Wyznacznik macierzy 4×4: Wyznacznik macierzy jest podstawowym pojęciem algebry liniowej, niezbędnym do wyprowadzenia pojedynczej wartości skalarnej z macierzy. 4×4 to macierz kwadratowa z 4 wierszami i 4 kolumnami, której wyznacznik można znaleźć ze wzoru, który omówimy.

W tym artykule omówimy definicję macierzy 4 × 4 i przewodnik krok po kroku przez proces obliczania wyznacznika macierzy 4 × 4. Dodatkowo bada praktyczne zastosowania tej operacji matematycznej.

Spis treści

• Co jest wyznacznikiem macierzy?
• Wyznacznik macierzy 4×4
• Właściwości macierzy 4×4
• Wyznacznik wzoru macierzowego 4 × 4
• Jak znaleźć wyznacznik macierzy 4 × 4?
• Wyznacznik przykładów macierzy 4×4
• Wyznacznik pytań praktycznych dotyczących macierzy 4×4

Co jest wyznacznikiem macierzy?

The wyznacznik macierzy jest wartością skalarną, którą można obliczyć na podstawie elementów a macierz kwadratowa . Dostarcza ważnych informacji o macierzy, takich jak to, czy jest ona odwracalna i współczynnik skalowania przekształceń liniowych reprezentowanych przez macierz.

Różne metody, np kofaktor do znalezienia wyznacznika macierzy można zastosować rozwinięcie lub redukcję wierszy, w zależności od rozmiaru i struktury macierzy. Po obliczeniu wyznacznik jest oznaczany symbolem det lub pionowymi kreskami otaczającymi macierz.

Wyznacznik macierzy 4×4

Macierz 4×4 to prostokątna tablica liczb ułożona w czterech rzędach i czterech kolumnach. Każdy element macierzy jest identyfikowany poprzez położenie w wierszu i kolumnie. Ogólna postać macierzy 4×4 wygląda następująco:

egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}

Gdzie_jareprezentuje element znajdujący się w i^trząd i j^tkolumna macierzy.

Macierze 4×4 są powszechnie spotykane w różnych dziedzinach, takich jak grafika komputerowa, fizyka, inżynieria i matematyka. Służą do przedstawiania transformacji, rozwiązywania układów równań liniowych i wykonywania operacji w algebrze liniowej.

Właściwości macierzy 4×4

Oto niektóre właściwości macierzy 4×4 wyjaśnione w uproszczeniu:

• Macierz kwadratowa: Macierz 4×4 ma taką samą liczbę wierszy i kolumn, co czyni ją macierzą kwadratową.
• Wyznacznik: Wyznacznik macierzy 4 × 4 można obliczyć za pomocą metod takich jak rozszerzanie kofaktorów lub redukcja wierszy. Dostarcza informacji o odwracalności macierzy i współczynniku skalowania dla przekształceń liniowych.
• Odwrotność: Macierz 4×4 to odwracalny jeśli jego wyznacznik jest niezerowy. Odwrotność macierzy 4×4 umożliwia rozwiązywanie układów równań liniowych i cofanie przekształceń reprezentowanych przez macierz.
• Transponować: Transpozycję macierzy 4×4 uzyskuje się poprzez zamianę jej wierszy i kolumn. Może być przydatny w niektórych obliczeniach i transformacjach.
• Wartości własne i wektory własne: Można analizować macierze 4 × 4, aby znaleźć ich wartości własne i wektory własne , które reprezentują właściwości macierzy poddawanej przekształceniom liniowym.
• Symetria: W zależności od konkretnej macierzy może ona wykazywać właściwości symetrii, takie jak bycie symetrycznym, skośno-symetrycznym lub żadne z nich.
• Operacje na macierzach: Na macierzach 4×4 można wykonywać różne operacje, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i mnożenie przez skalar, zgodnie z określonymi regułami i właściwościami.

Przeczytaj szczegółowo: Właściwości wyznaczników

Wyznacznik wzoru macierzowego 4 × 4

Wyznacznik dowolnej macierzy 4 × 4, tj.egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix} , można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

to(A) = a _jedenaście · to (A _jedenaście ) - A ₁₂ · to (A ₁₂ ) + a ₁₃ · to (A ₁₃ ) - A ₁₄ · to (A ₁₄ )

Gdzie_jaoznacza podmacierz poprzez usunięcie i^trząd i j^tkolumna.

