W nowo zaprojektowanym egzaminie SAT 2016 treść sekcji matematycznej została podzielona przez Radę Uczelni na cztery kategorie: Serce algebry, Rozwiązywanie problemów i analiza danych, Paszport do zaawansowanej matematyki oraz Dodatkowe tematy z matematyki. Serce Algebry stanowi największą część sekcji matematyki SAT (33% testu) , więc trzeba się do tego dobrze przygotować. W tym poście omówię treść i typy pytań tej kategorii, omówię problemy praktyczne i podam wskazówki, jak poradzić sobie z tymi pytaniami.
Serce algebry: przegląd
Treść objęta
Jak sama nazwa wskazuje, Heart of Algebra obejmuje treść algebry, ale jaką konkretnie treść algebry? Te pytania obejmują:
- Równania liniowe
- Układ równań
- Całkowita wartość
- Wykresy równań liniowych
- Nierówności liniowe i systemy nierówności
Poniżej omówię każdy z tych obszarów treści. Wyjaśnię dokładnie, co musisz wiedzieć w każdym obszarze i przeprowadzę Cię przez kilka praktycznych problemów.
NOTATKA: Wszystkie praktyczne problemy opisane w tym artykule pochodzą z: prawdziwy test praktyczny SAT College Board (Test praktyczny nr 1).
Radziłbym nie czytać tego artykułu przed wykonaniem testu praktycznego nr 1 (więc nie psuję wam przyjemności!). Jeśli nie wykonałeś testu praktycznego nr 1, dodaj ten artykuł do zakładek i wróć po jego ukończeniu. Jeśli wziąłeś już udział w teście praktycznym nr 1, czytaj dalej!
Podział pytań na temat serca algebry
Jak wspomniałem na początku artykułu, Serce Algebry stanowi 33% części matematycznej, co daje 19 pytań. Będzie ich osiem w części 3 (test z matematyki bez kalkulatora) i 11 w części 4 (test z matematyki na kalkulatorze).
matematyka w Javie
Pytania dotyczące serca algebry różnią się sposobem prezentacji. Ponieważ jest ich tak wiele, Rada Uczelni musiała zmienić sposób zadawania tych pytań. Zobaczysz Pytania wielokrotnego wyboru i siatki w Sercu Algebry. Możesz po prostu zostać przedstawione za pomocą równań i należy je rozwiązać albo możesz otrzymać scenariusz ze świata rzeczywistego w formie zadania tekstowego i musi utworzyć równanie, aby znaleźć odpowiedź.
Część matematyczna egzaminu SAT przedstawia pytania według stopnia trudności (określonego na podstawie tego, ile czasu zajmuje przeciętnemu uczniowi rozwiązanie problemu i jaki odsetek uczniów odpowiedział poprawnie na pytanie). W tej sekcji zobaczysz pytania dotyczące Serca algebry : proste, „łatwe” pojawią się na początku testów wielokrotnego wyboru i siatek, podczas gdy te bardziej wymagające, wymagające utworzenia równania lub równań do rozwiązania, pojawią się pod koniec.
Podam przykłady każdego rodzaju pytań (łatwe i trudne), gdy będziemy poznawać każdy obszar treści w następnej sekcji.
Jesteśmy na drodze do podboju algebry!
Podziały obszarów treści
Równania liniowe
Pytania dotyczące równań liniowych można przedstawić na kilka sposobów. Łatwiejsze pytania dotyczące równań liniowych będą wymagać rozwiązania podanego równania liniowego. W trudniejszych pytaniach z równaniami liniowymi będziesz musiał napisać równanie liniowe reprezentujące daną sytuację.
Żadnych problemów z praktyką kalkulatora
To pytanie jest jedno z najprostszych, najłatwiejszych i najbardziej bezpośrednich pytań z Serca Algebry że zobaczysz. Pytanie po prostu prosi o rozwiązanie równania liniowego bez umieszczania go w rzeczywistej sytuacji, która wymagałaby zrozumienia kontekstu i równania.
Odpowiedź Wyjaśnienie:
Ponieważ $k=3$, w równaniu można zastąpić 3 k, co daje ${x-1}/{3}=3$. Mnożenie obu stron ${x-1}/{3}=3$ przez 3 daje $x-1=9$, a jeśli dodasz 1 do każdej strony, wynikiem będzie $x=10$. D jest poprawną odpowiedzią.
