzić, czy dane trójkąty są podobne, czy nie. Warunki mają miejsce, gdy dwa trójkąty są podobne; odpowiadające im kąty są równe lub odpowiadające im boki są proporcjonalne. Korzystając z dowolnego warunku, możemy udowodnić, że △PQR i △XYZ są podobne na podstawie poniższego zestawu wzorów na trójkąty podobne.

Wzór na podobne trójkąty w geometrii

W △PQR i △XYZ jeśli,

  1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
  2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Powyższe dwa trójkąty są podobne, tj. △PQR ∼ △XYZ.

Podobne zasady trójkąta

Twierdzenia o podobieństwie pomagają nam ustalić, czy dwa trójkąty są podobne, czy nie. Jeśli nie mamy miary kątów lub boków trójkątów, używamy twierdzeń o podobieństwie.

Istnieją trzy główne typy reguł podobieństwa, jak podano poniżej:

  • AA (lub AAA) lub twierdzenie o podobieństwie kąt-kąt
  • Twierdzenie o podobieństwie SAS lub bok-kąt-bok
  • Twierdzenie o podobieństwie SSS lub strona-strona-strona

Twierdzenie o podobieństwie kąt-kąt (AA) lub AAA

Kryterium podobieństwa AA stwierdza, że ​​jeśli dowolne dwa kąty w trójkącie są odpowiednio równe dowolnym dwóm kątom innego trójkąta, to muszą to być trójkąty podobne. Regułę podobieństwa AA można łatwo zastosować, gdy znamy tylko miarę kątów i nie mamy pojęcia o długości boków trójkąta.

Jeśli na rysunku poniżej wiadomo, że ∠B = ∠G i ∠C = ∠F:

I możemy powiedzieć, że na podstawie kryterium podobieństwa AA △ABC i △EGF są podobne lub △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF i ∠A = ∠E.

Twierdzenie o podobieństwie bok-kąt-bok lub SAS

Zgodnie z twierdzeniem o podobieństwie SAS, jeśli dowolne dwa boki pierwszego trójkąta są dokładnie proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta wraz z kątem utworzonym przez te dwa boki poszczególnych trójkątów są równe, to muszą to być trójkąty podobne. Zasada ta jest powszechnie stosowana, gdy znamy tylko miarę dwóch boków i kąt utworzony pomiędzy tymi dwoma bokami odpowiednio w obu trójkątach.

Na rysunku poniżej, jeśli wiadomo, że AB/DE = AC/DF i ∠A = ∠D

I możemy powiedzieć, że na podstawie kryterium podobieństwa SAS △ABC i △DEF są podobne lub △ABC ∼ △DEF.

Twierdzenie o podobieństwie bok-bok-bok lub SSS

Zgodnie z twierdzeniem o podobieństwie SSS dwa trójkąty będą do siebie podobne, jeśli odpowiedni stosunek wszystkich boków obu trójkątów będzie równy. To kryterium jest powszechnie stosowane, gdy mamy tylko miarę boków trójkąta i mniej informacji o kątach trójkąta.

Na obrazku podanym poniżej, jeśli wiadomo, że PQ/ED = PR/EF = QR/DF

I możemy powiedzieć, że na podstawie kryterium podobieństwa SSS △PQR i △EDF są podobne lub △PQR ∼ △EDF.

Podobne właściwości trójkątów

Podobne trójkąty mają różne właściwości, które są szeroko stosowane do rozwiązywania różnych problemów geometrycznych. Niektóre wspólne właściwości podobnego trójkąta:

  • Kształt podobnych trójkątów jest stały, ale ich rozmiary mogą się różnić.
  • Odpowiednie kąty trójkątów podobnych są równe.
  • Odpowiednie boki trójkątów podobnych mają wspólne stosunki.
  • Stosunek pól podobnych trójkątów jest równy kwadratowi stosunku ich odpowiednich boków.

Jak znaleźć podobne trójkąty?

Korzystając z podanych powyżej twierdzeń, można udowodnić, że dwa dane trójkąty są trójkątami podobnymi. Możemy wykonać poniższe kroki, aby sprawdzić, czy dane trójkąty są podobne, czy nie:

Krok 1: Zanotuj podane wymiary trójkątów (odpowiednie boki lub odpowiednie kąty).

Krok 2: Sprawdź, czy wymiary te spełniają którykolwiek z warunków twierdzeń o trójkątach podobnych (AA, SSS, SAS).

