Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych jest pochodną funkcji trygonometrycznych, takich jak sin, cos, tan, cot, sec i cosec. Różnicowanie jest ważną częścią rachunku różniczkowego. Definiuje się ją jako szybkość zmiany jednej wielkości w stosunku do innej wielkości. Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych jest wykorzystywane w prawdziwym życiu w różnych dziedzinach, takich jak komputery, elektronika i matematyka.

W tym artykule poznamy różniczkowanie funkcji trygonometrycznych wraz ze wzorami, powiązanymi z nimi dowodami i ich zastosowaniami. Rozwiążemy także kilka przykładów i uzyskamy odpowiedzi na często zadawane pytania dotyczące różniczkowania funkcji trygonometrycznych. Zacznijmy naszą naukę od tematu Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych.

Co to jest różnicowanie?

Różniczkowanie funkcji to szybkość zmian funkcji względem dowolnej zmiennej. The pochodna f(x) oznacza się jako f'(x) lub (d /dx)[f(x)].

Procedura różniczkowania funkcje trygonometryczne nazywa się różniczkowaniem funkcji trygonometrycznych. Innymi słowy, znalezienie szybkości zmian funkcji trygonometrycznych względem kątów nazywa się różniczkowaniem funkcji trygonometrycznych.

Sześć podstawowych funkcji trygonometrycznych to sin, cos, tan, cosec, sec i cot. Znajdziemy pochodne wszystkich funkcji trygonometrycznych wraz z ich wzorami i dowodem.

Reguła różniczkowania funkcji trygonometrycznych

Różniczkowanie sześciu podstawowych funkcji trygonometrycznych jest następujące:

Dowód pochodnej tych sześciu funkcji trygonometrycznych możesz sprawdzić w linkach podanych poniżej:

Dowód różniczkowania funkcji trygonometrycznych

Jak omówiono powyżej wzory na wszystkie funkcje trygonometryczne, teraz udowodnimy powyższe wzory na różniczkowanie funkcji trygonometrycznych, wykorzystując pierwszą zasadę pochodnej, regułę ilorazu i regułę łańcucha za pomocą granic.

Różnicowanie grzechu (x)

Aby udowodnić pochodną sin x skorzystamy z pierwszej zasady różniczkowania oraz kilku podstawowych wzorów na tożsamości trygonometryczne i granice. Poniżej podano tożsamości trygonometryczne i wzory na granice użyte w dowodzie:

1. grzech (X + Y) = grzech X cos Y + grzech Y cos X
2. lim_{x → 0}[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Zacznijmy od dowodu różniczkowania funkcji trygonometrycznej sin x

Według pierwszej zasady różnicowania

(d/dx) grzech x = lim_{h → 0}[{grzech(x + h) – grzech x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) grzech x = lim_{h → 0}[{sin x cos h + sin h cos x – grzech x} / h]

⇒ (d/dx) grzech x = lim_{h → 0}[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) grzech x = lim_{h → 0}[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_{h → 0}[(sin godz./godz.) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Używając 2 i 3]

⇒ (d/dx) grzech x = cos x

Dlatego różniczkowanie sin x to cos x.

Różniczkowanie cos(x)

Aby udowodnić pochodną cos x skorzystamy z pierwszej zasady różniczkowania oraz kilku podstawowych wzorów na tożsamości trygonometryczne i granice. Poniżej podano tożsamości trygonometryczne i wzory na granice użyte w dowodzie:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – grzech X grzech Y
2. lim_{x → 0}[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Zacznijmy dowód różniczkowania funkcji trygonometrycznej cos x

Według pierwszej zasady różnicowania

(d/dx) cos x = lim_{h → 0}[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = limit_{h → 0}[{cos x cos h – grzech h grzech x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = limit_{h → 0}[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(grzech h / h) grzech x}]

⇒ (d/dx) cos x = limit_{h → 0}[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_{h → 0}[(bez h/h) bez x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Używając 2 i 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Dlatego różniczkowanie cos x wynosi -sin x.

Różnicowanie tan(x)

Aby udowodnić pochodną tan x, skorzystamy z reguły ilorazu oraz kilku podstawowych wzorów na tożsamości trygonometryczne i granice. Poniżej podano tożsamości trygonometryczne i wzory na granice użyte w dowodzie:

1. tan x = grzech x / cos x
2. s x = 1 / cos x
3. sałata²x + grzech²x = 1
4. (d/dx) grzech x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Zacznijmy dowód różniczkowania funkcji trygonometrycznej tan x

Ponieważ przez (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Korzystając z reguły ilorazu

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [O 4 i 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + grzech²x] / sałata²X

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [O 3]

⇒ (d/dx) tan x = sek ² X [O 2]

Dlatego różniczkowanie tan x wynosi sec ² X.