Wskazówka:
Jeśli miałeś trudności z tym pytaniem, możesz je również rozwiązać, podłączając opcje odpowiedzi dla x i sprawdzając, która z nich zadziałała. Podłączenie będzie działać, ale zajmie więcej czasu niż samo rozwiązanie równania.
Jeśli rozwiążesz równanie, aby znaleźć x, możesz dwukrotnie sprawdzić swoją odpowiedź, podłączając ją do prądu. Jeśli podłączysz wybraną odpowiedź dla x i obie strony równania są równe, wiesz, że masz właściwą odpowiedź!
Następne pytanie brzmi nieco trudniejsze ponieważ prosi o utworzenie równania liniowego reprezentującego przedstawiony przez niego scenariusz ze świata rzeczywistego.
Baza danych
Odpowiedź Wyjaśnienie:
Istnieją dwa sposoby podejścia do tego problemu.
Podejście 1: Całkowita liczba wiadomości wysłanych przez Armanda jest równa szybkości wysyłania przez niego SMS-ów (m SMS-ów na godzinę) pomnożonej przez 5 godzin, które spędził na wysyłaniu SMS-ów: m SMS-ów na godzinę × 5 godzin = SMS-y o wartości 5 milionów dolarów. Podobnie całkowita liczba wiadomości wysłanych przez Tyrone jest równa szybkości wysyłania przez niego SMS-ów (p SMS-ów na godzinę) pomnożonej przez 4 godziny, które spędził na wysyłaniu SMS-ów: p SMS-ów na godzinę × 4 godziny = 4 pensy dolarów. Całkowita liczba wiadomości wysłanych przez Armanda i Tyrone'a jest równa sumie całkowitej liczby wiadomości wysłanych przez Armanda i całkowitej liczby wiadomości wysłanych przez Tyrone'a: 5 milionów dolarów + 4 pensy. C jest poprawną odpowiedzią.
Podejście 2: Wybierz liczby i podłącz je. Na przykład wybiorę liczby i powiem, że Armand wysyła 3 SMS-y na godzinę, a Tyrone 10 SMS-ów na godzinę. Na podstawie podanych informacji, jeśli Armand pisze SMS-y przez 5 godzin, Armand wysłał (3 SMS-y na godzinę) (5 godzin) SMS-y lub 15 SMS-ów; jeśli Tyrone pisze SMS-y przez 4 godziny, Tyrone wysyła (10 SMS-ów na godzinę) (4 godziny) SMS-y lub 40 SMS-ów. Dlatego łączna liczba SMS-ów wysłanych przez Armanda i Tyrone'a wynosi 15 $ + 40 = 55 $ SMS-ów. Teraz podłączam wybrane liczby do wybranych odpowiedzi i sprawdzam, czy liczba SMS-ów odpowiada 55 tekstom, więc dla odpowiedzi C, 5(3) +4(10)=15+40=55$ SMS-ów. Dlatego C jest poprawną odpowiedzią. UWAGA: w przypadku tego pytania ta strategia była wolniejsza, ale w przypadku bardziej skomplikowanych pytań może to być szybsze i łatwiejsze podejście.
Wskazówka:
Rozwiązuj te problemy krok po kroku. Oblicz całkowitą liczbę SMS-ów Armanda, następnie oblicz całkowitą liczbę SMS-ów Tyrone'a i połącz je w jedno wyrażenie. Nie spiesz się, aby przejść do ostatecznej odpowiedzi. Możesz popełnić błąd po drodze.
Układy równań
Pytania dotyczące układu równań będą prezentowane w podobny sposób, jak pytania dotyczące równań liniowych; Jednakże, są trudniejsze ponieważ musisz teraz wykonać więcej kroków i/lub utworzyć drugie równanie.
The łatwiejszy układ równań poprosi Cię o rozwiązanie dla jednej zmiennej, gdy otrzymasz dwa równania z dwiema zmiennymi.
The trudniejszy układ równań będzie wymagało napisania układu równań reprezentujących daną sytuację, a następnie rozwiązania dla jednej zmiennej przy użyciu utworzonych równań.