Krok 3 : Dane trójkąty, jeśli spełniają którekolwiek z twierdzeń o podobieństwie, można przedstawić za pomocą ∼ w celu oznaczenia podobieństwa.

Można to lepiej zrozumieć na podstawie następującego przykładu:

Przykład: Sprawdź, czy △ABC i △PQR są trójkątami podobnymi lub nie korzystając z podanych danych: ∠A = 65°, ∠B = 70° i ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Na podstawie podanych pomiarów kątów nie możemy stwierdzić, czy dane trójkąty spełniają kryterium podobieństwa AA, czy nie. Znajdźmy miarę trzeciego kąta i obliczmy ją.

Wiemy, korzystając z własności sumy kątów trójkąta, ∠C w △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

Podobnie ∠Q w △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Dlatego możemy stwierdzić, że w △ABC i △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P i ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Pole trójkątów podobnych – twierdzenie

Podobne twierdzenie o polu trójkąta stwierdza, że ​​dla dwóch podobnych trójkątów stosunek pól trójkątów jest proporcjonalny do kwadratu stosunku ich odpowiednich boków. Załóżmy, że mamy dwa podobne trójkąty, ΔABC i ΔPQR

Zgodnie z twierdzeniem o podobnym trójkącie:

(Powierzchnia ΔABC)/(Powierzchnia ΔPQR) = (AB/PQ) 2 = (BC/QR) 2 = (Kalifornia/RP) 2

Różnica między podobnymi trójkątami a przystającymi trójkątami

Podobne trójkąty i przystające trójkąty to dwa rodzaje trójkątów, które są szeroko stosowane w geometrii do rozwiązywania różnych problemów. Każdy typ trójkąta ma inne właściwości, a podstawowe różnice między nimi omówiono w poniższej tabeli.

Podobne trójkąty

Przystające trójkąty
Trójkąty podobne to trójkąty, które mają równe kąty odpowiadające. Trójkąty przystające to trójkąty, które mają równe odpowiednie kąty i równe boki.
Podobne trójkąty mają ten sam kształt, ale ich rozmiary mogą być takie same lub nie Trójkąty przystające mają ten sam rozmiar i to samo pole.
Podobne trójkąty nie są nałożonymi na siebie obrazami, dopóki nie zostaną powiększone lub pomniejszone. Przystające trójkąty to nałożone na siebie obrazy, jeśli są ułożone w odpowiedniej orientacji.
Podobne trójkąty są reprezentowane przez „~” symbol. Przystające trójkąty są reprezentowane przez „ ≅ symbolem.
Odpowiednie strony są w stosunku. Odpowiednie boki są równe.

Zastosowania podobnych trójkątów

Różne zastosowania podobnego trójkąta, które widzimy w prawdziwym życiu, to:

  • Cień i wysokość różnych obiektów są obliczane przy użyciu koncepcji podobnych trójkątów.
  • Skalowanie mapy wykorzystuje koncepcję podobnego trójkąta.
  • Urządzenia fotograficzne wykorzystują podobne właściwości trójkąta do przechwytywania różnych obrazów.
  • Modelarstwo wykorzystuje koncepcję podobnych trójkątów.
  • Nawigacja i trygonometria również wykorzystują podobne podejście do trójkąta do rozwiązywania różnych problemów itp.

Ludzie Zobacz także:

Zbieżność trójkątów

Pole Trójkąta

javafx

Trójkąt prostokątny

Obwód trójkąta

Ważne uwagi dotyczące podobnych trójkątów:

  • Stosunek pól podobnych trójkątów jest równy kwadratowi stosunku ich odpowiednich boków.
  • Wszystkie trójkąty przystające są podobne, ale nie wszystkie trójkąty podobne muszą być przystające.
  • Ten ' ~ Symbol ’ jest używany do oznaczenia podobnych trójkątów.

Rozwiązane pytania dotyczące podobnych trójkątów

Pytanie 1: Na podanym rysunku 1 DE || PNE. Jeżeli AD = 2,5 cm, DB = 3 cm i AE = 3,75 cm. Znaleźć klimatyzację?

Rozwiązanie:

W △ABC, DE || PNE.

AD/DB = AE/EC (z twierdzenia Talesa)

2,5/3 = 3,75/x, gdzie EC = x cm

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

WE = 4,5 cm

Stąd AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Pytanie 2: Na rysunku 1 DE || PNE. Jeżeli AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm i AC = 9 cm. Znaleźć AE?

Rozwiązanie:

Niech AE = x cm.

