Arctana definiuje się jako odwrotność funkcji stycznej. Arctan(x) jest oznaczany jako tan^-1(X). Istnieje sześć funkcji trygonometrycznych, a odwrotność wszystkich sześciu funkcji jest tłumiona jako grzech^-1x, bo^-1x, więc^-1x, cosek^-1x, sek^-1x i łóżeczko dziecięce^-1X.

Arktan (opalony^-1x) nie jest podobny do 1 / tan x. dębnik^-1x jest odwrotnością tan x, podczas gdy 1/ tan x jest odwrotnością tan x. dębnik^-1x służy do rozwiązywania różnych równań trygonometrycznych. W tym artykule szczegółowo przestudiujemy wzór, wykres, właściwości i inne funkcje arctanu.

Spis treści

• Co to jest Arktan?
• Co to jest formuła Arctana?
• Tożsamości Arctana
• Domena i zasięg Arctan
• Właściwości Arctanu (x).
• Stół Arctana

Co to jest Arktan?

Arcatan jest odwrotnością funkcja trygonometryczna opalony x. Stosunek prostopadłej do podstawy w trójkącie prostokątnym nazywany jest funkcją trygonometryczną, a przyjęcie jej odwrotności daje funkcję arctan. Wyjaśnia się to następująco:

tan (π/4) = 1

⇒ π/4 = tan^-1(1)…(to jest funkcja Arctana)

Jeśli mamy trójkąt prostokątny o kącie θ, to tan θ jest prostopadły/podstawowy, wówczas funkcją arctan jest:

θ = opalenizna ^-1 (prostopadła/podstawa)

Ucz się więcej, Odwrotna funkcja trygonometryczna

Co to jest formuła Arctana?

Tangens jest funkcją trygonometryczną i w trójkącie prostokątnym funkcja styczna jest równa stosunkowi prostopadłej i podstawy (prostopadła/podstawa).

Arctan jest odniesieniem do odwrotnej funkcji stycznej. Symbolicznie arctan jest reprezentowany przez opaleniznę^-1x w równaniach trygonometrycznych.

Definicja formuły Arctana

Jak omówiono powyżej, podstawowy wzór na arctan jest określony przez arctan (prostopadłość/podstawa) = θ, gdzie θ jest kątem pomiędzy przeciwprostokątną a podstawą trójkąta prostokątnego. Używamy tego wzoru na arctan, aby znaleźć wartość kąta θ w stopniach lub radianach.

Załóżmy, że tangens kąta θ jest równy x.

x = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 X

Weźmy trójkąt prostokątny ABC z kątem BCA jako θ. Strona AB jest prostopadła (p), a bok BC jest podstawą (b). Teraz, gdy badaliśmy, że tangens jest prostopadły do ​​podstawy.

tj. tan θ = prostopadły/podstawa = p/b

mapy javy

I używając powyższego wyrażenia,

θ = opalenizna ^-1 (p/b)

Tożsamości Arctana

Istnieją różne tożsamości Arctana, które są używane do rozwiązywania różnych równań trygonometrycznych. Poniżej podano niektóre z ważnych tożsamości Arctan:

• arctan(-x) = -arctan(x), dla wszystkich x ∈ R
• tan(arctan x) = x, dla wszystkich liczb rzeczywistych x
• arctan (tan x) = x, dla x ∈ (-π/2, π/2)
• arctan(1/x) = π/2 – arctan(x) = arccot(x), jeśli x> 0
• arctan(1/x) = -π/2 – arctan(x) = arccot(x) – π, jeśli x <0
• grzech(arctan x) = x/ √(1+x²)
• cos(arctan x) = 1/ √(1+x²)
• arctan(x) = 2arctan {x/(1 + √(1+x²))}
• arctan(x) = ∫_O^X1/√(1+z²)dz

Jak zastosować formułę Arctan?

Formuła Arctana jest używana do rozwiązywania różnych problemów trygonometrycznych i to samo wyjaśniono w przykładzie dodanym poniżej.

Przykład: W trójkącie prostokątnym PQR, jeśli wysokość trójkąta wynosi √3 jednostki, a podstawa trójkąta wynosi 1 jednostkę. Znajdź kąt.

Aby znaleźć kąt (θ)

θ = arctan (prostopadle/wysokość)

θ = arctan (√3/1)

θ = 60°

Domena i zasięg Arctan

Wszystkie funkcje trygonometryczne, w tym tan (x), mają relację wiele do jednego. Jednakże odwrotność funkcji może istnieć tylko wtedy, gdy ma relację jeden do jednego i na. Z tego powodu dziedzina tan x musi być ograniczona, w przeciwnym razie odwrotność nie może istnieć. Innymi słowy, funkcja trygonometryczna musi być ograniczona do jej głównej gałęzi, ponieważ potrzebujemy tylko jednej wartości.