Żadnych problemów z praktyką kalkulatora
To pytanie jest prawdopodobnie najprostsze, najłatwiejsze i najprostsze układy pytań równań że zobaczysz. Układa za Ciebie równania i po prostu prosi Cię o rozwiązanie x.
Odpowiedź Wyjaśnienie:
Odejmowanie lewej i prawej strony $x+y=−9$ od odpowiednich boków $x+2y =−25$ daje $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , co jest równoważne $y=−16$. Podstawienie $−16$ na $y$ w $x+y=−9$ daje $x+(−16)=−9$, co jest równoważne $x=−9−(−16) =7$. Prawidłowa odpowiedź to 7.
Wskazówka:
Podłączenie może być dobrym rozwiązaniem, jeśli otrzymasz to pytanie w ramach opcji wielokrotnego wyboru (co nie ma miejsca w tym przypadku). Możesz jednak także podłączyć swoją odpowiedź, aby dokładnie sprawdzić swoją pracę!
Oto kolejne dość proste pytanie dotyczące układu równań, ale tak jest nieco trudniejsze ponieważ musisz podać odpowiedź zarówno dla x, jak i y (co stwarza większe ryzyko błędu).
Odpowiedź Wyjaśnienie:
Dodanie x i 19 do obu stron y−x=−19$ daje $x=2y+19$. Następnie podstawienie y+19$ za x w x+4y=−23$ daje (2y + 19)+4y=−23$. To ostatnie równanie jest równoważne 10 lat + 57 = -23 $. Rozwiązanie y+57=−23$ daje $y=−8$. Wreszcie podstawienie −8 za y w y−x=−19$ daje (−8)−x=−19$, czyli $x=3$. Zatem rozwiązaniem $(x, y)$ danego układu równań jest $(3, −8)$.
Wskazówka:
Podłączenie byłoby również szybkim sposobem na rozwiązanie tego problemu! Gdy zostaniesz poproszony o rozwiązanie problemu z obydwoma zmiennymi w układzie równań, zawsze próbuj się podłączyć!
Poniżej znajduje się nieco trudniejsze. Nawet jeśli masz równania, nadal musisz określić, czego dotyczy pytanie (dla której zmiennej musisz rozwiązać), co jest nieco trudniejsze, ponieważ zadaje pytanie przy użyciu scenariusza ze świata rzeczywistego. Musisz także rozwiązać go za pomocą matematyki mentalnej (ponieważ jest to sekcja bez kalkulatora).
Odpowiedź Wyjaśnienie:
są modelowymi przykładami
Aby określić cenę za funt wołowiny, gdy była ona równa cenie za funt kurczaka, określ wartość x (liczbę tygodni po 1 lipca), gdy obie ceny były równe. Ceny były równe, gdy $b=c$; to znaczy, gdy 2,35 $ + 0,25 x = 1,75 + 0,40 x $. To ostatnie równanie jest równoważne 0,60 $ = 0,15 x $, a zatem $ x = {0,6}/{0,15} = 4 $. Następnie, aby określić $b$, cenę za funt wołowiny, podstaw 4 za $x$ w $b=2,35+0,25x$, co daje $b=2,35+0,25(4)=3,35$ za funt. Zatem D jest poprawną odpowiedzią.
Wskazówka:
Nie spiesz się, przepracowując każdy krok. Łatwo jest popełnić mały błąd i uzyskać złą odpowiedź.
Problem praktyczny z kalkulatorem
Poniżej znajduje się jedno z najtrudniejszych pytań z Serca Algebry. W oparciu o rzeczywisty scenariusz podany w pytaniu musisz utworzyć dwa równania, a następnie je rozwiązać.