W △ABC, DE || PNE.

dodanie do tablicy Java

Z twierdzenia Talesa mamy,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7×9)/6,8 = 2,25 cm

AE = 2,25 cm

Stąd AE = 2,25 cm

Zadanie 3: Udowodnij, że linia poprowadzona przez środek jednego boku trójkąta (rysunek 1) równoległa do drugiego boku przecina trzeci bok na pół.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę ΔΑΒC, w którym D jest środkiem AB i DE || BC, spotkanie AC w ​​E.

DOWODNIĆ AE = EC.

Dowód: Ponieważ DE || BC, zgodnie z twierdzeniem Talesa, mamy:

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, podane)

AE/EC = 1

AE = WE

Pytanie 4: Na podanym rysunku 2 AD/DB = AE/EC i ∠ADE = ∠ACB. Udowodnić, że ABC jest trójkątem równoramiennym.

Rozwiązanie:

Mamy AD/DB = AE/EC DE || BC [przez odwrotność twierdzenia Talesa]

∠ADE = ∠ABC (odpowiadające ∠s)

Ale ∠ADE = ∠ACB (podane).

Zatem ∠ABC = ∠ACB.

Zatem AB = AC [boki przeciwne do równych kątów].

Zatem △ABC jest trójkątem równoramiennym.

Pytanie 5: Jeśli D i E są punktami odpowiednio na bokach AB i AC △ABC (rysunek 2) takimi, że AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm i AE = 1,8 cm, pokaż, że DE | | PNE.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm i AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 i AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

sieć komputerowa

AD/AB = AE/AC

Stąd, na podstawie twierdzenia Talesa, DE || PNE.

Zadanie 6: Udowodnij, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych boków trójkąta (rysunek 2) jest równoległy do ​​trzeciego boku.

Rozwiązanie:

W △ABC, w którym D i E są odpowiednio środkami AB i AC.

Ponieważ D i E są odpowiednio środkami AB i AC, mamy:

AD = DB i AE = WE.

AD/DB = AE/EC (każdy równy 1)

Stąd, na zasadzie odwrotności twierdzenia Talesa, DE || pne

Ważne linki związane z matematyką:

  • Co to jest prosty interes
  • Formuła straty
  • Właściwość sumy kątów
  • Podzielność przez 11
  • Wykres słupkowy
  • Zastosowania trygonometrii
  • Lista liczb naturalnych
  • Model Pitagorasa
  • Projekt matematyczny dla klasy 9

Ćwicz pytania dotyczące podobnych trójkątów

Pytanie 1. W dwóch podobnych trójkątach △ABC i △ADE, jeśli DE || BC i AD = 3 cm, AB = 8 cm i AC = 6 cm. Znajdź AE.

Pytanie 2. W dwóch podobnych trójkątach △ABC i △PQR, jeśli QR || BC i PQ = 2 cm, AB = 12 cm i AC = 9 cm. Znajdź PR.

Pytanie 3. W dwóch podobnych trójkątach ΔABC i ΔAPQ długości boków podano jako AP = 9 cm, PB = 12 cm i BC = 24 cm. Znajdź stosunek pól ΔABC i ΔAPQ.

Pytanie 4. W dwóch podobnych trójkątach ΔABC i ΔAPQ długości boków podano jako AP = 3 cm, PB = 4 cm i BC = 8 cm. Znajdź stosunek pól ΔABC i ΔAPQ.

Podsumowanie – Trójkąty podobne

Podobne trójkąty to figury geometryczne, które mają ten sam kształt, ale różnią się rozmiarem, charakteryzują się równymi odpowiednimi kątami i proporcjonalnymi odpowiednimi bokami. Kluczowe twierdzenia, takie jak kąt-kąt (AA), bok-kąt-bok (SAS) i bok-bok-bok (SSS), ustalają kryteria podobieństwa trójkątów.

Zasady te mają fundamentalne znaczenie w takich dziedzinach jak inżynieria, grafika komputerowa i architektura ze względu na ich zdolność do utrzymywania integralności kształtu podczas skalowania. Twierdzenie Talesa, czyli podstawowe twierdzenie o proporcjonalności, ilustruje, jak linia równoległa do jednego boku trójkąta dzieli proporcjonalnie pozostałe dwa, co dodatkowo demonstruje koncepcję podobieństwa w trójkątach.

Podobne trójkąty mają kluczowe znaczenie w zastosowaniach praktycznych, począwszy od obliczania wysokości i odległości w nawigacji po optymalizację projektów w technologii i budownictwie, wykazując ich szerokie znaczenie zarówno w kontekście akademickim, jak i w świecie rzeczywistym.

