Ostry, tępy, równoramienny, równoboczny… Jeśli chodzi o trójkąty, istnieje wiele różnych odmian, ale tylko kilka z nich jest „wyjątkowych”. Te specjalne trójkąty mają spójne i przewidywalne boki i kąty. Można ich używać do rozwiązywania problemów z geometrią lub trygonometrią. A trójkąt 30-60-90 – wymawiane „trzydzieści sześćdziesiąt dziewięćdziesiąt” – okazuje się być rzeczywiście bardzo szczególnym rodzajem trójkąta.

W tym przewodniku omówimy, czym jest trójkąt 30-60-90, dlaczego działa i kiedy (i jak) wykorzystać swoją wiedzę na ten temat. Więc przejdźmy do tego!

Co to jest trójkąt 30-60-90?

Trójkąt 30-60-90 to specjalny trójkąt prostokątny (trójkąt prostokątny to dowolny trójkąt zawierający kąt 90 stopni), który zawsze ma kąty stopniowe wynoszące 30 stopni, 60 stopni i 90 stopni. Ponieważ jest to trójkąt specjalny, ma on również wartości długości boków, które zawsze pozostają ze sobą w spójnej relacji.

Podstawowy stosunek trójkąta 30-60-90 wynosi:

Strona przeciwna do kąta 30°: $x$

Strona przeciwna do kąta 60°: $x * √3$

Strona przeciwna do kąta 90°: x$

Na przykład trójkąt o kątach 30-60-90 stopni może mieć boki o długości:

2, 2√3, 4

7, 7√3, 14

√3, 3, 2√3

ffilm

(Dlaczego dłuższa noga ma wartość 3? W tym trójkącie najkrótsza noga ($x$) to $√3$, więc dla dłuższej nogi $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. przeciwprostokątna jest 2 razy krótsza od najkrótszej nogi, czyli 2√3$)

I tak dalej.

Strona przeciwna do kąta 30° jest zawsze najmniejsza , ponieważ 30 stopni to najmniejszy kąt. Strona przeciwna do kąta 60° będzie długością środkową , ponieważ 60 stopni to kąt średniej wielkości w tym trójkącie. I wreszcie strona przeciwna do kąta 90° będzie zawsze stroną największą (przeciwprostokątna) ponieważ 90 stopni to największy kąt.

Chociaż może wyglądać podobnie do innych typów trójkątów prostokątnych, powodem, dla którego trójkąt 30-60-90 jest tak wyjątkowy jest to, że potrzebujesz tylko trzech informacji, aby znaleźć co drugi pomiar. Dopóki znasz wartość dwóch miar kątów i długość jednego boku (nie ma znaczenia, który bok), wiesz wszystko, co musisz wiedzieć o swoim trójkącie.

Na przykład możemy użyć wzoru trójkąta 30-60-90, aby wypełnić wszystkie pozostałe puste pola informacyjne poniższych trójkątów.

Przykład 1

Widzimy, że jest to trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna jest dwukrotnie dłuższa od jednej z nóg. Oznacza to, że musi to być trójkąt 30-60-90, a mniejszy podany bok jest przeciwny do 30°.

Dlatego dłuższa noga musi znajdować się naprzeciwko kąta 60° i mieć wymiary 6 $ * √3 $ lub 6√3 $.

Przykład 2

MB na GB

Widzimy, że musi to być trójkąt 30-60-90, ponieważ widzimy, że jest to trójkąt prostokątny o jednej podanej mierze, czyli 30°. Niezaznaczony kąt musi wówczas wynosić 60°.

Ponieważ 18 jest miarą przeciwną do kąta 60°, musi być równa $x√3$. Najkrótsza noga musi wówczas mierzyć 18 USD/√3 USD.

(Zauważ, że długość nogi będzie w rzeczywistości wynosić 18 $/{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, ponieważ mianownik nie może zawierać pierwiastka/pierwiastka kwadratowego).

