Klasa równoważności są grupą elementów zbioru opartego na konkretnym pojęciu równoważności zdefiniowanym przez relację równoważności. Relacja równoważności to relacja, która spełnia trzy właściwości: zwrotność, symetrię i przechodniość. Klasy równoważności dzielą zbiór S na rozłączne podzbiory. Każdy podzbiór składa się z elementów, które są ze sobą powiązane w ramach zadanej relacji równoważności.
W tym artykule wystarczająco szczegółowo omówimy koncepcję klasy równoważności, łącznie z jej definicją, przykładem, właściwościami, a także rozwiązanymi przykładami.
Spis treści
- Co to są klasy równoważności?
- Przykłady klas równoważności
- Własności klas równoważności
- Klasy równoważności i podział
Co to są klasy równoważności?
Klasa równoważności to nazwa, jaką nadajemy podzbiorowi S, który obejmuje wszystkie elementy, które są sobie równoważne. Równoważność zależy od określonej relacji, zwanej relacją równoważności. Jeśli pomiędzy dowolnymi dwoma elementami istnieje relacja równoważności, nazywa się je równoważnymi.
Definicja klasy równoważności
Biorąc pod uwagę relację równoważności na zbiorze S, klasa równoważności w odniesieniu do elementu a w S jest zbiorem wszystkich elementów w S, które są powiązane z a tj.
[a] LUB x jest powiązane z a
Rozważmy na przykład zbiór liczb całkowitych ℤ i relację równoważności zdefiniowaną przez kongruencję modulo n. Dwie liczby całkowite a i b uważa się za równoważne (oznaczane jako (a ≡ b mod(n), jeśli mają tę samą resztę z dzielenia przez n). W tym przypadku klasa równoważności liczby całkowitej a to zbiór wszystkich liczb całkowitych, które mają taka sama reszta jak przy dzieleniu przez n.
Co to jest relacja równoważności?
Dowolną relację R nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia trzy poniższe warunki:
- refleksyjność: Dla dowolnego elementu a, a jest powiązane ze sobą.
- Symetria: Jeśli a jest powiązane z b, to b jest powiązane z a.
- Przechodniość: Jeśli a jest powiązane z b i b jest powiązane z c, to a jest powiązane z c.
Przeczytaj więcej o Relacja równoważności .
Oto kilka przykładów relacji równoważności:
Równość na zbiorze: Niech X będzie dowolnym zbiorem i zdefiniuj relację R do X taką, że a R b wtedy i tylko wtedy, gdy a = b dla a, b ϵ X.
- refleksyjność: Dla każdego A ϵ X, a = a (trywialnie prawdziwe).
- Symetria: Jeśli a = b, to b = a (trywialnie prawdziwe).
- Przechodniość: Jeśli a = b i b = c, to a = c (trywialnie prawdziwe).
Kongruencja modulo n: Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą i zdefiniuje relację R na liczbach całkowitych ℤ taką, że a R b wtedy i tylko wtedy, gdy a – b jest podzielne przez n.
- refleksyjność: Dla każdego A ϵ ℤ, a – a = 0 jest podzielne przez n.
- Symetria: Jeśli a – b jest podzielne przez n, to -(a – b) = b – a jest również podzielne przez n.
- Przechodniość: Jeśli a – b jest podzielne przez n i b – c jest podzielne przez n, to a – c jest również podzielne przez n.
Przykłady klas równoważności
Dobrze znanym przykładem relacji równoważności jest relacja równości (=). Inaczej mówiąc, dwa elementy danego zbioru są sobie równoważne, jeśli należą do tej samej klasy równoważności. Relacje równoważności można wyjaśnić na następujących przykładach:
Relacja równoważności na liczbach całkowitych
Relacja równoważności: Kongruencja modulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )
- Klasa równoważności 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
- Klasa równoważności 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
- Klasa równoważności 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
- Klasa równoważności 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
- Klasa równoważności 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}
Relacja równoważności na liczbach rzeczywistych
Relacja równoważności: Różnica bezwzględna (a ~ b jeśli |a – b| <1)
- Klasa równoważności 0: [0] = (-0,5; 0,5)
- Klasa równoważności 1: [1] = (0,5; 1,5)
- Klasa równoważności 2: [2] = (1,5; 2,5)
- Klasa równoważności 3: [3] = (2,5, 3,5)
Czytaj więcej,
- Liczby rzeczywiste
- Liczby całkowite
- Liczby wymierne
Własności klas równoważności
Właściwości klas równoważności to:
- Każdy element należy do dokładnie jednej klasy równoważności.
- Klasy równoważności są rozłączne, tj. przecięcie dowolnych dwóch klas równoważności ma zbiór zerowy.
- Suma wszystkich klas równoważności jest zbiorem pierwotnym.
- Dwa elementy są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ich klasy równoważności są równe.
Czytaj więcej,
- Związek zbiorów
- Przecięcie zbiorów
- Zbiory rozłączne
Klasy równoważności i podział
Grupy elementów zbioru powiązane relacją równoważności, natomiast zbiór tych klas równoważności obejmujący cały zbiór bez nakładania się, nazywane są podziałami.