Jak znaleźć wyznacznik macierzy 4 × 4?

Aby znaleźć wyznacznik macierzy 4×4, można skorzystać z różnych metod, takich jak rozwinięcie przez elementy podrzędne, redukcja wierszy lub zastosowanie określonych właściwości.

Jedną z powszechnych metod jest użycie rozwinięcia przez elementy podrzędne, które polega na rozwinięciu wzdłuż wiersza lub kolumny poprzez pomnożenie każdego elementu przez jego kofaktor i zsumowanie wyników. Proces ten jest kontynuowany rekurencyjnie, aż dojdziesz do podmacierzy 2×2, dla której możesz bezpośrednio obliczyć wyznacznik. Aby zrozumieć, jak znaleźć wyznacznik macierzy 4×4, rozważmy przykład.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

Krok 1: Rozwiń wzdłuż pierwszego rzędu:

it(A) = 2 · it(A _jedenaście ) – 1 · to(A ₁₂ ) + 3 · to(A ₁₃ ) – 4 · to(A ₁₄ )

Gdzie_jaoznacza podmacierz otrzymaną poprzez usunięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Krok 2: Oblicz wyznacznik każdej podmacierzy 3×3.

Dla_jedenaście

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 1 2 & 0 & 5 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A_jedenaście| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]

⇒ |A_jedenaście| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]

⇒ |A_jedenaście| = 10 – 2(-13) + 4

⇒ |A_jedenaście| = 10 + 26 + 4 = 40

Dla₁₂

A_{12} = egin{bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & 0 & 5 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₂| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]

binarny do bcd

⇒ |A₁₂| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]

⇒ |A₁₂| = 0 – 2(8) + 6

⇒ |A₁₂| = 0 – 16+ 6= 10

Dla₁₃

A_{13} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 1 3 & 2 & 5 -1 & 3 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₃| = 0 – (-1)(8) + 2(11)

⇒ |A₁₃| = 8 + 22 = 30

Dla₁₄

A_{14} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 2 3 & 2 & 0 -1 & 3 & 2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₄| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A₁₄| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₄| = 0 – (-1)(6) + 2(11)

⇒ |A₁₄| = 6 + 22 = 28

Krok 3: Podstaw wyznaczniki podmacierzy 3×3 do wzoru na rozwinięcie:

(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28

Krok 4: Oblicz ostateczny wyznacznik:

it(A) = 80 – 10 + 90 – 112

it(A) = 48

Zatem wyznacznik danej macierzy 4×4 wynosi 48.

Sprawdź także

• Wyznacznik macierzy 2×2
• Wyznacznik macierzy 3×3

Wyznacznik przykładów macierzy 4×4

Przykład 1: A =egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 4 & -1 & 2 & 0 -3 & 2 & 1 & 5 1 & 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Najpierw rozwiń wzdłuż pierwszego rzędu:

ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14})

Teraz oblicz wyznacznik każdej podmacierzy 3×3.

Dla _jedenaście ):

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight)

= (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))

= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))

= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)

= -13 – 12

= -25

Dla ₁₂ ):

A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight)

= (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2 ) -(1)(1))

= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))

= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)

= -14 – 0 – 21

= -35

Dla ₁₃ ):

A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0 ) )-(2)(1))

= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))

= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)

= 12 + 14 – 6

= 20

Dla ₁₄ ):

A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))

= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))

= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)

= -8 – 5 + 0

= -13

Teraz podstaw wyznaczniki podmacierzy 3×3 do wzoru na rozwinięcie:

det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)

= -50 + 35 + 0 + 39

= -50 + 35 + 39

= 24

Zatem wyznacznik macierzy (A) wynosi 24.

