Dziedzina i zakres funkcji: Dziedzina i Zakres to wartości wejściowe i wyjściowe funkcji. A funkcjonować definiuje się jako relację między zbiorem danych wejściowych i ich wyników, przy czym dane wejściowe mogą mieć tylko jedno wyjście, tj. dziedzina może dawać określony zakres. Przedstawia związek pomiędzy zmienną niezależną a zmienną zależną.

Funkcja jest zwykle oznaczana przez y = f(x), gdzie x jest wejściem. Funkcja jest relacją f ze zbioru X do innego zbioru Y, gdzie każdy element X ma dokładnie jedno wyjście w Y i jest reprezentowana jako f: X → Y. Tutaj zbiór X nazywany jest dziedziną funkcji, a zbiór Y nazywany jest współdziedziną funkcji. Każda funkcja ma dziedzinę, kodomenę i zakres, które pomagają w zdefiniowaniu funkcji.

W tym artykule dowiemy się o dziedzinie i zasięgu funkcji, jak obliczyć dziedzinę i zakres funkcji, o dziedzinie i zakresie arkusza funkcji, o dziedzinie i zakresie funkcji, przykładach dziedziny i zakresu funkcji wykres funkcji i inne szczegółowe informacje.

Spis treści

• Co to jest domena i zasięg?
• Zapis interwałowy domeny i zakresu
• Wspólna domena i zakres
• Dziedzina funkcji
• Jak znaleźć dziedzinę funkcji?
• Zakres funkcji
• Jak znaleźć zakres funkcji?
• Jak znaleźć domenę i zakres
• Dziedzina i zakres funkcji. Przykłady
• Dziedzina kwadratowa i zakres
• Dziedzina i zakres funkcji wykładniczych
• Dziedzina i zakres funkcji trygonometrycznych
• Dziedzina i zakres odwrotnych funkcji trygonometrycznych
• Dziedzina i zakres funkcji wartości bezwzględnej
• Dziedzina i zakres funkcji pierwiastka kwadratowego
• Dziedzina i zakres funkcji wymiernej
• Dziedzina i zakres funkcji dziennika
• Dziedzina i zakres największej funkcji całkowitej
• Dziedzina i zakres wykresu funkcji
• Dziedzina i zakres arkusza funkcji
• Arkusz dotyczący domeny i zakresu w formacie PDF
• Problemy praktyczne dotyczące domeny i zakresu
• Rozwiązane pytania dotyczące domeny i zakresu

Co to jest domena i zasięg?

Domena A funkcjonować definiuje się jako zbiór wszystkich możliwych wartości, dla których można zdefiniować funkcję. Zakres to wynik funkcji dla określonej domeny. Współdziedzina funkcji to zbiór możliwych wyników, natomiast zakres lub obraz funkcji jest podzbiorem współdziedziny i jest zbiorem obrazów elementów w dziedzinie. Na przykład na poniższym rysunku f(x) = x³jest funkcją, której dziedziną jest zbiór X, a jej współdziedziną jest zbiór Y, a jej zakres wynosi {1, 8, 27, 64}.

Domena a Relacja można również znaleźć przy użyciu tych samych metod. Relacja to rodzaj funkcji, w której jeden obiekt w obszarze domeny jest odwzorowywany na więcej niż jeden obiekt w obszarze zasięgu.

Dla danej funkcji f(x) = x³

• f(x) = {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64)}
• Domena = {1, 2, 3, 4}
• Współdomena = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 23, 27, 64}
• Zakres = {1, 8, 27, 64}

Zapis interwałowy domeny i zakresu

Dziedzinę i zakres dowolnej funkcji można łatwo zapisać w notacji interwałowej. Załóżmy, że mamy daną funkcję f(x) = sin x, wówczas jej dziedzinę i zakres zapisujemy jako:

• Dziedzina f(x) = (-∞, +∞)
• Zakres f(x) = [-1, 1]

Podobnie używając notacja interwałowa możemy reprezentować dziedzinę i zakres dowolnej funkcji.

