Objętość stożka można zdefiniować jako przestrzeń zajmowaną przez stożek. Jak wiemy, stożek jest trójwymiarowym kształtem geometrycznym, który ma okrągłą podstawę i pojedynczy wierzchołek (wierzchołek).

Dowiedzmy się szczegółowo o objętości stożka, w tym o jej wzorze, przykładach i ścięciu stożka.

Co to jest objętość stożka?

Objętość stożka definiuje się jako ilość przestrzeni lub pojemności, którą wypełnia. Objętość stożka mierzy się w jednostkach sześciennych, takich jak cm³, M³, W³, i tak dalej. Obracając trójkąt wokół dowolnego jego wierzchołka, można utworzyć stożek. Objętość stożka można również zmierzyć w litrach.

• Stożek można podzielić na dwa typy: stożki okrągłe prawe i stożki ukośne.
• Wierzchołek prawy okrągły stożek znajduje się pionowo nad środkiem podstawy, ale wierzchołek ukośnego stożka nie znajduje się pionowo nad środkiem podstawy.

Objętość wzoru stożka

Stożek jest bryłą trójwymiarową o okrągłej podstawie. Ma zakrzywioną powierzchnię. Wysokość prostopadła to odległość od podstawy do wierzchołka.

Wzór na objętość stożka:

V = 1/3 πr²H

Gdzie,

• R jest promieniem stożka
• H jest promieniem stożka
• Liczba Pi jest stała i ma wartość 22/7 lub 3,14

Wysokość nachylenia stożka

Wysokość nachylenia stożka to odległość od jego wierzchołka (górnego punktu) do dowolnego punktu na obwodzie jego okrągłej podstawy. Jest to odległość w linii prostej wzdłuż powierzchni bocznej, a nie przez wnętrze stożka.

Wysokość skosu stożka można wyznaczyć za pomocą twierdzenie Pitagorasa ,

H²+ r²= L²

h = √(L²- R²)

Objętość stożka pod względem wysokości nachylenia

Dla stożka o wysokości „h” i promieniu „r” wysokość nachylenia „L” stożka wyraża się wzorem:

punkt Java

H²+ r²= L²

h = √(L²- R²)…(I)

Następnie objętość stożka wyrażona wysokością nachylenia wynosi:

V = (1/3)πr²h...(ii)

Korzystając z wartości h w równaniu (ii), otrzymujemy wzór na objętość stożka jako:

V = (1/3)πr ² √(L ² - R ² )

Objętość wyprowadzenia stożka

Załóżmy, że mamy stożek o okrągłej podstawie, której promień wynosi r I wysokość to godz.

Wiemy, że objętość stożka jest równa jednej trzeciej objętości walca o tym samym promieniu podstawy i tej samej wysokości.

Zatem objętość staje się

V = 1/3 × okrągła powierzchnia podstawy × wysokość

V = 1/3 × πr²× godz

V = πr²godz./3

W ten sposób wyprowadzamy wzór na objętość stożka.

Jak znaleźć objętość stożka?

Rozważmy przykład wyznaczania objętości stożka.

Przykład: Oblicz objętość stożka, jeśli promień jego podstawy wynosi 3 cm, a wysokość 5 cm.

Krok 1: Zwróć uwagę na promień okrągłej podstawy (r) i wysokość stożka (h).

Tutaj promień wynosi 3 cm, a wysokość 5 cm.

Krok 2: Oblicz pole okrągłej podstawy = πr². Podstaw wartość r i π w danym równaniu,

tj. 3,14 × (3)²= 28,26 cm².

Krok 3: Wiemy, że objętość stożka wynosi (1/3) × (pole podstawy koła) × wysokość stożka.

Następnie podstaw wartości w równaniu = (1/3) × 28,26 × 5 = 47,1 cm³.

Krok 4: Zatem objętość danego stożka wynosi 47,1 cm³.

Korzystając z kroków omówionych powyżej, można obliczyć objętość stożka.

Objętość stożka wraz z wysokością i promieniem

Objętość stożka, jeżeli podana jest jego wysokość(h) i promień(r) oblicza się ze wzoru:

V = (1/3)πr ² h jednostek sześciennych

Objętość stożka wraz z wysokością i średnicą

Objętość szyszki przy podanej średnicy i wysokości szyszki obliczono poniżej. Załóżmy, że dany jest stożek o promieniu r i średnicy d.

Wtedy promień podstawy jest połową średnicy podstawy, tj. r = d/2

Objętość stożka, jeżeli podana jest jego wysokość(h) i średnica(d) oblicza się ze wzoru:

V = (1/12)πd ² h jednostek sześciennych

Objętość stożka (jeśli promień i wysokość zostaną podwojone)

Przypuszczać,

• Promień stożka (r) = 2r
• Wysokość stożka (h) = 2h

Następnie objętość stożka jest podawana jako

Objętość stożka = (1/3)π(2r)²(2h) jednostki sześcienne

V = (⅓)π(4r²)(2h)

V = (8/3)πr ² H

Zatem, objętość stożka staje się 8 razy większa od pierwotnej objętości tj. V = (8/3)πr²h, gdy jego promień i wysokość zostaną podwojone.

Objętość stożka (jeśli promień i wysokość są zmniejszone o połowę)

Załóżmy,

• Promień stożka (r) = r/2
• Wysokość stożka (h) = h/2

Następnie objętość stożka jest podawana jako

Objętość stożka = (1/3)π(r/2)²(h/2) jednostki sześcienne

V = (1/3)π(r²/4)(h/2)

V = (1/24)πr ² H

Zatem objętość stożka staje się 1/8 razy większa od pierwotnej objętości, tj. V = (1/24)πr²h, gdy jego promień i wysokość są zmniejszone o połowę.

