Trygonometria jest ważną gałęzią matematyki zajmującą się zależnością między kątami i długościami boków trójkąta prostokątnego. Sześć stosunków lub funkcji trygonometrycznych to sinus, cosinus, tangens, cosecans i secans, a stosunek trygonometryczny to stosunek boków trójkąta prostokątnego. Funkcje sinus, cosinus i tangens to trzy ważne funkcje trygonometryczne, ponieważ pozostałe trzy, tj. funkcje cosecans, secans i cotangens, są funkcjami odwrotności odpowiednio funkcji sinus, cosinus i tangens.

• sin θ = strona przeciwna/przeciwprostokątna
• cos θ = sąsiadujący bok/przeciwprostokątna
• tan θ = strona przeciwna/strona sąsiadująca
• cosec θ = przeciwprostokątna/strona przeciwna
• sec θ = Przeciwprostokątna/przylegająca strona
• łóżko θ = strona sąsiadująca/strona przeciwna

Funkcja styczna jest jedną z 6 funkcji trygonometrycznych używanych w wzory trygonometryczne .

Spis treści

• Wzór styczny
• Niektóre podstawowe wzory styczne
• Funkcja styczna w kategoriach funkcji sinus
• Funkcja styczna w kategoriach funkcji cosinus
• Funkcja styczna w kategoriach funkcji cotangens
• Funkcja styczna w kategoriach funkcji cosecans
• Funkcja styczna w kategoriach funkcji siecznej

Wzór styczny

Tangens kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przeciwległego boku do długości sąsiedniego boku danego kąta. Funkcję styczną zapisujemy jako tangens. Rozważmy trójkąt prostokątny XYZ, którego jeden z kątów ostrych wynosi θ. Strona przeciwna to strona przeciwna do kąta θ, a strona sąsiadująca to strona przylegająca do kąta θ.

Teraz wzór na tangens dla danego kąta θ to:

tan θ = strona przeciwna/strona sąsiadująca

Niektóre podstawowe wzory styczne

Funkcja styczna w ćwiartkach

Funkcja tangensa jest dodatnia w pierwszej i trzeciej ćwiartce oraz ujemna w drugiej i czwartej ćwiartce.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^ulkwadrant)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^IIkwadrant)
• tan (π + θ) = tan θ (3^{r & D}kwadrant)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^tkwadrant)

Funkcja styczna jako funkcja ujemna

Funkcja styczna jest funkcją ujemną, ponieważ tangens kąta ujemnego jest ujemną stycznej kąta dodatniego.

tan (-θ) = – tan θ

Funkcja styczna w kategoriach funkcji sinus i cosinus

Funkcję styczną w postaci funkcji sinus i cosinus można zapisać jako:

tan θ = sin θ/cos θ

Wiemy, że tan θ = strona przeciwna/strona sąsiadująca

Teraz podziel licznik i mianownik przez przeciwprostokątną

tan θ = (strona przeciwna/przeciwprostokątna)/(strona sąsiadująca/przeciwprostokątna)

Wiemy, że sin θ = przeciwna strona/przeciwprostokątna

cos θ = sąsiedni bok/przeciwprostokątna

Zatem tan θ = sin θ/cos θ

Funkcja styczna w kategoriach funkcji sinus

Funkcję styczną w odniesieniu do funkcji sinus można zapisać jako:

tan θ = sin θ/(√1 – grzech ² I)

Wiemy to,

tan θ = sin θ/cos θ

es5 kontra es6

Z tożsamości pitagorejskich mamy:

bez²θ + sałata²θ = 1

sałata²θ = 1 – grzech²I

cos θ = √(1 – grzech²I)

Zatem tan θ = sin θ/(√1 – sin²I)

Funkcja styczna w kategoriach funkcji cosinus

Funkcję styczną w funkcji cosinus można zapisać jako:

tan θ = (√1 -cos ² ja)/bo i

Wiemy to,

tan θ = sin θ/cos θ

Z tożsamości pitagorejskich mamy:

bez²θ + sałata²θ = 1

bez²θ = 1 – sałata²I

grzech θ = √(1 – sałata²I)

Zatem tan θ = (√1 – cos²ja)/bo i

Funkcja styczna w kategoriach funkcji cotangens

Funkcję styczną w odniesieniu do funkcji cotangens można zapisać jako:

tan θ = 1/łóżeczko θ

Lub

tan θ = łóżeczko (90° – θ) (lub) łóżeczko (π/2 – θ)

Funkcja styczna w kategoriach funkcji cosecans

Funkcję styczną w odniesieniu do funkcji cosecans można zapisać jako:

tan θ = 1/√(cosec ² ja – 1)

Z tożsamości pitagorejskich mamy:

cosek²θ – łóżeczko²θ = 1

łóżko składane²θ = cosek²ja – 1

łóżko θ = √(cosec²ja – 1)

Wiemy to,

tan θ = 1/łóżeczko θ

Zatem tan θ = 1/√(cosec²ja – 1)

Funkcja styczna w kategoriach funkcji siecznej

Funkcję styczną w odniesieniu do funkcji siecznej można zapisać jako:

tan θ = √ sek ² ja – 1

Z tożsamości pitagorejskich mamy:

sek²θ – tak²θ = 1

tan θ = sek²ja – 1

Zatem tan θ = √(sek²ja – 1)

