Postęp arytmetyczny, znany również jako A.P., to ciąg w matematyce, w którym różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest stała. Stała jest nazywana wspólną różnicą. Postęp arytmetyczny to ciąg liczb w kolejności, w którym różnica między dowolnymi dwiema kolejnymi liczbami jest wartością stałą.

W tym artykule dowiemy się szczegółowo o definicji progresji arytmetycznej, wzorach progresji arytmetycznej, powiązanych przykładach i innych.

polecenie „Wszystkie wielkie litery” w programie Excel

Spis treści

• Co to jest postęp arytmetyczny?
• Notacje w postępie arytmetycznym
• Wspólna różnica w postępie arytmetycznym
• Pierwszy wyraz postępu arytmetycznego
• N-ty wyraz postępu arytmetycznego
• Suma postępu arytmetycznego
• Wzór na progresję arytmetyczną (wzory AP)

Co to jest postęp arytmetyczny?

Postęp arytmetyczny (AP) to ciąg liczb, w którym różnica między dwiema kolejnymi liczbami jest wartością stałą. Innymi słowy, postęp arytmetyczny można zdefiniować jako Ciąg matematyczny, w którym różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest zawsze stała.

Na przykład ciągi liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6,… znajdują się w postępie arytmetycznym, którego wspólna różnica (d) pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami (powiedzmy 1 i 2) jest równa 1 (2 – 1). Można zauważyć powszechną różnicę między dwoma kolejnymi wyrazami, nawet w przypadku liczb nieparzystych i parzystych, którym równa się 2. W AP trzy główne terminy to różnica wspólna (d), n-ty termin (a_N) i Suma pierwszych n wyrazów (S_N); wszystkie trzy terminy reprezentują właściwości AP. Przyjrzyjmy się szczegółowo, jakie są wspólne różnice,

W AP spotykamy różne słowa, takie jak sekwencja, seria i progresja; teraz zobaczmy, co definiuje każde słowo,

• Sekwencja to skończona lub nieskończona lista liczb, która ma określony wzór. Na przykład 0, 1, 2, 3, 4, 5… to ciąg, który jest nieskończonym ciągiem liczb całkowitych.

• Seria jest sumą elementów, którym odpowiada ciąg. Na przykład 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. jest ciągiem liczb naturalnych. Każda liczba w sekwencji lub serii nazywana jest terminem. Tutaj 1 to termin, 2 to termin, 3 to termin itd.

• Postęp to sekwencja, w której termin ogólny można wyrazić za pomocą wzoru matematycznego lub Sekwencja, która wykorzystuje wzór matematyczny, który można zdefiniować jako progresję.

Notatka: Wyróżnia się trzy rodzaje progresji:

1. Postęp arytmetyczny (AP)
2. Postęp geometryczny (GP)
3. Postęp harmoniczny (KM)

Notacje w postępie arytmetycznym

W postępie arytmetycznym spotkamy się z następującymi zapisami:

• Pierwszy semestr ⇢ A
• Wspólna różnica ⇢ D
• N-ty semestr ⇢ A _N
• Suma pierwszych n wyrazów ⇢ S _N

Ogólna postać postępu arytmetycznego to a, za + d, za + 2d… a + (n – 1)d

Oto kilka przykładów AP:

• 6, 13, 20, 27, 34,41,…
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
• p, 2 p, 3 p, 4 p, 5 p, 6 p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Wspólna różnica w postępie arytmetycznym

Wspólna różnica jest oznaczane przez d w postępie arytmetycznym. To różnica między kolejnym terminem a poprzednim. W przypadku postępu arytmetycznego jest on zawsze stały lub taki sam. Jednym słowem, jeśli w pewnym ciągu różnica wspólna jest stała, to możemy powiedzieć, że jest to A.P. Jeżeli ciąg jest_1,A₂, A₃, A₄, i tak dalej.

Innymi słowy, wspólna różnica w postępie arytmetycznym jest oznaczona przez d . Różnica między kolejnym terminem a jego poprzednim terminem. Jest ona zawsze stała lub taka sama dla postępu arytmetycznego. Innymi słowy, możemy powiedzieć, że w danym ciągu, jeśli różnica wspólna jest stała lub taka sama, to możemy powiedzieć, że dany ciąg jest w Postęp arytmetyczny (AP).

Wzór na znalezienie wspólnej różnicy to:

d = (a _{n + 1} - A _N ) = (a _N - A _n-1 )

• Jeśli wspólna różnica jest dodatnia, to Zwiększa się AP . Na przykład 4, 8, 12, 16… w tych seriach AP wzrasta

• Jeśli wspólna różnica jest ujemna, to AP maleje . Na przykład -4, -6, -8…, tutaj AP maleje.

• Jeśli wspólna różnica wynosi zero, to AP będzie stałe . Na przykład 1, 2, 3, 4, 5…, tutaj AP jest stałe.

Sekwencja postępu arytmetycznego będzie wyglądać jak a ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ ,…

Wspólna różnica (d) = A ₂ - A ₁ = re

A ₃ - A ₂ = re

A ₄ - A ₃ = d i tak dalej.

Pierwszy wyraz postępu arytmetycznego

Postęp arytmetyczny można zapisać w kategoriach różnicy wspólnej (d) jako:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

Gdzie,

• a jest pierwszym wyrazem AP
• d jest powszechną różnicą AP

N-ty wyraz postępu arytmetycznego

N-ty wyraz można znaleźć, korzystając ze wzoru podanego poniżej,

T _N = za + (n - 1)d

Gdzie,

• a to pierwszy wyraz AP
• d jest wspólną różnicą
• n to liczba terminów
• T_Njest n-tym terminem

N-ty wyraz postępu arytmetycznego

Notatka: Zachowanie ciągu arytmetycznego opiera się na wartości wspólnej różnicy.