Różnicowanie cosec(x)

Aby udowodnić pochodną cosec x, użyjemy reguły łańcuchowej oraz kilku podstawowych wzorów na tożsamości trygonometryczne i granice. Poniżej podano tożsamości trygonometryczne i wzory na granice użyte w dowodzie:

1. łóżko x = cos x / grzech x
2. cosek x = 1 / grzech x
3. (d/dx) grzech x = cos x

Zacznijmy dowód różniczkowania funkcji trygonometrycznej cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [O 2]

Korzystanie z reguły łańcuchowej

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) grzech x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] ponieważ x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x łóżeczko x [O 1 i 2]

Dlatego różniczkowanie cosec x wynosi – cosec x cot x.

Różniczkowanie sec(x)

Aby udowodnić pochodną sec x skorzystamy z reguły ilorazu i kilku podstawowych tożsamości trygonometryczne I formuła limitów . Poniżej podano tożsamości trygonometryczne i wzory na granice użyte w dowodzie:

1. tan x = grzech x / cos x
2. s x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Zacznijmy dowód różniczkowania funkcji trygonometrycznej sec x

(d/dx) s x = (d/dx) [1 / cos x] [O 2]

Korzystanie z reguły łańcuchowej

(d/dx) s x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) s x = [-1 / cos²x] (-bez x)

⇒ (d/dx) s x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) s x = s x tan x [Przez 1 i 2]

Dlatego różniczkowanie sec x to sec x tan x.

Różnicowanie łóżeczka(x)

Aby udowodnić pochodną cot x, skorzystamy z reguły ilorazu oraz kilku podstawowych wzorów na tożsamości trygonometryczne i granice. Poniżej podano tożsamości trygonometryczne i wzory na granice użyte w dowodzie:

1. łóżko x = cos x / grzech x
2. cosek x = 1 / grzech x
3. sałata²x + grzech²x = 1
4. (d/dx) grzech x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Zacznijmy od dowodu różniczkowania funkcji trygonometrycznej cot x

Ponieważ przez (1)

łóżko x = cos x / grzech x

(d/dx) łóżko x = (d/dx)[cosx / sin x]

Korzystając z reguły ilorazu

(d/dx) łóżeczko x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / grzech²X

⇒ (d/dx) łóżeczko x = [(-sinx) grzech x – (cosx) cos x] / grzech²x [O 4 i 5]

⇒ (d/dx) łóżeczko x = [ -grzech²x – sałata²x] / grzech²X

⇒ (d/dx) łóżeczko x = -[ grzech²x + sałata²x] / grzech²X

⇒ (d/dx) łóżeczko x = -1 / grzech²x [O 3]

⇒ (d/dx) łóżeczko x = -cosec ² X [O 2]

Dlatego różniczkowanie łóżka x wynosi -cosec ² X.

Niektóre inne pochodne funkcji trygonometrycznej

Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych można łatwo przeprowadzić za pomocą reguły łańcuchowej. Złożone funkcje trygonometryczne i złożone funkcje trygonometryczne można rozwiązać poprzez zastosowanie zasada łańcuchowa różnicowania. W kolejnych nagłówkach będziemy szczegółowo badać regułę łańcucha i złożone funkcje trygonometryczne.

• Różniczkowanie za pomocą reguły łańcuchowej
• Różniczkowanie złożonej funkcji wyzwalania

Omówmy te tematy szczegółowo.

Reguła łańcucha i funkcja trygonometryczna

Reguła łańcuchowa mówi, że jeśli p(q(x)) jest funkcją, to pochodną tej funkcji wyznacza się jako iloczyn pochodnej p(q(x)) i pochodnej q(x). Do różnicowania używana jest reguła łańcuchowa funkcje złożone . Reguła łańcucha jest najczęściej używana do łatwego różnicowania złożonych funkcji trygonometrycznych.

Przykład: Znajdź pochodną f(x) = tan 4x

Rozwiązanie:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Stosując regułę łańcuchową

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sek²4x)(4)

Różniczkowanie złożonej funkcji wyzwalania

Do oceny różniczkowania złożonych funkcji trygonometrycznych stosujemy łańcuchową regułę różniczkowania. Złożone funkcje trygonometryczne to funkcje, w których kąt funkcji trygonometrycznej sam jest funkcją. Różniczkowanie złożonych funkcji trygonometrycznych można łatwo ocenić, stosując regułę łańcuchową i wzory na różniczkowanie funkcji trygonometrycznych.

Przykład: Znajdź pochodną f(x) = cos(x ² +4)

Rozwiązanie:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f’(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Stosując regułę łańcuchową

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)grzech(x²+4)

Co to są odwrotne funkcje trygonometryczne?

The odwrotne funkcje trygonometryczne są funkcjami odwrotnymi funkcji trygonometrycznych. Istnieje sześć odwrotnych funkcji trygonometrycznych: grzech^-1, bo^-1, Więc^-1, cosek^-1, sek^-1, łóżeczko^-1. Odwrotne funkcje trygonometryczne nazywane są także funkcjami łukowymi.

Różniczkowanie odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Pochodne sześciu odwrotnych funkcji trygonometrycznych są następujące:

Przykład: Znajdź pochodną f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 X

Rozwiązanie:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1X]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [grzech^-1x ]+ 4(d/dx) [kos^-1X]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

Testowanie oprogramowania

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Zastosowania dotyczące różniczkowania funkcji trygonometrycznych

Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych ma wiele różnych zastosowań w życiu codziennym. Poniżej przedstawiono zastosowania różniczkowania funkcji trygonometrycznych.