Jak napisać domenę i zakres

Dziedzinę i zakres dowolnej funkcji można łatwo przedstawić za pomocą notacji interwałowej, jak pokazano powyżej. W ten sposób używamy nawiasów do opisania zestawu liczb. Używamy {}, [] i () do przedstawienia dziedziny i zakresu funkcji.

Wspólna domena i zakres

Kodomena to zbiór wartości obejmujący zakres funkcji i może mieć dodatkowe wartości. Zakres jest podzbiorem kodomeny. Wyjaśniono to na przykładzie,

Dana funkcja, f(x) = cos x, taka, że ​​f:R → R

• Kodomena f(x) = R
• Zakres R = (-1, 1)

Dziedzina funkcji

Dziedzinę funkcji definiuje się jako zbiór wszystkich możliwych wartości, dla których można zdefiniować tę funkcję. Przejdźmy przez dziedziny różnych funkcji.

• Dziedziną dowolnej funkcji wielomianowej, takiej jak funkcja liniowa, funkcja kwadratowa, funkcja sześcienna itp., jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (R).
• Dziedziną funkcji logarytmicznej f(x) = log x jest x> 0 lub (0, ∞).
• Dziedziną funkcji pierwiastka kwadratowego f(x) = √x jest zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych, który jest reprezentowany jako [0, ∞).
• Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (R).
• Funkcję wymierną definiuje się tylko dla niezerowych wartości jej mianownika. Aby więc wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej y = f(x), należy ustawić mianownik ≠ 0.

Zasady znajdowania dziedziny funkcji

Różne zasady znajdowania dziedziny funkcji.

• Dziedziną funkcji wielomianowych (liniowych, kwadratowych, sześciennych itp.) jest R (wszystkie liczby rzeczywiste).
• Dziedzina funkcji pierwiastka kwadratowego √x wynosi x ≥ 0.
• Dziedziną funkcji wykładniczej jest R.
• Dziedzina funkcji logarytmicznej to x> 0.
• Wiemy, że dziedzina funkcji wymiernej y = f(x), mianownik ≠ 0.

Jak znaleźć dziedzinę funkcji?

Aby znaleźć dziedzinę funkcji, wykonaj następujące kroki:

Krok 1: Najpierw sprawdź, czy dana funkcja może obejmować wszystkie liczby rzeczywiste.

Krok 2: Następnie sprawdź, czy dana funkcja ma w mianowniku ułamka wartość różną od zera, a pod mianownikiem ułamka nieujemną liczbę rzeczywistą.

Krok 3: W niektórych przypadkach dziedzina funkcji podlega pewnym ograniczeniom, tj. ograniczeniami tymi są wartości, dla których danej funkcji nie można zdefiniować. Na przykład , dziedzina funkcji f(x) = 2x + 1 jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych (R), natomiast dziedzina funkcji f(x) = 1/ (2x + 1) jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem -1/2.

Krok 4: Czasami razem z funkcją podawany jest przedział, w którym definiowana jest funkcja. Na przykład, fa (x) = 2x²+3, -5

Po wykonaniu wszystkich opisanych powyżej kroków pozostawiony nam zbiór liczb uważa się za dziedzinę funkcji.

Przykład domeny

Znajdź dziedzinę f(x) = 1/(x ² - 1)

Rozwiązanie:

Dany,

• f(x) = 1/(x²- 1)

Teraz wstawiając x = -1, 1 do f(x)

• f(-1) = 1/{(-1)²– 1} = 1/0 = ∞
• f(1) = 1/{(1)²– 1} = 1/0 = ∞

Zatem na -1 i 1 funkcja f(x) jest niezdefiniowana i niezależnie od tego, że we wszystkich punktach f(x) jest zdefiniowane. Zatem dziedziną f(x) jest R – {-1, 1}

Zakres funkcji

Zakres funkcji jest zbiorem wszystkich wyników funkcji. Dla dowolnej funkcji f: A → B zbiory wartości w B stanowią zakres funkcji. jeśli f: A → B jest funkcją taką, że f(x) = x²a A jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych, wówczas zakres funkcji to zbiór Range = {1, 4, 9, 16, ….}. Musimy zauważyć, że zakres funkcji jest podzbiorem współdziedziny funkcji.

