Wzory trygonometryczne to równania określające powiązanie boków i kątów trójkątów. Są niezbędne do rozwiązywania szerokiego zakresu problemów z matematyki, fizyki, inżynierii i innych dziedzin.

Oto niektóre z najpopularniejszych typów wzorów trygonometrycznych:

• Podstawowe definicje: Wzory te definiują stosunki trygonometryczne (sinus, cosinus, tangens itp.) w odniesieniu do boków trójkąta prostokątnego.
• Twierdzenie Pitagorasa: Twierdzenie to wiąże długości boków w trójkącie prostokątnym.
• Relacje kątowe: Wzory te dotyczą stosunków trygonometrycznych różnych kątów, takich jak wzory na sumę i różnicę, wzory na podwójny kąt i wzory na kąt połówkowy.
• Wzajemne tożsamości: Wzory te wyrażają jeden stosunek trygonometryczny za pomocą innego, na przykład sin(θ) = 1/coc(θ).
• Okrąg jednostkowy: Okrąg jednostkowy jest graficzną reprezentacją stosunków trygonometrycznych i można go wykorzystać do wyprowadzenia wielu innych wzorów.
• Zasada sinusów i zasada cosinusów: Prawa te odnoszą się do boków i kątów dowolnego trójkąta, a nie tylko trójkątów prostokątnych.

Czytaj dalej, aby poznać różne wzory i tożsamości trygonometryczne, rozwiązane przykłady i problemy praktyczne.

Spis treści

• Co to jest trygonometria?
• Przegląd wzorów trygonometrycznych
• Podstawowe stosunki trygonometryczne
• Tożsamości trygonometryczne
• Lista wzorów trygonometrycznych

Co to jest trygonometria?

Trygonometrię definiuje się jako dziedzinę matematyki skupiającą się na badaniu zależności obejmujących długości i kąty trójkątów. Trygonometria składa się z różnego rodzaju problemów, które można rozwiązać za pomocą wzorów i tożsamości trygonometrycznych.

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne to funkcje matematyczne, które wiążą kąty trójkąta prostokątnego z długościami jego boków. Mają szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak fizyka, inżynieria, astronomia i nie tylko. Podstawowe funkcje trygonometryczne obejmują sinus, cosinus, tangens, cotangens, sieczną i cosekans.

Przegląd wzorów trygonometrycznych

Wzory trygonometryczne to wyrażenia matematyczne, które wiążą ze sobą kąty i boki a Trójkąt prostokątny . Tam są Trójkąt prostokątny ma 3 boki jest zrobione z:

• Przeciwprostokątna : To jest najdłuższy bok trójkąta prostokątnego.
• Strona prostopadła/przeciwna : Jest to bok, który tworzy kąt prosty w stosunku do danego kąta.
• Baza : Podstawa odnosi się do sąsiedniej strony, gdzie połączone są przeciwprostokątna i strona przeciwna.

Stosunek trygonometryczny

Wszystkie stosunki trygonometryczne, tożsamości iloczynów, wzory na półkąt, wzory na podwójny kąt, tożsamości sumy i różnicy, tożsamości kofunkcji, znaki stosunków w różnych ćwiartkach itp. są tutaj pokrótce podane dla uczniów klas 9, 10, 11, 12 .

znajdź mój iPhone z Androidem

Oto lista wzorów z trygonometrii, które omówimy:

• Podstawowe wzory na stosunek trygonometryczny
• Formuły koła jednostkowego
• Tożsamości trygonometryczne

Podstawowe stosunki trygonometryczne

W trygonometrii istnieje 6 stosunków. Nazywa się je funkcjami trygonometrycznymi. Poniżej znajduje się lista stosunki trygonometryczne , w tym sinus, cosinus, secans, cosecans, tangens i cotangens.

Wzór na okrąg jednostkowy w trygonometrii

Dla okręgu jednostkowego, którego promień jest równy 1, I jest kątem. Wartości przeciwprostokątnej i podstawy są równe promieniowi okręgu jednostkowego.

Przeciwprostokątna = sąsiadujący bok (podstawa) = 1

Stosunki trygonometrii są dane przez:

• grzech θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• łóżko θ = x/y
• s θ = 1/x
• cosec θ = 1/rok

Schemat funkcji trygonometrycznych

Tożsamości trygonometryczne

Związek między funkcjami trygonometrycznymi wyraża się za pomocą tożsamości trygonometrycznych, czasami nazywanych tożsamościami trygonometrycznymi lub wzorami trygonometrycznymi. Pozostają one prawdziwe dla wszystkich wartości liczb rzeczywistych przypisanych w nich zmiennych.

• Wzajemne tożsamości
• Tożsamości Pitagorasa
• Tożsamości okresowe (w radianach)
• Wzór na kąt parzysty i nieparzysty
• Tożsamości kofunkcyjne (w stopniach)
• Tożsamości suma i różnica
• Tożsamości podwójnego kąta
• Odwrotne wzory trygonometryczne
• Tożsamości potrójnego kąta
• Tożsamości półkątne
• Suma do tożsamości produktów
• Tożsamości produktów

Omówmy szczegółowo te tożsamości.

