Rodzaje rozkładu równomiernego

Rodzaje rozkładu równomiernego to:

1. Ciągła równomierna dystrybucja: Ciągły równomierny rozkład prawdopodobieństwa to rozkład, który ma nieskończoną liczbę wartości zdefiniowanych w określonym przedziale. Posiada wykres w kształcie prostokąta tzw. rozkład prostokątny. Działa na wartościach, które mają charakter ciągły. Przykład: generator liczb losowych
2. Dyskretny równomierny rozkład: Dyskretny równomierny rozkład prawdopodobieństwa to rozkład, który ma skończoną liczbę wartości zdefiniowanych w określonym przedziale. Jego wykres zawiera różne pionowe linie dla każdej skończonej wartości. Działa na wartościach o charakterze dyskretnym. Przykład: Rzucono kostką.

Omówmy te typy szczegółowo w następujący sposób.

Ciągłe rozkłady równomierne lub rozkłady prostokątne

Ciągłe rozkłady jednorodne, znane również jako rozkłady prostokątne, to rozkłady prawdopodobieństwa, w których funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) jest stała w pewnym przedziale i zerowa w innych miejscach. Oznacza to, że wszystkie wyniki w danym przedziale są jednakowo prawdopodobne.

Ciągłe rozkłady jednorodne zapewniają proste, ale wydajne ramy do zrozumienia i modelowania losowości w określonych przedziałach, co czyni je niezbędnymi narzędziami w teorii prawdopodobieństwa i statystyce stosowanej.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF)

The Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) ciągłego rozkładu równomiernego określa prawdopodobieństwo, że zmienna losowa znajdzie się w określonym przedziale. Dla ciągłego, równomiernego rozkładu w przedziale [a, b] plik PDF jest określony wzorem:

f(x) = 1 / (b – a) dla a ≤ x ≤ b

i f(x) = 0 w przeciwnym razie.

Funkcja dystrybucji skumulowanej (CDF)

Funkcja rozkładu skumulowanego (CDF) ciągłego rozkładu równomiernego podaje prawdopodobieństwo, że zmienna losowa jest mniejsza lub równa określonej wartości. Dla ciągłego równomiernego rozkładu w [a, b] CDF definiuje się jako:

F(x) = (x – a) / (b – a) dla a ≤ x ≤ b

i F(x) = 0 dla x b.

Generowanie funkcji

Funkcje generujące umożliwiają reprezentowanie ciągów liczb w postaci szeregów potęgowych. W teorii prawdopodobieństwa funkcje generujące są często używane do manipulowania sekwencjami zmiennych losowych. Mogą uprościć obliczenia i pomóc w wyprowadzeniu ważnych właściwości zmiennych losowych i rozkładów.

Standardowa równomierna dystrybucja

Standardowy rozkład równomierny jest szczególnym przypadkiem ciągłego rozkładu równomiernego, w którym przedział wynosi [0, 1]. Jest szeroko stosowany w symulacjach, generowaniu liczb losowych i różnych zastosowaniach statystycznych.

Własności ciągłych rozkładów jednorodnych

• Równa gęstość prawdopodobieństwa w przedziale.
• Funkcja rozkładu skumulowanego rośnie liniowo w obrębie przedziału.
• Średnią ciągłego rozkładu równomiernego jest środek przedziału.
• Wariancja ciągłego rozkładu równomiernego wynosi [(b – a)²] / 12.

Zastosowania ciągłych rozkładów jednorodnych

• Modelowanie niepewności w różnych dziedzinach, takich jak inżynieria, finanse i fizyka.
• Generowanie liczb losowych do symulacji i gier.
• Stosowany w statystycznej kontroli jakości do modelowania jednorodności procesów produkcyjnych.
• W kryptografii do generowania kluczy i tworzenia losowych permutacji.
• Jako rozkład bazowy do porównania z innymi rozkładami w analizie statystycznej.

Dyskretny równomierny rozkład

Dyskretny rozkład równomierny to a prawdopodobieństwo rozkład opisujący prawdopodobieństwo wyników, gdy każdy wynik w skończonym zbiorze jest równie prawdopodobny. Charakteryzuje się stałą funkcją masy prawdopodobieństwa (PMF) w skończonym zakresie wartości.

Dyskretny rozkład równomierny służy jako podstawowy model w teorii prawdopodobieństwa i statystyce, zapewniając prosty, ale skuteczny sposób opisu niepewności w sytuacjach, gdy wyniki są równie prawdopodobne. Jego właściwości i zastosowania obejmują różne dyscypliny, co czyni go wszechstronnym narzędziem w analizie danych i procesach decyzyjnych.

Oszacowanie maksimum

W Statystyka , oszacowanie maksimum odnosi się do metod stosowanych do oszacowania największej wartości lub maksymalnej obserwacji w zbiorze danych. W tym celu powszechnie stosuje się techniki takie jak statystyka zamówień i estymacja największej wiarygodności.

Losowa permutacja

Losowa permutacja to losowe rozmieszczenie zbioru elementów lub elementów. Jest często używany w różnych dziedzinach, takich jak kryptografia, statystyka i informatyka. Generowanie losowych permutacji jest niezbędne w algorytmach, symulacjach i projektach eksperymentalnych.

Właściwości dyskretnego rozkładu równomiernego

• Każdy wynik w przestrzeni próbki ma równe prawdopodobieństwo wystąpienia.
• Funkcja masy prawdopodobieństwa (PMF) jest stała w całym zakresie możliwych wyników.
• Średnią dyskretnego rozkładu równomiernego jest średnia wartości minimalnej i maksymalnej.
• Wariancja dyskretnego rozkładu jednorodnego wynosi [(n^2 – 1) / 12], gdzie n to liczba możliwych wyników.

Zastosowania dyskretnego rozkładu równomiernego

• Rzucanie uczciwymi kostkami lub rzucanie uczciwymi monetami, gdzie każdy wynik ma równe prawdopodobieństwo.
• Modelowanie scenariuszy, w których nie ma preferencji ani uprzedzeń co do żadnego konkretnego wyniku.
• Próbkowanie bez zastępowania, np. wybieranie losowych próbek ze skończonej populacji.
• Generowanie liczb losowych do symulacji, metody Monte Carlo i algorytmy losowe.
• Tworzenie losowych permutacji do tasowania talii kart, projektowania eksperymentów i zastosowań kryptograficznych.

Czytaj więcej,

• Rozkład Poissona
• Rozkład dwumianowy
• Normalna dystrybucja

Przykładowe pytania

Pytanie 1: Zmienna losowa X ma rozkład równomierny na (-2, 2),

(i) znajdź k dla którego P(X>k) = 1/2 (ii) Oblicz P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Rozwiązanie:

(I) X =f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

Rozwiązując otrzymujemy k = 0

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Pytanie 2: Jeśli X jest równomiernie rozłożone w (-1, 4), to

(i) jego średnia wynosi ______________.

(ii) jego wariancja wynosi ______________.