Zasady znajdowania zakresu funkcji

Zasady znajdowania zakresu funkcji to:

• Dla funkcji liniowej zakres wynosi R.
• Dla funkcji kwadratowej y = a(x – h)²+ k zakres wynosi:
  • y ≥ k, jeśli a> 0
  • y ≤ k, jeśli a <0
• W przypadku funkcji pierwiastka kwadratowego zakres wynosi y ≥ 0.
• W przypadku funkcji wykładniczej zakres wynosi y> 0.
• W przypadku funkcji logarytmicznej zakres wynosi R.

Jak znaleźć zakres funkcji?

Zakres lub obraz funkcji jest podzbiorem współdziedziny i jest zbiorem obrazów elementów w domenie.

jak zamienić ciąg znaków na int

Aby znaleźć zakres funkcji, wykonaj następujące kroki

Rozważmy funkcję y = f(x).

Krok 1: Zapisz daną funkcję w jej ogólnej postaci, tj. y = f(x).

Krok 2: Rozwiąż to dla x i uzyskaną funkcję zapisz w postaci x = g(y).

Krok 3: Teraz dziedziną funkcji x = g(y) będzie zakres funkcji y = f(x).

W ten sposób obliczany jest zakres funkcji.

Przykład zakresu

Znajdź zakres funkcji f(x) = 1/ (4x − 3).

Rozwiązanie:

Dany,

• f(x) = 1/ (4x - 3)

Niech funkcją będzie f(x) = y = 1/ (4x - 3)

y(4x - 3) = 1

4xy – 3y = 1

4xy = 1 + 3y

x = 4 lata / (1 + 3 lata)

Tutaj zauważamy, że x jest zdefiniowane dla wszystkich wartości z wyjątkiem y dla y = −1/3, ponieważ w przypadku y = -1/3 otrzymujemy niezdefiniowaną wartość x.

Zatem zakres f(x) = 1/ (4x - 3) wynosi (−∞, −1/3) IN (1/3, ∞)

Jak znaleźć domenę i zakres

Aby teraz obliczyć dziedzinę i zakres dowolnej funkcji, przeanalizuj uważnie następujący przykład:

Dla X = {1, 2, 3, 4, 5} i Y = {1, 2, 4, 5, …, 45, 46, 47, 48, 49, 50} i funkcji zdefiniowanej jako f: X → Y , f(x) = x²znajdź dziedzinę i zakres następującej funkcji f(x)

Dziedzina = Wszystkie wartości wejściowe = X

Zakres = {1, 4, 9, 16, 25} = Podzbiór Y

Dziedzina funkcji to wartość wejściowa, jaką możemy przyjąć dla funkcji, a zakres funkcji to zbiór wszystkich wartości wyjściowych, które funkcja osiąga. Teraz dziedzinę i zakres funkcji wyznaczamy korzystając z dodanego poniżej przykładu,

Na przykład, jeśli mamy daną funkcję F: X → Y taką, że F(x) = y + 1 oraz X = {1, 2, 3, 4, 5} i Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tutaj,

• Dziedzina F(x) = X = {1, 2, 3, 4, 5}
• Zakres F(x) = {2, 3, 4, 5, 6}

Y jest kodomeną F(x), ale nie zakresem.

Dziedzina i zakres różnych typy funkcji omówiono w kolejnych rozdziałach.

Dziedzina i zakres funkcji. Przykłady

• Funkcje liniowe : Dlaf(x)=2x+3, dziedzina i zakres są liczbami rzeczywistymi, ponieważ nie ma żadnych ograniczeń dla x i f(x).
• Funkcje kwadratowe : Dla g(x)=x^2−4, domeną są wszystkie liczby rzeczywiste, ale zakres jesty≥−4ponieważ wynik nie może być mniejszy niż -4.
• Funkcje wymierne : Dla ℎ(x)=1/x-2​, dziedzina to x≠2 (wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem 2), a zakres obejmuje także wszystkie liczby rzeczywiste, z wyjątkiem przypadku, gdy ℎ(x)=0.