A przeciwprostokątna będzie wynosić 2(18/√3)$

(Zauważ, że znowu nie możesz mieć pierwiastka w mianowniku, więc ostateczna odpowiedź będzie tak naprawdę 2-krotnością długości nogi wynoszącej 6√3$ => 12√3$).

Przykład 3

Ponownie, mamy dwa pomiary kąta (90° i 60°), więc trzecia miara będzie wynosić 30°. Ponieważ jest to trójkąt 30-60-90, a przeciwprostokątna wynosi 30, najkrótsza odnoga będzie równa 15, a dłuższa odnoga będzie równa 15√3.

Nie musisz konsultować się z magiczną ósemką – te zasady zawsze działają.

Dlaczego to działa: 30-60-90 Dowód twierdzenia o trójkącie

Ale dlaczego ten specjalny trójkąt działa w ten sposób? Skąd wiemy, że te zasady są legalne? Przyjrzyjmy się dokładnie, jak działa twierdzenie o trójkącie 30-60-90 i udowodnijmy, dlaczego te długości boków będą zawsze stałe.

Po pierwsze, zapomnijmy na chwilę o trójkątach prostokątnych i spójrzmy na: trójkąt równoboczny.

Trójkąt równoboczny to trójkąt, który ma wszystkie równe boki i wszystkie kąty równe. Ponieważ kąty wewnętrzne trójkąta zawsze sumują się do 180°, a 180/3 = 60 $, trójkąt równoboczny będzie zawsze miał trzy kąty po 60°.

Teraz obniżmy wysokość od najwyższego kąta do podstawy trójkąta.

Mamy teraz utworzył dwa kąty proste i dwa przystające (równe) trójkąty.

Skąd wiemy, że są to równe trójkąty? Ponieważ obniżyliśmy wysokość z równoboczny trójkąta, podzieliliśmy podstawę dokładnie na pół. Nowe trójkąty również mają jedną długość boku (wysokość) i każdy z nich ma tę samą długość przeciwprostokątnej. Oznacza to, że mają one wspólne trzy długości boków (SSS). trójkąty są przystające.

Uwaga: te dwa trójkąty są przystające nie tylko w oparciu o zasadę długości bok-bok-bok, czyli SSS, ale także w oparciu o miary bok-kąt-bok (SAS), kąt-kąt-bok (AAS) i kąt- kąt boczny (ASA). Zasadniczo? Z całą pewnością są zgodne.

Teraz, gdy udowodniliśmy zgodność dwóch nowych trójkątów, możemy zobaczyć, że każdy z kątów górnych musi wynosić 30 stopni (ponieważ każdy trójkąt ma już kąty 90° i 60°, a suma musi wynosić 180°). To znaczy zrobiliśmy dwa trójkąty 30-60-90.

A ponieważ wiemy, że przecinamy podstawę trójkąta równobocznego na pół, możemy zobaczyć, że bok przeciwny do kąta 30° (najkrótszy bok) każdego z naszych trójkątów 30-60-90 ma dokładnie połowę długości przeciwprostokątnej .

Nazwijmy więc naszą pierwotną długość boku $x$ i naszą długość podzieloną na pół $x/2$.

Teraz pozostaje nam tylko znaleźć długość środka boku, jaką dzielą oba trójkąty. Aby to zrobić, możemy po prostu skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$b = {√3x}/2$

znaki ucieczki Java

Zatem zostaje nam: $x/2, {x√3}/2, x$

Teraz pomnóżmy każdą miarę przez 2, żeby ułatwić życie i uniknąć wszystkich ułamków. W ten sposób zostaje nam:

$x$, $x√3$, x$

Widzimy zatem, że trójkąt 30-60-90 będzie zawsze mają stałe długości boków $x$, $x√3$ i x$ (lub $x/2$, ${√3x}/2$ i $x$).