Funkcja styczna w kategoriach podwójnego kąta

Funkcja tangensa dla kąta podwójnego to:

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² I)

Funkcja styczna w kategoriach potrójnego kąta

Funkcja tangensa dla potrójnego kąta to:

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 opalenizna ² I)

Funkcja styczna w kategoriach półkąta

Funkcja styczna dla półkąta to:

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Funkcja styczna w zakresie dodawania i odejmowania dwóch kątów

Wzory na sumę i różnicę funkcji stycznej to:

tan (A + B) = (brązowy A + brązowy B)/(1 – brązowy A brązowy B)

brązowy (A – B) = (brązowy A – brązowy B)/(1 + brązowy A brązowy B)

Tabela współczynników trygonometrycznych

Rozwiązany przykład na formułach stycznych

Przykład 1: Znajdź wartość tan θ, jeśli sin θ = 2/5 i θ jest kątem w pierwszej ćwiartce.

Rozwiązanie:

Dany,

• grzech θ = 2/5

Z tożsamości pitagorejskich, które mamy,

bez²θ + sałata²θ = 1

sałata²θ = 1 – grzech²θ = 1 – (2/5)²

sałata²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Ponieważ θ jest kątem w pierwszej ćwiartce, cos θ jest dodatnie.

cos θ = √21/5

Wiemy to,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21 /21

Zatem wartość tan θ, gdy sin θ = 2/5 i θ znajduje się w pierwszej ćwiartce, wynosi (2√21) /(21)

Przykład 2: Znajdź wartość tan x, jeśli sec x = 13/12 i x jest kątem w czwartej ćwiartce.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, s x = 13/12

Z tożsamości pitagorejskich mamy:

sek²x- tak²x = 1

Więc²x = sek²x – 1= (13/12)²- 1

Więc²x = (169/144) – 1 = 25/144

tan x = ± 5/12

Ponieważ x jest kątem w czwartej ćwiartce, tg x jest ujemne.

tan x = – 5/12

Stąd, tan x = – 5/12

Przykład 3: Jeśli tan X = 2/3 i tan Y = 1/2, to jaka jest wartość tan (X + Y)?

Rozwiązanie:

Dany,

tan X = 2/3 i tan Y = 1/2

Wiemy to,

tan (X + Y) = (brązowy X + tan Y)/(1 – brązowy X tan Y)

tan (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Stąd, tan(X + Y) = 7/4

Przykład 4: Oblicz funkcję styczną, jeśli sąsiednie i przeciwne boki trójkąta prostokątnego mają odpowiednio 4 cm i 7 cm.

Rozwiązanie:

chmod 755

Dany,

Sąsiedni bok = 4 cm

Przeciwna strona = 7 cm

Wiemy to,

tan θ = strona przeciwna/strona sąsiadująca

tan θ = 7/4 = 1,75

Stąd, tan θ = 1,75

Przykład 5: Mężczyzna patrzy na wieżę zegarową pod kątem 60° do szczytu wieży, której wysokość wynosi 100 m. Jaka jest odległość między człowiekiem a podstawą wieży?

Rozwiązanie:

Dany,

Wysokość wieży = 100 m i θ = 60°

Niech odległość człowieka od podnóża wieży = d

Mamy,

tan θ = strona przeciwna/strona sąsiadująca

opalenizna 60° = 100/d

√3 = 100/d [Ponieważ, więc 60° = √3]

d = 100/√3

Zatem odległość człowieka od podnóża wieży wynosi 100/√3

Przykład 6: Znajdź wartość tan θ, jeśli sin θ = 7/25 i sec θ = 25/24.

Rozwiązanie:

Dany,

grzech θ = 7/25

sekundy θ = 25/24

Wiemy to,

sec θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Mamy,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Stąd, tan θ = 7/24

Przykład 7: Znajdź wartość tan θ, jeśli cosec θ = 5/3, a θ jest kątem w pierwszej ćwiartce.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, cosec θ = 5/3

Z tożsamości pitagorejskich mamy:

szybkie sortowanie

cosek²θ – łóżeczko²θ = 1

łóżko składane²θ = cosek²ja – 1

łóżeczko θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

łóżko θ = ±√16/9 = ± 4/3

Ponieważ θ jest kątem w pierwszej ćwiartce, zarówno funkcja cotangens, jak i styczna są dodatnie.

łóżeczko θ = 4/3

Wiemy to,

łóżko θ = 1/opalenizna θ

4/3 = 1/tanθ

tan θ = 3/4

Stąd, tan θ = 3/4

Przykład 8: Znajdź tan 3θ, jeśli sin θ = 3/7 i θ jest kątem w pierwszej ćwiartce.

Rozwiązanie :

Biorąc pod uwagę, grzech θ = 12/13

Z tożsamości pitagorejskich, które mamy,

bez²θ + sałata²θ = 1

sałata²θ = 1 – grzech²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Ponieważ θ jest kątem w pierwszej ćwiartce, cos θ jest dodatnie.

cos θ = 5/13

Wiemy to,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Stąd tan θ = 12/5

Teraz wiemy, że

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)