Kawałek stożka

Ścięta to pokrojona w plasterki część stożka, a objętość ściętego stożka to ilość cieczy, jaką może pomieścić każda ścięta.

Aby obliczyć objętość, musimy znaleźć różnica objętości dwóch stożków.

Objętość kawałka stożka

Wzór na objętość ściętego stożka oblicza się odejmując objętość mniejszego stożka od większego.

Z powyższego rysunku mamy,

• Wysokość całkowita H’ = H + h
• Wysokość skosu L = l₁+ l₂
• Promień stożka = r
• Promień przeciętego stożka = r’

Teraz objętość większego stożka = 1/3 π r²H' = 1/3 π r²(H+h)

Objętość mniejszego stożka = 1/3 π(r’)²H. Objętość ściętego można obliczyć na podstawie różnicy między dwoma stożkami, tj.

Objętość elementu = 1/3 π r²H' -1/3 π(r')²H

V = 1/3π r²(H+h) – 1/3 π(r’)²H

v = 1/3 π [ r²(H+h) – (r’)²godz. ] ………(1)

Korzystanie z własności trójkątów podobnych w Δ QPS i Δ QAB. mamy,

Aktorka Sai Pallavi

r/ r’ = H+h/h

H+h = (rh)/r’

Podstawiając wartość H+h we wzorze na objętość ściętego otrzymamy,

Objętość elementu = 1/3 π [r²(rh/r’) – (r’)²H]

V = 1/3 π [r³h/r’ – (r’)²H]

V = 1/3 π h (r³/r – (r’)²)

V = 1/3 π godz. [{r³- (R')³} / R]

Objętość kawałka stożka = 1/3 π h [{r ³ - (R') ³ } / R]

Gdzie,

• R jest promieniem dolnej podstawy ściętego stożka
• R' jest promieniem górnej podstawy ściętego stożka
• H to wysokość mniejszego stożka
• Liczba Pi jest stała i ma wartość 22/7 lub 3,14

Czytaj więcej

• Kawałek stożka
• Stożek: formuła, typy i właściwości
• Powierzchnia stożka
• Powierzchnie i objętości
• Objętość sześcianu
• Objętość prostopadłościanu
• Objętość kuli
• Objętość cylindra

Rozwiązane przykłady dotyczące objętości stożka

Rozwiążmy kilka pytań dotyczących wzorów na objętość stożka.

Przykład 1. Znajdź objętość stożka dla promienia 7 cm i wysokości 14 cm.

Rozwiązanie:

Mamy,

• r = 7
• godz. = 14

Objętość stożka = 1/3 πr²H

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (14)

V = (1/3) (7) (7) (2)

Wys. = 32,66 cm³

Przykład 2. Znajdź objętość stożka dla a promień 5 cm i wysokość 9 cm.

Rozwiązanie:

Mamy,

• r = 5
• h = 9

Objętość stożka = 1/3 πr²H

V = (1/3) (3,14) (5) (5) (9)

V = (3,14) (5) (5) (3)

Wysokość = 235,49 cm³

Przykład 3. Znajdź objętość a stożek dla promień 7 cm i wysokość 12 cm.

Rozwiązanie:

Mamy,

• r = 7
• godz. = 12

Objętość stożka = 1/3 πr²H

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (12)

V = (22) (7) (4)

Wysokość = 616 cm³

Przykład 4. Znajdź objętość stożka dla a promień 8 cm i wysokość 15 cm.

Rozwiązanie:

Mamy,

• r = 8
• h = 15

Objętość stożka = 1/3 πr²H

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (15)

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (5)

Wysokość = 335,02 cm³

Ćwicz pytania dotyczące objętości stożka

Pytanie 1. Znajdź promień stożka, jeśli jego objętość wynosi 121 cm ² a jego wysokość wynosi 2 cm.

Pytanie 2. Znajdź objętość stożka dla wysokości 12 cm i wysokości skosu 7 cm.

Pytanie 3. Znajdź objętość stożka dla wysokości 21 cm i średnicy podstawy wynoszącej 12 cm.

Pytanie 4. Znajdź objętość stożka dla promienia 12 cm i wysokości 5 cm.

Objętość stożka – często zadawane pytania

Zdefiniuj objętość stożka.

Objętość stożka definiuje się jako całkowitą pojemność cieczy, jaką stożek może pomieścić w 3 wymiarach. Jest to całkowita przestrzeń zajmowana przez stożek.

Co to jest wzór na objętość szyszki?

Objętość stożka wyraża się wzorem:

Objętość stożka = ⅓ πr ² h jednostek sześciennych.

Jak znaleźć objętość stożka przy wysokości nachylenia?

Objętość stożka, jeśli podana jest jego wysokość (L) i promień (r) oblicza się ze wzoru: V = (1/3)πr ² √(L ² - R ² )

odchylenie standardowe pandy

Jaka jest całkowita powierzchnia (TSA) wzoru na stożek?

Całkowitą powierzchnię stożka oblicza się ze wzoru: TSA stożka = πr(l + r) jednostki kwadratowe .

Jaka jest zależność pomiędzy objętością cylindra i stożka?

W objętość stożka stanowi 1/3 objętości cylindra.

Co to jest wzór na wysokość nachylenia stożka?

Wysokość nachylenia (l) stożka oblicza się ze wzoru: l = √(godz ² + r ² ) .

Jaka jest objętość stożka, jeśli podana jest wysokość i średnica?

Objętość stożka, jeśli podana jest jego wysokość (h) i średnica podstawy (d), wynosi: V = (1/12)πd ² h jednostek sześciennych .

Jak znaleźć objętość cieczy w stożku?

Objętość cieczy wewnątrz stożka oblicza się na podstawie objętości objętości stożka dodanej powyżej.