Dziedzina kwadratowa i zakres

Funkcja kwadratowa to funkcja wielomianowa o stopniu 2, tj. f(x): ax²+ bx = c = 0 jest funkcją kwadratową. Dziedzina i zakres funkcji kwadratowej to:

Dziedzina f(x): Zbiór liczb rzeczywistych = R

Zakres f(x):

• y ≥ k, jeśli a> 0, gdzie k jest dowolną stałą
• y ≤ k, jeśli a <0, gdzie k jest dowolną stałą

Dziedzina i zakres funkcji wykładniczych

The funkcja wykładnicza definiuje się jako:

f: R → R, f(x) = a ^X

Dziedziną funkcji wykładniczej są wszystkie liczby rzeczywiste, a ponieważ funkcja wykładnicza zawsze daje dodatni wynik, zakres jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych.

co to komputer

• Domena = R
• Zakres = R⁺

Dziedzina i zakres funkcji trygonometrycznych

Dla funkcje trygonometryczne , dziedzina jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych (z wyjątkiem niektórych wartości w niektórych funkcjach), a zakres funkcji trygonometrycznych zmienia się w zależności od różnych funkcji trygonometrycznych, tak że

• Zakres funkcji sinus = [-1, 1]
• Zakres funkcji cosinus = [-1, 1]
• Zakres funkcji cosecans = (−∞,−1]∪[1,+∞)
• Zakres funkcji siecznej = (−∞,−1]∪[1,+∞)

Zakres funkcji tangens i cotangens jest inny,

• Zakres funkcji stycznej = [-∞, ∞]
• Zakres funkcji Cotangens = [-∞, ∞]

Można to podsumować w poniższej tabeli:

Dziedzina i zakres odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Funkcja odwrotna sinus

Domena: [-1, 1] i zakres: [- Liczba Pi /2 , Liczba Pi /2]

Funkcja odwrotna cosinus

Domena: [-1, 1] i zakres: [0, Liczba Pi ]

Funkcja odwrotna tangensa

Domena: (-infty, infty) & Zakres: (-π/2, π/2)

Funkcja odwrotna cotangens

Domena: (-infty, infty) & zakres: (0 , Liczba Pi )

Dziedzina i zakres funkcji wartości bezwzględnej

Funkcje bezwzględne, zwane także funkcją modułu, to funkcje zdefiniowane dla wszystkich liczb rzeczywistych, ale ich wynikiem są tylko dodatnie liczby rzeczywiste, funkcja bezwzględna daje tylko dodatni wynik.

Funkcja absolutna jest zdefiniowana jako:

f: R → R, f(x) = |ax + b|

Zatem dziedzina i zakres funkcji wartości bezwzględnej to:

• Domena = R
• Zakres = R⁺

Dziedzina i zakres funkcji pierwiastka kwadratowego

W przypadku funkcji pierwiastka kwadratowego dziedzinę i zakres oblicza się jako:

Załóżmy, że pierwiastek kwadratowy ma postać f(x) = √(ax + b)

Wiemy, że pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie jest zdefiniowany, więc dziedzina funkcji pierwiastka kwadratowego wynosi:

• Domena = x ≥ -b/a = [-b/a,∞)

Jeśli chodzi o zakres funkcji pierwiastka kwadratowego, wiemy, że absolutny pierwiastek kwadratowy daje tylko wartości dodatnie, więc cały zakres obejmuje dodatnie liczby rzeczywiste.

• Zakres = R⁺

Dziedzina i zakres funkcji wymiernej

A funkcja wymierna jest funkcją reprezentowaną jako P(x)/Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są funkcjami wielomianowymi, a Q(x) nigdy nie wynosi zero. dziedziną funkcji wymiernej są wartości x, dla których Q(x) nigdy nie wynosi zero. A zakresem funkcji wymiernej są wartości y, które można znaleźć przy użyciu różnych wartości x, w y = P(x)/Q(x).