Na szczęście dla nas możemy udowodnić, że reguły trójkąta 30-60-90 są prawdziwe bez tego wszystkiego.

Kiedy stosować reguły trójkąta 30-60-90

Znajomość zasad trójkąta 30-60-90 pozwoli Ci zaoszczędzić czas i energię przy rozwiązywaniu wielu różnych problemów matematycznych, a mianowicie szerokiej gamy problemów z geometrii i trygonometrii.

Geometria

Właściwe zrozumienie trójkątów 30-60-90 pozwoli ci rozwiązać problemy z geometrii, których albo nie da się rozwiązać bez znajomości zasad proporcji, albo przynajmniej zajmie dużo czasu i wysiłku, aby rozwiązać „długą drogę”.

Dzięki specjalnym proporcjom trójkątów możesz obliczyć brakujące wysokości lub długości trójkątów (bez konieczności korzystania z twierdzenia Pitagorasa), znaleźć pole trójkąta, korzystając z brakujących informacji o wysokości lub długości podstawy, a także szybko obliczyć obwody.

Za każdym razem, gdy potrzebujesz szybkości, aby odpowiedzieć na pytanie, przydaje się pamiętanie o skrótach, takich jak reguły 30-60-90.

Trygonometria

Zapamiętanie i zrozumienie proporcji trójkątów 30-60-90 pozwoli Ci także rozwiązać wiele problemów trygonometrycznych bez konieczności używania kalkulatora lub konieczności przybliżania odpowiedzi w formie dziesiętnej.

Trójkąt 30-60-90 ma dość proste sinusy, cosinusy i styczne dla każdego kąta (a te pomiary zawsze będą spójne).

Sinus 30° będzie zawsze wynosił 1/2 USD.

zastąpienie metody Java

Cosinus 60° zawsze będzie wynosił 1/2 $.

Chociaż pozostałe sinusy, cosinusy i styczne są dość proste, to te dwa najłatwiej zapamiętać i najprawdopodobniej wykażą się w testach. Zatem znajomość tych zasad pozwoli Ci znaleźć te pomiary trygonometryczne tak szybko, jak to możliwe.

Wskazówki dotyczące zapamiętywania zasad 30-60-90

Wiesz, że zasady proporcji 30-60-90 są przydatne, ale jak zachować te informacje w głowie? Zapamiętywanie zasad trójkąta 30-60-90 polega na pamiętaniu o stosunku 1: √3 : 2 i wiedzy, że długość najkrótszego boku jest zawsze przeciwna do najkrótszego kąta (30°), a długość najdłuższego boku jest zawsze przeciwna do największy kąt (90°).

Niektórzy ludzie zapamiętują proporcje, myśląc: $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ', ponieważ sekwencja '1, 2, 3' jest zazwyczaj łatwa do zapamiętania. Jedynym środkiem ostrożności przy stosowaniu tej techniki jest pamiętanie, że najdłuższy bok to tak naprawdę 2 $x$, nie $x$ razy $√3$.

Innym sposobem na zapamiętanie proporcji jest użyj mnemonicznej gry słów na temat stosunku 1: pierwiastek 3: 2 we właściwej kolejności. Na przykład „Jackie Mitchell pokonał Lou Gehriga i „wygrał także Ruthy”: jeden, pierwiastek trzy, dwa. (I to jest prawdziwy fakt z historii baseballu!)

Jeśli Ci to nie odpowiada, pobaw się swoimi urządzeniami mnemonicznymi — zaśpiewaj proporcję do piosenki, znajdź własne frazy „jeden, pierwiastek trzy, dwa” lub wymyśl wiersz o proporcjach. Możesz nawet po prostu zapamiętać, że trójkąt 30-60-90 to połowa równoboku i obliczyć stamtąd wymiary, jeśli nie lubisz ich zapamiętywać.