• Jeśli d jest dodatnie, wyrazy wzrosną do dodatniej nieskończoności.
• Jeśli d jest ujemne, wyrazy członków rosną do ujemnej nieskończoności

Suma postępu arytmetycznego

Wzór na sumę progresji arytmetycznej wyjaśniono poniżej; rozważ AP składający się z n warunków.

S = n/2 [2a + (n - 1) re]

Suma postępu arytmetycznego, gdy podany jest pierwszy i ostatni wyraz,

S = n/2 (pierwszy wyraz AP + ostatni wyraz AP)

wydruk Javy

S = N/2[a+ a _N ]

Wzór na progresję arytmetyczną (wzory AP)

W przypadku AP z pierwszym wyrazem „a” i różnicą wspólną „d” jego różne formuły są następujące:

• Wspólna różnica AP: d = a ₂ - A ₁ = za ₃ - A ₂ = za ₄ - A ₃ = … = a _N - A _n-1

• n-ty Okres AP: A _N = za + (n – 1)d

• Suma n warunków AP: S _N = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , gdzie l jest ostatnim wyrazem ciągu arytmetycznego.

Podsumowanie postępu arytmetycznego

• Postęp arytmetyczny (AP) to ciąg liczb, w którym różnica między dowolnymi dwiema kolejnymi liczbami jest wartością stałą. Na przykład ciąg liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

• Ogólna forma postępu arytmetycznego to a, a + d, a + 2d, a + 3d…

• Wzór na n-ty wyraz postępu arytmetycznego to A _N = za + (n – 1)d

• Suma pierwszych n wyrazów lub wzór na sumę arytmetyczną to S _N = n/2[2a + (n – 1) d] , S _N = n/2[a + za _N ]

Artykuł dotyczący postępu arytmetycznego:

• Formuła sumowania
• Suma liczb naturalnych
• Postęp arytmetyczny i postęp geometryczny

Przykłady postępu arytmetycznego

Przykład 1: Znajdź AP, jeśli pierwszy wyraz wynosi 15, a wspólna różnica wynosi 4.

Rozwiązanie:

Jak wiemy,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Tutaj a = 15 i d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, …i tak dalej.

A zatem AP 15, 19, 23, 27, 31…

Przykład 2: Znajdź 20. wyraz dla danego AP: 3, 5, 7, 9, …

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, 3, 5, 7, 9, 11......

przejście po zamówieniu

Tutaj,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

A_N= za + (n - 1)d

A₂₀= 3 + (20-1)2

A₂₀= 3 + 38

A₂₀= 41

Tutaj dwudziesty termin to a₂₀= 41

Przykład 3: Znajdź sumę pierwszych 20 wielokrotności liczby 5.

Rozwiązanie:

Pierwsze 20 wielokrotności liczby 5 to 5, 10, 15,… 100.

Tutaj jest jasne, że utworzony ciąg jest ciągiem arytmetycznym, w którym:

a = 5, d = 5, a_N= 100, n = 20.

S_N= n/2 [2a + (n - 1) re]

S_N= 20/2 [2 × 5 + (20 - 1)5]

S_N= 10 [10 + 95]

S_N= 1050

Ćwicz pytania dotyczące postępu arytmetycznego

Pytanie 1. Sumę pierwszych nn wyrazów postępu arytmetycznego podaje S _N = 3n ² + 2n. Znajdź wspólną różnicę i pierwszy wyraz.

krotka Java

Pytanie 2. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 7, a jedenasty wyraz to 31. Znajdź sumę pierwszych 11 wyrazów.

Pytanie 3. W postępie arytmetycznym suma pierwszych 10 wyrazów wynosi 150, a suma kolejnych 10 wyrazów wynosi 550. Znajdź pierwszy wyraz i wspólną różnicę.

Pytanie 4. Jeśli czwarty wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 10, a dziewiąty wyraz to 25, znajdź piętnasty wyraz.

Pytanie 5. Postęp arytmetyczny ma wspólną różnicę 5. Jeśli szósty wyraz wynosi 22, znajdź pierwszy wyraz i sumę pierwszych 12 wyrazów.

Często zadawane pytania dotyczące postępu arytmetycznego

Co to jest postęp arytmetyczny z przykładem?

Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym dwa kolejne wyrazy mają wspólną różnicę. Na przykład: 3, 6, 9, 12, 15,…

Jak znaleźć sumę postępu arytmetycznego?

Aby znaleźć sumę progresji arytmetycznej, można zastosować następujące wzory w zależności od podanych informacji:

S = n/2 (pierwszy wyraz AP + ostatni wyraz AP) = n/2[a+ a _N ]

Jaka jest różnica między postępem arytmetycznym a szeregiem arytmetycznym?

Postęp arytmetyczny to liczba ciągów w dowolnym zakresie, która zapewnia wspólną różnicę. Natomiast szereg/ciąg arytmetyczny jest sumą wszystkich wyrazów występujących w postępie arytmetycznym.

Jaki jest wzór na AP i GP?

Wzór na AP i GP to:

• AP: A _N = a + (n – 1).d
• Lekarz rodzinny: A _N = a.r

Do czego służy postęp arytmetyczny?

Postęp arytmetyczny to szereg, który daje wspólną różnicę między dwoma kolejnymi wyrazami. Używa się go w życiu codziennym do uogólniania zestawu wzorców. Na przykład, czekając na autobus, załóżmy, że autobusy poruszają się ze stałą prędkością, a za pomocą AP możesz określić, kiedy autobus przyjedzie. AP można również wykorzystać do tworzenia struktur przypominających piramidy itp.