Przykład 2: Oblicz wyznacznik macierzyA = egin{bmatrix} 2 & 1 & -3 & 4 -1 & 0 & 2 & 5 3 & 2 & 1 & 0 4 & -2 & 3 & 1 end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Aby znaleźć wyznacznik macierzy ( A ), zastosujemy metodę rozwinięcia przez potęgi wzdłuż pierwszego wiersza:

ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix}

Obliczmy teraz wyznaczniki podmacierzy 3×3:

ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2)))

= 2 · (0 – 4 + 30) = 52

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4))

= -1 · (1 – 6 + 45) = 60

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (6 – 0 – 50) = 44

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (8 – 0 + 0) = -8

Teraz podstaw te wyznaczniki z powrotem do wzoru na rozwinięcie:

it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120

Zatem wyznacznikiem macierzy ( A ) jest det(A) = -120.

Przykład 3: Znajdź wyznacznik macierzy B =egin{bmatrix} -2 & 3 & 1 & 0 4 & 1 & -3 & 2 0 & -1 & 2 & 5 3 & 2 & 0 & -4 end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Aby znaleźć wyznacznik macierzy ( B ), zastosujemy metodę rozwinięcia przez potęgi wzdłuż pierwszego wiersza:

ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix}

Obliczmy teraz wyznaczniki podmacierzy 3×3:

ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2))

= -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))

= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3))

= 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))

= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3)

= -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)

= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3

= 24 + 6 + 6

= 36

Teraz podstaw te wyznaczniki z powrotem do wzoru na rozwinięcie:

det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ cokolwiek

= 8 + 9 – 36 + 0

= -19

Zatem wyznacznikiem macierzy ( B ) jest det(B) = -19

Wyznacznik pytań praktycznych dotyczących macierzy 4×4

Pytanie 1: Oblicz wyznacznik następującej macierzy 4×4:A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 2 & 0 3 & -2 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & -1 end{bmatrix}

Pytanie 2: Znajdź wyznacznik macierzy:B = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & 4 & 5 end{bmatrix}

Pytanie 3: Oblicz wyznacznik następującej macierzy 4×4:C = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 3 & 2 & -1 & 0 0 & -3 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix}

Pytanie 4: Określ wyznacznik macierzy:D = egin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 2 0 & 2 & 1 & -3 2 & 0 & -1 & 4 end{bmatrix}

funkcja podciągu Java

Pytanie 5: Znajdź wyznacznik macierzy: E = egin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 3 & -2 0 & 3 & -1 & 1 end{bmatrix}

Często zadawane pytania dotyczące wyznacznika macierzy 4×4

Jak znaleźć wyznacznik macierzy 4×4?

Aby znaleźć wyznacznik macierzy 4×4, można zastosować różne metody, takie jak rozszerzanie kofaktorów lub techniki redukcji wierszy.

Jaki jest wyznacznik macierzy tożsamości 4×4?

Wyznacznikiem macierzy tożsamości 4 × 4 jest 1, ponieważ jest to szczególny przypadek, w którym wszystkie elementy przekątne mają wartość 1, a pozostałe wynoszą 0.

Jak znaleźć wyznacznik macierzy 4×4 za pomocą rozwinięcia kofaktora?

Wyznaczanie wyznacznika macierzy 4×4 za pomocą rozwinięcia kofaktora polega na rozbiciu jej na mniejsze macierze 3×3, zastosowaniu wzoru na kofaktor i zsumowaniu iloczynów.

Jaki jest wzór na wyznacznik?

Wzór na wyznacznik polega na zsumowaniu iloczynów pierwiastków i ich kofaktorów w każdym wierszu lub kolumnie, biorąc pod uwagę ich znaki.

Czy wyznacznik może być ujemny?

Tak, wyznaczniki mogą być ujemne, dodatnie lub zerowe, w zależności od konkretnej macierzy i jej właściwości.

Czy macierz 4×4 może mieć odwrotność?

Macierz 4 × 4 może mieć odwrotność, jeśli jej wyznacznik jest różny od zera; w przeciwnym razie jest liczbą pojedynczą i brakuje jej odwrotności.

Jak pokazać, że macierz 4×4 jest odwracalna?

Aby wykazać, że macierz 4×4 jest odwracalna, potwierdź, że jej wyznacznik jest różny od zera, co wskazuje na istnienie odwrotności, i użyj dodatkowych kryteriów, takich jak redukcja wierszy, aby sprawdzić odwracalność.