Wzajemne tożsamości

Wszystkie wzajemne tożsamości uzyskuje się przy użyciu trójkąta prostokątnego jako odniesienia. Tożsamości wzajemne są następujące:

• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• łóżko θ = 1/opalenizna θ
• grzech θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/łóżeczko θ

Tożsamości Pitagorasa

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, w trójkącie prostokątnym, jeśli „c” jest przeciwprostokątną, a „a” i „b” to dwie nogi, to c2 = a2 + b2. Korzystając z tego twierdzenia i stosunków trygonometrycznych, możemy otrzymać tożsamości Pitagorasa. Używamy tych tożsamości do konwersji jednego współczynnika trygonometrycznego na inny .

• bez²θ + sałata²θ = 1
• 1 + tak²θ = sek²I
• 1 + łóżeczko dziecięce²θ = cosek²I

Wykres wzorów trygonometrycznych

Tożsamości okresowe (w radianach)

Tożsamości te można wykorzystać do przesunięcia kątów o π/2, π, 2π itd. Są one również znane jako tożsamości kofunkcyjne.

Wszystko tożsamości trygonometryczne powtarzają się po określonym czasie. Mają więc charakter cykliczny. Ten okres powtarzania wartości jest różny dla różnych tożsamości trygonometrycznych.

• grzech (π/2 – A) = cos A i cos (π/2 – A) = grzech A
• grzech (π/2 + A) = cos A i cos (π/2 + A) = – grzech A
• grzech (3π/2 – A) = – cos A i cos (3π/2 – A) = – grzech A
• grzech (3π/2 + A) = – cos A i cos (3π/2 + A) = grzech A
• grzech (π – A) = grzech A i cos (π – A) = – cos A
• grzech (π + A) = – grzech A i cos (π + A) = – cos A
• grzech (2π – A) = – grzech A i cos (2π – A) = cos A
• grzech (2π + A) = grzech A i cos (2π + A) = cos A

Oto tabela porównująca właściwości trygonometryczne w różnych ćwiartkach:

Wzór na kąt parzysty i nieparzysty

Wzory kątów parzystych i nieparzystych, znane również jako tożsamości parzyste i nieparzyste, służą do wyrażania funkcji trygonometrycznych kątów ujemnych w kategoriach kątów dodatnich. Te wzory trygonometryczne opierają się na właściwościach funkcji parzystych i nieparzystych.

• grzech(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• łóżeczko(-θ) = -łóżeczkoθ
• sek(-θ) = sekθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Tożsamości kofunkcyjne (w stopniach)

Tożsamości kofunkcyjne pozwalają nam określić wzajemne powiązania pomiędzy różnymi funkcjami trygonometrycznymi. Współfunkcje są tu podane w stopniach:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = grzech x
• tan(90°−x) = łóżko x
• łóżeczko(90°−x) = brąz x
• s(90°−x) = cosek x
• cosec(90°−x) = s x

Tożsamości suma i różnica

Tożsamości sumy i różnicy to wzory, które wiążą sinus, cosinus i tangens sumy lub różnicy dwóch kątów z sinusami, cosinusami i stycznymi poszczególnych kątów.

• grzech(x+y) = grzech(x)cos(y) + cos(x)grzech(y)
• grzech(x-y) = grzech(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + grzech(x)grzech(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Tożsamości podwójnego kąta

Tożsamości podwójnego kąta to wzory wyrażające funkcje trygonometryczne kątów, które są dwukrotnie większe od miary danego kąta w kategoriach funkcji trygonometrycznych kąta pierwotnego.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²X)]
• cos(2x) = cos²(x) – bez²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + opalenizna²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2 grzech²(X)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(X)]
• sek. (2x) = sek²x/(2 – sek²X)
• cosec (2x) = (s x • cosec x)/2

Odwrotne wzory trygonometryczne

Odwrotne wzory trygonometryczne odnoszą się do odwrotnych funkcji trygonometrycznych, które są odwrotnością podstawowych funkcji trygonometrycznych. Wzory te służą do znalezienia kąta odpowiadającego danemu stosunkowi trygonometrycznemu.