Jednakże rozsądne jest, abyś pamiętał o zasadach 30-60-90 i pamiętał o tych proporcjach, aby móc w przyszłości zadawać pytania dotyczące geometrii i trygonometrii.

Zapamiętywanie jest Twoim przyjacielem, możesz jednak sprawić, że tak się stanie.

Przykład 30-60-90 Pytania

Teraz, gdy przyjrzeliśmy się, jak i dlaczego w przypadku trójkątów 30-60-90, przeanalizujmy kilka problemów praktycznych.

Geometria

Pracownik budowlany opiera 40-metrową drabinę o ścianę budynku pod kątem 30 stopni nad ziemią. Teren jest równy, a bok budynku jest prostopadły do ​​podłoża. Jak daleko w górę budynku sięga drabina, z dokładnością do najbliższej stopy?

Nie znając naszych specjalnych zasad dotyczących trójkątów 30-60-90, musielibyśmy użyć trygonometrii i kalkulatora, aby znaleźć rozwiązanie tego problemu, ponieważ mamy tylko jeden wymiar boku trójkąta. Ale ponieważ wiemy, że to jest specjalny trójkąta, odpowiedź znajdziemy w ciągu kilku sekund.

Jeżeli budynek i grunt są do siebie prostopadłe, musi to oznaczać, że budynek i grunt tworzą kąt prosty (90°). Zakłada się również, że drabina styka się z podłożem pod kątem 30°. Widzimy zatem, że pozostały kąt musi wynosić 60°, co czyni ten trójkąt 30-60-90.

Teraz wiemy, że przeciwprostokątna (najdłuższy bok) tego 30-60-90 ma 40 stóp, co oznacza, że ​​najkrótszy bok będzie miał połowę tej długości. (Pamiętaj, że najdłuższy bok jest zawsze dwa razy – 2 $ x $ – dłuższy niż najkrótszy bok.) Ponieważ najkrótszy bok leży naprzeciw kąta 30°, a kąt ten jest miarą stopnia drabiny od podłoża, oznacza to, że szczyt drabiny uderza w budynek 20 stóp nad ziemią.

zestaw c++

Nasza ostateczna odpowiedź to 20 stóp.

Trygonometria

Jeśli w trójkącie prostokątnym sin Θ = /2$, a najkrótsza długość ramienia wynosi 8. Jaka jest długość brakującego boku, który NIE jest przeciwprostokątną?

Ponieważ znasz reguły 30-60-90, możesz rozwiązać ten problem bez potrzeby korzystania z twierdzenia Pitagorasa lub kalkulatora.

Powiedziano nam, że to jest trójkąt prostokątny, a z naszych specjalnych zasad dotyczących trójkąta prostokątnego wiemy, że sinus 30° = /2$. Brakujący kąt musi zatem wynosić 60 stopni, co daje trójkąt 30-60-90.

A ponieważ jest to trójkąt 30-60-90 i powiedziano nam, że najkrótszy bok ma długość 8, przeciwprostokątna musi wynosić 16, a brakujący bok musi wynosić 8 $ * √3 $, czyli 8√3 $.

Nasza ostateczna odpowiedź to 8√3.

Na wynos

Pamiętając o Zasady dotyczące trójkątów 30-60-90 pomogą Ci uporać się z różnymi problemami matematycznymi . Pamiętaj jednak, że choć znajomość tych zasad jest przydatnym narzędziem, które warto mieć przy sobie, to nadal możesz rozwiązać większość problemów bez nich.

Śledź zasady $x$, $x√3$, x$ i 30-60-90 w dowolny sposób, który ma dla ciebie sens i staraj się trzymać ich prosto, jeśli możesz, ale nie panikuj, jeśli masz na to ochotę gaśnie, gdy nadchodzi moment krytyczny. Tak czy inaczej, masz to.

A jeśli potrzebujesz więcej praktyki, śmiało sprawdź to Quiz dotyczący trójkąta 30-60-90 . Miłego przystąpienia do testu!