Podobne trójkąty – często zadawane pytania

Co to są trójkąty podobne, klasa 10?

Trójkąty podobne to takie, które mają wszystkie kąty równe, a ich boki mają wspólny stosunek. Mają podobny kształt, ale nie podobną powierzchnię.

Jakie są wzory na podobne trójkąty?

Wzory na podobne trójkąty to wzory, które mówią nam, czy dwa trójkąty są podobne, czy nie. Dla dwóch trójkątów △ABC i △XYZ wzory na podobne trójkąty to:

  • ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y i ∠C = ∠Z
  • AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Który symbol jest używany do przedstawiania podobnych trójkątów?

Podobne trójkąty są reprezentowane za pomocą symbolu „~”. Jeśli dwa trójkąty △ABC i △XYZ są podobne, przedstawiamy je jako △ABC ~ △XYZ, czyta się to jako trójkąt ABC podobny do trójkąta XYZ.

Jakie są 3 podobne twierdzenia o trójkątach?

Możemy łatwo udowodnić, że dwa trójkąty są podobne, korzystając z twierdzenia o trzech trójkątach, które są:

  • AA (lub AAA) lub twierdzenie o podobieństwie kąt-kąt
  • Twierdzenie o podobieństwie SAS lub bok-kąt-bok
  • Twierdzenie o podobieństwie SSS lub strona-strona-strona

Jakie są właściwości podobnych trójkątów?

Ważnymi właściwościami trójkąta podobnego są:

  • Podobne trójkąty mają stałe kształty, ale ich rozmiary mogą się różnić.
  • W podobnym trójkącie odpowiednie kąty są równe.
  • W podobnym trójkącie odpowiednie boki mają wspólne stosunki.

Jak sprawdzić, czy dwa trójkąty są podobne?

Jeśli wszystkie kąty w trójkącie są równe, możemy łatwo powiedzieć, że trójkąty są podobne.

Które trójkąty są zawsze podobne?

Trójkąt, który jest zawsze podobny, jest trójkątem równobocznym. Ponieważ wszystkie kąty w trójkątach równobocznych zawsze wynoszą 60 stopni, każde dwa trójkąty równoboczne są zawsze podobne.

Co to jest obszar podobnych trójkątów?

Stosunek pól dwóch podobnych trójkątów jest zawsze równy stosunkowi kwadratów ich boków. Dla dwóch trójkątów △ABC i △XYZ możemy powiedzieć, że:

  • obszar △ABC / obszar △XYZ = (AB / XY)2

Jakie są kryteria podobnego trójkąta?

Kryteria podobnych trójkątów to kryteria, według których możemy zadeklarować trzy trójkąty jako podobne trójkąty, a te trzy kryteria to:

  • Kryteria AAA (kryteria kąt-kąt)
  • Kryteria SAS (kryteria bok-kąt-bok)
  • Kryteria SSS (kryteria strona-strona-strona)

Kto jest ojcem podobnych trójkątów?

Euklides, starożytny grecki matematyk, często nazywany ojcem geometrii, w swoim dziele Elementy przedstawił podstawowe zasady zrozumienia podobnych trójkątów.

Czy trójkąty podobne są proporcjonalne?

Tak, trójkąty podobne są proporcjonalne. Oznacza to, że odpowiednie boki podobnych trójkątów są proporcjonalne, co oznacza, że ​​stosunek odpowiednich boków podobnych trójkątów pozostaje stały.

Które trójkąty są zawsze podobne?

Trójkąty, które mają te same trzy kąty, są zawsze podobne. Jest to podstawowa właściwość znana jako kryterium podobieństwa kąt-kąt (AA).

Czy wszystkie trójkąty prostokątne są podobne?

Nie, nie wszystkie trójkąty prostokątne są podobne. Chociaż trójkąty prostokątne o tych samych kątach ostrych są podobne, długość przeciwprostokątnej i stosunek długości boków mogą się różnić, co prowadzi do braku podobieństwa między trójkątami prostokątnymi.

Jaki jest stosunek dwóch podobnych trójkątów?

Stosunek dowolnych dwóch odpowiednich boków w podobnych trójkątach pozostaje stały. Oznacza to, że jeśli weźmiemy odpowiednie boki podobnych trójkątów i utworzymy stosunek, wynik będzie zawsze taki sam, niezależnie od wybranej długości boków.