• Dziedzina arctanu x to Prawdziwy numer
• Zakres arctanu (x) wynosi (-p/2, p/2)

Wiemy, że dziedzina i zakres funkcji trygonometrycznej są konwertowane odpowiednio na zakres i dziedzinę odwrotnej funkcji trygonometrycznej. Można zatem powiedzieć, że dziedzina tan^-1x to wszystkie liczby rzeczywiste, a zakres wynosi (-π/2, π/2).

Ciekawostką wartą odnotowania jest to, że możemy rozszerzyć funkcję arctan na liczby zespolone. W takim przypadku dziedziną arctanu będą wszystkie liczby zespolone.

Właściwości Arctanu (x).

Właściwości Arctan x służą do rozwiązywania różnych równań trygonometrycznych. Aby zbadać trygonometrię, należy zbadać różne właściwości trygonometryczne. Niektóre ważne właściwości funkcji arctan podano poniżej w tym artykule:

• tak sobie^-1x) = x
• Więc^-1(-x) = -tan^-1X
• Więc^-1(1/x) = łóżeczko dziecięce^-1x, gdy x> 0
• Więc^-1x + tak^-1y = tak^-1[(x + y)/(1 – xy)], gdy xy <1
• Więc^-1x- tak^-1y = tak^-1[(x – y)/(1 + xy)], gdy xy> -1
• Więc^-1x + łóżeczko dziecięce^-1x = π/2
• Więc^-1(tan x) = x [kiedy x ∈ R – {x : x = (2n + 1) (π/2), gdzie n ∈ Z}]
• Więc^-1(tan x) = x [kiedy x NIE jest nieparzystą wielokrotnością π/2. inaczej, opalenizna^-1(tan x) jest nieokreślone.]
• 2 tak^-1x = grzech^-1(2x / (1+x²)), gdy |x| ≤ 1
• 2 tak^-1x = sałata^-1((1-x²) / (1+x²)), gdy x ≥ 0
• 2 tak^-1x = tan-1(2x / (1-x²)), gdy -1

Stół Arctana

Każdy kąt wyrażony w stopniach można również przeliczyć na radiany. W tym celu mnożymy wartość stopnia przez współczynnik π/180°. Co więcej, funkcja arctan przyjmuje liczbę rzeczywistą jako dane wejściowe i wyprowadza odpowiednią unikalną wartość kąta. Tabela podana poniżej zawiera szczegółowe informacje na temat wartości kąta arctanowego dla niektórych liczb rzeczywistych. Można ich również używać podczas kreślenia wykresu arctanowego.

Jak badaliśmy powyżej, wartość arctanu można wyprowadzić w stopniach lub radianach. Zatem poniższa tabela ilustruje szacunkowe wartości arctanu.

Wykres Arctana

Wykres funkcji Arctan jest wykresem nieskończonym. Dziedziną arctanu jest R (liczby rzeczywiste), a zakres funkcji Arctanu to (-π/2, π/2). Wykres funkcji Arctan omówiono poniżej na obrazku poniżej:

Wykres sporządza się na podstawie wartości znanych punktów, dla funkcji y = tan^-1(X)

• x = ∞ ⇒ y = π/2
• x = √3 ⇒ y = π/3
• x = 1/√3 ⇒ y = π/6
• x = 0 ⇒ y = 0
• x = -1/√3 ⇒ y = -π/6
• x = -√3 ⇒ y = -π/3
• x = -∞ ⇒ y = -π/2

Arctan x pochodna

Pochodna arctanu jest bardzo ważna w studiowaniu matematyki. Pochodną funkcji arctan oblicza się według następującego pojęcia:

y = arctan x (let)…(1)

Opalanie się po obu stronach

tan y = tan (arctan x) [wiemy, że tan (arctan x) = x]

tan y = x

Różniczkowanie obu stron (za pomocą reguły łańcuchowej)

sek²y × dy/dx = 1

dy/dx = 1 / sek²I

dy/dx = 1 / (1 + tan²y) {używając, sek²y = 1 + opalenizna²I}

d / dx (arctan x) = 1 / (1 + x ² )

Całka Arctana

Całkę arctanu definiuje się jako funkcję pierwotną odwrotnej funkcji stycznej. Integrację Arctan x wyprowadza się przy użyciu koncepcji podanej poniżej,