• Nachylenie stycznej i normalnej do krzywej trygonometrycznej można wyznaczyć za pomocą różniczkowania funkcji trygonometrycznych.
• Można go również wykorzystać do określenia maksimów i minimów funkcji.
• Jest również stosowany w dziedzinie komputerów i elektroniki.

Sprawdź także

• Odwrotna pochodna trygonometryczna
• Funkcja pierwotna
• Wzory różniczkowe

Przykładowe problemy dotyczące różniczkowania funkcji trygonometrycznych

Zadanie 1: Znajdź pochodną f(x) = tan 2x.

Rozwiązanie:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Stosując regułę łańcuchową

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sek²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2 sek²2x

Zadanie 2: Znajdź pochodną y = cos x / (4x ² )

Rozwiązanie:

y = cos x / (4x²)

Stosowanie reguły ilorazu

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Zadanie 3: Oblicz pochodną f(x) = cosec x + x tan x

Rozwiązanie:

f(x) = cosec x + x tan x

Stosując regułę formuły i produktu

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x łóżeczko x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x łóżeczko x + tan x + xsec²X

Zadanie 4: Znajdź pochodną funkcji f(x) = 6x ⁴ bo x

Rozwiązanie:

f(x) = 6x⁴bo x

Stosując regułę produktu

f'(x) = (d/dx) [6x⁴bo x]

⇒ f’(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-bez x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴bez x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x grzech x]

Zadanie 5: Oblicz pochodną: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Rozwiązanie:

f(x) = (x + cos x) (1 – grzech x)

Stosując regułę produktu

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – grzech x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – grzech x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – grzech x)]

⇒ f’(x) = [(1 – grzech x) (1 – grzech x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – grzech x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + grzech²x – 2 sinx – x cosx – cos²X

Ćwicz problemy dotyczące różniczkowania funkcji trygonometrycznych

Problem 1: Znajdź pochodną y = sin(x) + cos(x).

Problem 2: Oblicz pochodną y = 2sin(x) – 3cos(x).

Problem 3: Znajdź pochodną y = 2sin(3x).

Problem 4: Wyznacz pochodną y = tan(5x).

Problem 5: Znajdź pochodną y = sin(x) cos(x).

Problem 6: Oblicz pochodną y = cos²(X).

Problem 7: Wyznacz pochodną y = tan²(X).

Problem 8: Wyznacz pochodną y = tan(x) sec(x).

Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych – często zadawane pytania

Co to jest różnicowanie?

Różniczkowanie to operacja matematyczna, która oblicza szybkość zmian funkcji w odniesieniu do jej zmiennej niezależnej.

Co to jest funkcja trygonometryczna?

Funkcje trygonometryczne to funkcje matematyczne, które wiążą kąty trójkąta prostokątnego ze stosunkami jego boków.

Jakie są typowe funkcje trygonometryczne?

Typowe funkcje trygonometryczne obejmują sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tan), cosecans (cosec), secans (s) i cotangens (cot).

Zdefiniuj różniczkowanie funkcji trygonometrycznych.

Metodę różniczkowania funkcji trygonometrycznych nazywamy różniczkowaniem funkcji trygonometrycznych.

Jak różniczkować funkcję sinus, czyli sin (x)?

Pochodną grzechu (x) jest cos (x). W notacji matematycznej d/dx(sin(x)) = cos(x).

Co otrzymamy po zróżnicowaniu funkcji cosinus, tj. cos (x)?

Pochodną cos (x) jest -sin (x). W notacji matematycznej d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Jak różniczkować funkcję styczną, tj. tan (x)?

Pochodna tan(x) wynosi sec²(x), gdzie sec(x) jest funkcją secans. W notacji matematycznej d/dx(tan(x)) = sek²(X).

Jakie są wzory na różniczkowanie funkcji trygonometrycznych?

Wzór na różniczkowanie funkcji trygonometrycznych to:

• (d/dx) grzech x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²X
• (d/dx) cosec x = -cosec x łóżeczko x
• (d/dx) sek. x = sek. x tan x
• (d/dx) łóżko x = -cosec²X

Podaj jeden przykład różniczkowania funkcji trygonometrycznej.

Rozważmy funkcję f(x) = 2sin(3x).

Korzystając z reguły łańcuchowej,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f’(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Jakie metody są używane do wyprowadzania różniczkowania funkcji trygonometrycznych?

Różne sposoby wyprowadzenia wzoru na różniczkowanie funkcji trygonometrycznych to:

• Korzystając z pierwszej zasady pochodnych
• Korzystając z Reguła ilorazu
• Korzystając z reguły łańcuchowej

Co to jest antyróżniczkowanie funkcji trygonometrycznych?

Przeciwdziałanie różniczkowania funkcji trygonometrycznych oznacza znalezienie całkowania funkcji trygonometrycznych.