Odpowiedź Wyjaśnienie:
Aby określić liczbę sprzedanych sałatek, napisz i rozwiąż układ dwóch równań. Niech $x$ będzie równe liczbie sprzedanych sałatek, a $y$ będzie równe liczbie sprzedanych napojów. Ponieważ liczba sałatek plus liczba sprzedanych napojów wynosi 209, równanie $x+y=209$ musi być spełnione. Ponieważ każda sałatka kosztowała 6,50, każdy napój gazowany kosztował 2,00, a całkowity przychód wyniósł 836,50, równanie 6,50 x + 2,00 y = 836,50 $ również musi być spełnione. Równanie $x+y=209$ jest równoważne x+2y=418$, a odjęcie każdej strony x+2y=418$ od odpowiedniej strony ,50x+2,00y=836,50$ daje ,5x=418,50 $. Zatem liczba sprzedanych sałatek x wyniosła $x={418,50}/{4,50}=93$. Zatem poprawną odpowiedzią jest B.
Wskazówka:
Rozwiązuj te problemy krok po kroku. Zapisz równanie na całkowitą liczbę sprzedanych sałatek i napojów, następnie oblicz równanie na przychód i rozwiąż. Nie spiesz się, bo możesz popełnić błąd.
Całkowita wartość
Zwykle będzie tylko jedno pytanie o wartość bezwzględną w sekcji matematyki SAT. Pytanie jest zwykle dość łatwe i proste, ale aby na nie odpowiedzieć poprawnie, wymaga znajomości zasad dotyczących wartości bezwzględnej. Wszystko, co jest wartością bezwzględną, zostanie ujęte w nawiasy znakami wartości bezwzględnej, które wyglądają tak: || Na przykład $|-4|$ lub $|x-1|$
Wartość bezwzględna to reprezentacja odległości wzdłuż osi liczbowej, do przodu lub do tyłu.
To znaczy że cokolwiek jest w znaku wartości bezwzględnej, stanie się dodatnie ponieważ reprezentuje odległość wzdłuż osi liczbowej i nie można mieć odległości ujemnej. Na przykład na powyższej osi liczbowej -2 jest oddalone o 2 od 0. Wszystko wewnątrz wartości bezwzględnej staje się dodatnie.
Oznacza to również, że równanie wartości bezwzględnej zawsze będzie miało dwa rozwiązania . Na przykład $|x-1|=2$ będzie miało dwa rozwiązania $x-1=2$ i $x-1=-2$. Następnie rozwiązujesz każde oddzielne równanie, aby znaleźć dwa rozwiązania, $x=3,-1$.
Pracując nad problemami wartości bezwzględnych, pamiętaj, że musisz stworzyć dwa osobne rozwiązania, dodatnie i ujemne, tak jak zrobiliśmy to powyżej.
zawiera Pythona
Problem praktyczny z kalkulatorem
Odpowiedź Wyjaśnienie:
Jeżeli wartość $|n−1|+1$ jest równa 0, to $|n−1|+1=0$. Odejmowanie 1 od obu stron tego równania daje $|n−1|=−1$. Wyrażenie $|n−1|$ po lewej stronie równania jest wartością bezwzględną $n−1$ i, jak wspomniałem, wartość bezwzględna nigdy nie może być liczbą ujemną, ponieważ reprezentuje odległość. Zatem $|n−1|=−1$ nie ma rozwiązania. Dlatego nie ma wartości dla n, dla których wartość $|n−1|+1$ jest równa 0. D jest poprawną odpowiedzią.
Wskazówka:
Pamiętaj o zasadach wartości bezwzględnej (zawsze jest dodatnia!). Jeśli pamiętasz zasady, powinieneś poprawnie odpowiedzieć na pytanie!
Wykresy równań liniowych
Te pytania sprawdzają Twoją umiejętność czytania wykresu i interpretowania go w postaci $y=mx+b$. Dla przypomnienia: $y=mx+b$ to równanie punktu przecięcia z nachyleniem linii, gdzie m oznacza nachylenie, a b oznacza punkt przecięcia z osią y.
W przypadku tych pytań zazwyczaj zostanie wyświetlony wykres linii i będziesz musiał określić, jakie jest nachylenie i punkt przecięcia z osią Y, aby zapisać równanie linii.
Problem praktyczny z kalkulatorem
Odpowiedź Wyjaśnienie:
Zależność między h i C jest reprezentowana przez dowolne równanie danej prostej. Punkt przecięcia C prostej wynosi 5. Ponieważ punkty $(0, 5)$ i $(1, 8)$ leżą na prostej, nachylenie prostej wynosi ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Dlatego związek między h i C można przedstawić za pomocą $C=3h+5$, równania nachylenia i punktu przecięcia prostej. C jest poprawną odpowiedzią.