Weźmy f(x) = tan^-1x i g(x) = 1

Wiemy, że ∫f(x)g(x)dx = f(x) ∫g(x)dx – ∫[d(f(x))/dx × ∫g(x) dx] dx

wstawiając wartości f(x) i g(x) do powyższego równania otrzymujemy,

∫tan ^-1 x dx = x tan ^-1 x – ½ ln |1+x ² | + C

napisz json do pliku python

Gdzie C jest stałą całkowania

Arktan 0

Arktan 0 wynosi 0. Można to również powiedzieć, tan^-1(x) = 0. Zatem Arctan(0) = 0

Arktan 2

Arctan liczby 2 wynosi 63,435. Można też tak powiedzieć, tan^-1(2) = 63,435. Zatem Arctan(2) = 63,435.

Arktanowa nieskończoność

Nieskończoność Arktanu jest podawana jako lim_{x → ∞}Więc^-1x = π/2.

Sprawdź także

• Tabela trygonometryczna
• Stosunki trygonometryczne
• Tożsamości trygonometryczne

Przykłady Arctana

Przykład 1: Oceń siebie ^-1 (1).

Rozwiązanie:

Więc^-1(1)

Wartość 1 można również zapisać jako:

1 = brązowy (45°)

Teraz,

Więc^-1(1) = tak^-1(brązowy 45°) = 45°

Przykład 2: Oceń siebie ^-1 (1732).

Rozwiązanie:

Więc^-1(1732)

Wartość 1,732 można również zapisać jako

1,732 = opalenizna (60°)

Teraz,

Więc^-1(1,732) = tak^-1(brązowy 60°) = 60°

Przykład 3: Rozwiąż to ^-1 x + tak ^-1 1/x

Rozwiązanie:

• Wiemy o tym, Tan^-1x + tak^-1y = tak^-1[(x + y)/(1 – xy)]

= tak^-1x + tak^-11/x

= tak^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= tak^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= tak^-1[(x + 1/x)/(1 – 1)]

= tak^-1[(x + 1/x)/(0)]

= tak^-1[∞]

= π/2

Przykład 4: Znajdź pochodną tan ^-1 √x

Rozwiązanie:

Wiemy, że d/dx (tan^-1x) = 1 / (1 + x²)

⇒ d/dx (tzw^-1√x)

Za pomocą Zasada łańcuchowa

= 1 / (1 + [√x]²)

= 1 / (1+x) × d/dx(1/√x)

= 1/(1+x) × 1/2√x

= √x/{2x(x+1)}

Zatem pochodna d/dx (tan^-1√x) wynosi √x/{2x(x+1)}

Pytania praktyczne Arctana

Pytanie 1. Znajdź pochodną tan ^-1 (2x ² + 3)

Pytanie 2. Znajdź całkę tan ^-1 √x

Pytanie 3. Tak siebie oceniaj ^-1 (10)

Pytanie 4. Rozwiąż tak ^-1 (x) + opalenizna ^-1 (X ² )

Często zadawane pytania dotyczące Arctan

1. Czym jest Arktan?

Odwrotność funkcji stycznej nazywa się Arctan. Jest oznaczany jako arctan x lub tan^-1X. Wzór używany do określenia wartości arctanu to θ = opalenizna ^-1 (X)

2. Znajdź pochodną Arctana.

Pochodną arctanu jest, d/dx (arctan x) = 1 / (1 + x ² )

3. Czy funkcja Arctan jest odwrotnością funkcji Tan?

Tak, funkcja arctan jest odwrotnością funkcji tan. Jeśli tan x = y niż x = tan^-1I

4. Czy Arctan jest podobny do Cot?

Nie, arctan nie jest podobny do łóżeczka. Łóżeczko jest odwrotnością funkcji opalenizny. tj. tan x = 1/łóżko x, podczas gdy Arctan jest odwrotnością funkcji tan arctan x = tan^-1X

5. Czym jest Arktan Nieskończoności?

Wiemy już bowiem, że wartość tan (π/2) = ∞. Arctan jest zatem odwrotną funkcją tan, możemy powiedzieć, że arctan(∞) = π/2.

6. Czy Arctan i opalenizna^-1ten sam?

Tak, Arctan i Tan^-1jest taki sam jak, Arctan to inna nazwa opalenizny^-1(X)

7. Dlaczego Arctan (1) pi jest większe niż 4?

Wartość grzechu^-1(π/4) wynosi 1/√2, a wartość cos^-1(π/4) wynosi 1/√2 i wiemy o tym, tan^-1(π/4) jest grzechem-¹(π/4)/cos^-1(π/4), a wartość arcsin i arccos jest równa, wówczas wartość arctan (1) wynosi π/4.