Różnica między klasami równoważności a podziałem
Kluczową różnicę między klasami równoważności a podziałem podano w poniższej tabeli:
| Funkcja | Klasy równoważności | Partycje |
|---|---|---|
| Definicja | Zestawy elementów, które w relacji są uważane za równoważne. | Zbiór niepustych podzbiorów rozłącznych parami, których suma stanowi cały zbiór. |
| Notacja | Jeśli A jest klasą równoważności, często jest oznaczana jako [ A ] lub [a] R , gdzie A jest elementem reprezentatywnym i R jest relacją równoważności. | Podział zestawu X jest oznaczony jako { B 1, B 2,…, B N }, gdzie B I są rozłącznymi podzbiorami w partycji. |
| Relacja | Klasy równoważności tworzą partycję zbioru bazowego. | Podział może, ale nie musi, wynikać z relacji równoważności. |
| Kardynalność | Klasy równoważności mogą mieć różne kardynalności. | Wszystkie podzbiory w partycji mają tę samą liczność. |
| Przykład | Rozważmy zbiór liczb całkowitych i relację równoważności mającą tę samą resztę przy dzieleniu przez 5. Klasy równoważności to {…,−5,0,5,…}, {…,−5,0,5,…}, {…,−4,1,6,…} i {…,−4,1 ,6,…} itd. | Rozważmy zbiór liczb całkowitych podzielonych na liczby parzyste i nieparzyste: {…,−4,−2,0,2,4,…} i {…,−3,−1,1,3,5,…}. |
| Przecięcie klas | Klasy równoważności są albo rozłączne, albo identyczne. | Partycje składają się z rozłącznych podzbiorów. |
Rozwiązane przykłady klas równoważności
Przykład 1: Udowodnij, że relacja R jest typem równoważności w zbiorze P= { 3, 4, 5,6 } danym przez relację R = (p, q):.
Rozwiązanie:
Dany: R = (p, q):. Gdzie p, q należy do P.
Właściwość refleksyjna
Z podanej relacji |p – p| = | 0 |=0.
- A 0 jest zawsze parzyste.
- Dlatego |p – p| jest równa.
- Zatem (p, p) odnosi się do R
Zatem R jest zwrotne.
Właściwość symetryczna
Z podanej relacji |p – q| = |q – p|.
- Wiemy, że |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
- Stąd |p – q| jest równa.
- Dalej |q – p| jest również równa.
- Odpowiednio, jeśli (p, q) ∈ R, to (q, p) również należy do R.
Zatem R jest symetryczne.
Właściwość przechodnia
- Jeśli |p – q| jest parzyste, to (p-q) jest parzyste.
- Podobnie, jeśli |q-r| jest parzyste, to (q-r) również jest parzyste.
- Sumowanie liczb parzystych jest zbyt równe.
- Zatem możemy to rozwiązać w ten sposób, że p – q+ q-r jest parzyste.
- Następnie p – r jest dalej parzyste.
Odpowiednio,
alfabet i cyfry
- |p – q| i |q-r| jest parzysta, to |p – r| jest równa.
- W konsekwencji, jeśli (p, q) ∈ R i (q, r) ∈ R, to (p, r) odnosi się również do R.
Zatem R jest przechodnie.
Przykład 2: Rozważmy A = {2, 3, 4, 5} i R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.
Rozwiązanie:
Biorąc pod uwagę: A = {2, 3, 4, 5} i
Relacja R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4 )}.
Aby R było relacją równoważności, R musi spełniać trzy właściwości, tj. Zwrotny, Symetryczny i Przechodni.
Zwrotny : Relacja R jest zwrotna, ponieważ (5, 5), (2, 2), (3, 3) i (4, 4) ∈ R.
Symetryczny : Relacja R jest symetryczna, ponieważ zawsze (a, b) ∈ R, (b, a) odnosi się również do R tj. (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.
Przechodni : Relacja R jest przechodnia, ponieważ zawsze (a, b) i (b, c) odnoszą się do R, (a, c) odnoszą się również do R, tj. (3, 5) ∈ R i (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.
Odpowiednio R jest zwrotny, symetryczny i przechodni.
Zatem R jest relacją równoważności.
Ćwicz problemy dotyczące klasy równoważności
Problem 1: aRb, jeśli a+b jest parzyste. Określ, czy jest to relacja równoważności i jakie są jej własności.
Problem 2: xSy, jeśli x i y mają ten sam miesiąc urodzenia. Przeanalizuj, czy jest to relacja równoważności.
Problem 3: Rozważmy A = {2, 3, 4, 5} i R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3 ), (4, 2), (4, 4)}. Potwierdź, że R jest relacją typu równoważności.
Problem 4: Udowodnić, że relacja R jest typem równoważności w zbiorze P= { 3, 4, 5,6 } danym przez relację R = jest parzysty .
Klasa równoważności: często zadawane pytania
1. Co to jest klasa równoważności?
Klasa równoważności to podzbiór w zbiorze utworzony przez zgrupowanie wszystkich elementów, które są sobie równoważne w ramach danej relacji równoważności. Reprezentuje wszystkich członków, których ta relacja uważa za równych.
2. Jaki jest symbol klasy równoważności?
Symbol klasy równoważności jest zwykle zapisywany jako [a], gdzie a jest reprezentatywnym elementem klasy. Notacja ta oznacza zbiór wszystkich elementów równoważnych danej relacji równoważności.
3. Jak znaleźć klasę równoważności zbioru?
Aby znaleźć klasę równoważności zbioru, wykonaj następujące kroki:
Krok 1: Zdefiniuj relację równoważności.
Krok 2: Wybierz element z zestawu.
Krok 3: Zidentyfikuj elementy równoważne wybranym elementom.
Krok 4: Utwórz klasę równoważności zawierającą wszystkie elementy równoważne wybranemu elementowi.
4. Jaka jest różnica pomiędzy klasą równoważności a partycją?
Klasy równoważności to podzbiory utworzone przez relację równoważności, natomiast podziały to niezachodzące na siebie podzbiory obejmujące cały zbiór. Każda klasa równoważności jest podzbiorem w podziale, ale nie każdy podział wynika z relacji równoważności.
5. Co to jest relacja równoważności?
Relacja zwrotna, symetryczna i przechodnia, dzieląca zbiór na rozłączne podzbiory.