Dziedzina i zakres funkcji dziennika

Funkcja dziennika lub Funkcja logarytmiczna są funkcją postaci, y = ln x, a dziedzina nd zakresu funkcji log wynosi:

• Dziedzina funkcji log: (0, ∞)
• Zakres funkcji Log: (-∞, +∞)

Dziedzina i zakres największej funkcji całkowitej

Funkcja największej liczby całkowitej jest również nazywana funkcją krokową i jest funkcją, która daje wynik w postaci najbliższej liczby całkowitej mniejszej lub równej podanej liczbie.

• Dziedzina największej funkcji całkowitej: R
• Zakres największej funkcji całkowitej: Z

Dziedzina i zakres wykresu funkcji

Jeśli dany jest wykres dowolnej funkcji, to znalezienie dziedziny i zakresu jest zadaniem bardzo łatwym. Załóżmy, że mamy dowolną krzywą, a naszym pierwszym priorytetem jest ustalenie, czy krzywa jest funkcją, czy nie. Można to znaleźć za pomocą próba linii pionowej . Wtedy, jeśli krzywa jest dana w postaci y = f(x), to rzut na wykres na oś x daje dziedzinę funkcji, a rzut wykresu na oś y daje zakres funkcji .

Dziedzina i zakres arkusza funkcji

1. Rozważ funkcję F ( X )=√( X −2​). Wyznacz dziedzinę i zakres tej funkcji.
2. Biorąc pod uwagę funkcję G ( X )=1/( X +3)​, znajdź jego dziedzinę i zasięg.
3. Dla funkcji H ( X )=( X ²−4​)/ X −2, określ dziedzinę i zakres.
4. Poznaj tę funkcję k ( X )=bez( X ). Jaka jest dziedzina i zakres tej funkcji trygonometrycznej?
5. Zbadaj funkcję M ( X )= To jest ^X . Określ jego dziedzinę i zasięg.

Arkusz dotyczący domeny i zakresu w formacie PDF

Pobierać

Artykuły związane z dziedziną i zakresem funkcji

Wykres funkcji trygonometrycznej

Relacja i funkcja

Zakres funkcji

W matematyce funkcję definiuje się jako relację pomiędzy zbiorem danych wejściowych i ich wynikami, przy czym dane wejściowe mogą mieć tylko jedno wyjście.

polecenie w węźle js

Jak funkcja jest reprezentowana w matematyce?

Funkcja jest relacją f ze zbioru X do innego zbioru Y, gdzie każdy element X ma dokładnie jedno wyjście w Y i jest reprezentowana jako f: X → Y . Funkcja jest zwykle oznaczana przez y = f(x), gdzie x jest wejściem.

Jaka jest dziedzina w przykładzie matematycznym?

Dziedzinę funkcji definiuje się jako zbiór wszystkich możliwych wartości, dla których można zdefiniować tę funkcję. Dziedziną dowolnej funkcji wielomianowej, takiej jak funkcja liniowa, funkcja kwadratowa, funkcja sześcienna itp., jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (R).

Jaka jest współdziedzina i zakres funkcji?

Współdziedzina funkcji to zbiór możliwych wyników, natomiast zakres lub obraz funkcji jest podzbiorem współdziedziny i jest zbiorem obrazów elementów w dziedzinie.

Jaka jest domena i zasięg?

Wartości, które wprowadzamy do funkcji, nazywane są dziedziną funkcji, a zakres wartości wyjściowej nazywany jest zakresem funkcji.

Jak znaleźć domenę i zasięg?

Dziedzinę funkcji wyznacza się, biorąc zbiór wszystkich wartości wejściowych funkcji, a zakres funkcji to zbiór wszystkich wartości znajdujących się w zakresie wyjściowym funkcji.

Jaka jest dziedzina i zakres zbioru?

Dziedziną dowolnej funkcji jest zbiór wartości, które można zastosować zamiast zmiennej niezależnej, a zakresem funkcji są wszystkie wartości zmiennej niezależnej.