• bez ^-1 (–x) = – grzech ^-1 X
• sałata ^-1 (–x) = π – cos ^-1 X
• Więc ^-1 (–x) = – tan ^-1 X
• cosek ^-1 (–x) = – cosek ^-1 X
• sek ^-1 (–x) = π – sek ^-1 X
• łóżko składane ^-1 (–x) = π – łóżeczko ^-1 X

Tożsamości potrójnego kąta

Tożsamości Potrójnego Kąta to wzory używane do wyrażania funkcji trygonometrycznych potrójnych kątów (3θ) w kategoriach funkcji pojedynczych kątów (θ). Te wzory trygonometryczne są przydatne do upraszczania i rozwiązywania równań trygonometrycznych, w których występują potrójne kąty.

grzech 3x=3grzech x – 4grzech ³ X

aktualna data Java

sałata 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Tożsamości półkątne

Tożsamości półkątowe to wzory trygonometryczne używane do znajdowania sinusa, cosinusa lub tangensa połowy danego kąta. Wzory te służą do wyrażania funkcji trygonometrycznych półkątów w odniesieniu do kąta pierwotnego.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Również,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Suma do tożsamości produktów

Tożsamości sumy i iloczynu to wzory trygonometryczne, które pomagają nam wyrazić sumy lub różnice funkcji trygonometrycznych jako iloczyny funkcji trygonometrycznych.

Java porównaj ciąg

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x – y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + przytulny = 2[cos((x + y)/2)cos((x - y)/2)]
• cosx − przytulny = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Tożsamości produktów

Tożsamości produktów, znane również jako tożsamości iloczynu do sumy, to wzory umożliwiające wyrażenie iloczynów funkcji trygonometrycznych jako sum lub różnic funkcji trygonometrycznych.

Te wzory trygonometryczne pochodzą ze wzorów na sumę i różnicę dla sinusa i cosinusa.

• sinx⋅cosy = [grzech(x + y) + grzech(x - y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x - y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x - y) - cos(x + y)]/2

Lista wzorów trygonometrycznych

Tabela podana poniżej zawiera podstawowe stosunki trygonometryczne dla kątów takich jak 0°, 30°, 45°, 60° i 90°, które są powszechnie używane do rozwiązywania problemów.

Rozwiązane pytania dotyczące wzoru trygonometrycznego

Oto kilka rozwiązanych przykładów wzorów trygonometrycznych, które pomogą Ci lepiej zrozumieć pojęcia.

Pytanie 1: Jeżeli cosec θ + cot θ = x, znajdź wartość cosec θ – cot θ, korzystając ze wzoru trygonometrycznego.

Rozwiązanie:

cosec θ + łóżko θ = x

Znamy to cosec²θ+ łóżeczko dziecięce²θ = 1

(cosec θ -łóżeczko θ)( cosec θ+ łóżko θ) = 1

(cosec θ -łóżko θ) x = 1

cosec θ -łóżko θ = 1/x

Pytanie 2: Korzystając ze wzorów trygonometrycznych, pokaż, że tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Rozwiązanie:

Mamy,

L.H.S = jasnobrązowy 10 ° więc 15 ° więc 75 ° więc 80 °

= opalenizna (90-80) ° więc 15 ° opalony(90-15) ° więc 80 °

= łóżeczko 80 ° więc 15 ° łóżeczko 15 ° więc 80 °

=(łóżko 80 ° *więc 80 ° )( łóżeczko 15 ° *więc 15 ° )

= 1 = RHS

Pytanie 3: Jeśli sin θ cos θ = 8, znajdź wartość (sin θ + cos θ) ² korzystając ze wzorów trygonometrycznych.

Rozwiązanie:

(sin θ + cos θ)²

10 do potęgi 6

= bez²θ + sałata²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Pytanie 4: Za pomocą wzorów trygonometrycznych udowodnij, że (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Rozwiązanie:

L.H.S = (tang θ + sec θ – 1)/(tang θ – sec θ + 1)

= [(tan θ + s θ) – (sek²θ – tak²θ)]/(tan θ – sek. θ + 1), [Ponieważ, sek²θ – tak²θ = 1]

lista_tablic.sort

= {(tan θ + s θ) – (s θ + tan θ) (s θ – tan θ)}/(tan θ – s θ + 1)

= {(tan θ + s θ) (1 – s θ + tan θ)}/(tan θ – s θ + 1)

= {(tan θ + s θ) (tan θ – s θ + 1)}/(tan θ – s θ + 1)

= tan θ + sekunda θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Udowodniono.

Często zadawane pytania dotyczące wzorów trygonometrycznych i tożsamości

Co to jest trygonometria?

Trygonometria to dziedzina matematyki skupiająca się na związkach między kątami i bokami trójkątów, zwłaszcza trójkątów prostokątnych.

Jakie są trzy podstawowe stosunki trygonometryczne?

• Sin A = prostopadłość/przeciwprostokątna
• Cos A= podstawa/przeciwprostokątna
• Tan A = prostopadły/podstawowy

Do jakiego trójkąta można zastosować wzory trygonometryczne?

Wzory trygonometryczne mają zastosowanie do trójkątów prostokątnych.

Jakie są główne stosunki trygonometryczne?

Sinus, cosinus, tangens, cotangens, sieczna i cosekans.

Dla jakiego kąta wartość współczynnika opalenizny jest równa współczynnikowi łóżeczka?

Dla wartości 45°, tan 45°= łóżko 45° = 1.

Jaki jest wzór na sin3x?

Wzór na sin3x to 3sin x – 4 sin³X.