Wskazówka:
Zapamiętaj postać nachylenia-punktu przecięcia ($y=mx+b$) i równanie nachylenia $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. Dowiedz się, co oznacza każda zmienna w równaniach. Jeśli wiesz to wszystko, powinieneś być w stanie rozwiązać dowolne zadanie z równaniem liniowym, które ci podasz.
Nierówności liniowe i układy nierówności liniowych
To są prawdopodobnie najtrudniejsze pytania z Serca Algebry ponieważ wielu uczniów ma problemy, gdy zmienne są łączone z nierównościami. Jeśli potrzebujesz szybkiego, ale dogłębnego odświeżenia wiedzy na temat nierówności, zapoznaj się z naszym przewodnikiem po nierównościach.
Te pytania zazwyczaj pojawiają się pod koniec pytań wielokrotnego wyboru i pól siatki w każdej sekcji. Pytania te zostaną przedstawione jako proste, już ustalone nierówności (nie zostaniesz poproszony o utworzenie nierówności ani nie zostanie przedstawiony rzeczywisty scenariusz wykorzystujący nierówności). Chociaż są one przedstawione w prosty sposób, pytania te są trudne i łatwo jest popełnić błąd, więc nie spiesz się!
Problemy praktyczne z kalkulatorem
Odpowiedź Wyjaśnienie:
Odjęcie 3x$ i dodanie 3 do obu stron 3x−5≥4x−3$ daje $−2≥x$. Dlatego x jest rozwiązaniem x−5≥4x−3$ wtedy i tylko wtedy, gdy x jest mniejsze lub równe −2 i x NIE jest rozwiązaniem x−5≥4x−3$ wtedy i tylko wtedy, gdy x jest większa niż -2. Spośród podanych opcji tylko -1 jest większe niż -2 i dlatego nie może być wartością x. A jest poprawną odpowiedzią.
Możesz także spróbować odpowiedzieć na to pytanie, podłączając wybrane odpowiedzi i sprawdzając, która z nich nie działa. Jeśli podłączysz A do nierówności, otrzymasz 3(-1)-5≥4(-1)-3$. Upraszczając nierówność, otrzymasz -8≥-7, co nie jest prawdą, więc A jest poprawną odpowiedzią.
Wskazówka
Pamiętaj o zasadach nierówności! Nie spiesz się, przepracowując każdy krok, aby nie popełnić żadnych błędów. Pamiętaj też, aby spróbować podłączyć wybrane odpowiedzi, aby znaleźć poprawną odpowiedź!
Spójrzmy na inny przykład.
Odpowiedź Wyjaśnienie:
Ponieważ (0, 0) jest rozwiązaniem układu nierówności, podstawienie 0 za x i 0 za y w danym układzie musi dać dwie prawdziwe nierówności. Po tym podstawieniu, y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>B. Zatem a jest dodatnie, a b jest ujemne. Zatem a > b. Wybór A jest prawidłowy.
Wskazówka:
lista połączona w Javie
Traktuj ten system nierówności z czterema zmiennymi w taki sam sposób, jak traktujesz system nierówności z dwiema zmiennymi. Pamiętaj, że jeśli (0,0) jest rozwiązaniem, to oznacza, że gdy x=0, y=0.
4 kluczowe strategie dla serca algebry
W całym artykule umieściłem strategie atakowania tych pytań w sekcjach „wskazówki”, ale teraz je tutaj podsumuję.
Strategia nr 1: Zapamiętaj zasady i formułę
Aby poprawnie odpowiedzieć na tego typu pytania z algebry, musisz znać zasady nierówności, zasady wartości bezwzględnej i wzór na wersję prostej z nachyleniem przecięcia ($y=mx+b$). Bez zasad i formuł te pytania są prawie niemożliwe.
Jeśli potrzebujesz dodatkowej pomocy w związku z którymkolwiek z pojęć, zapoznaj się z naszymi szczegółowymi przewodnikami po równaniach liniowych, układach równań, wartościach bezwzględnych, postaciach przecięcia z nachyleniem oraz nierównościach liniowych i układach nierówności.
Strategia nr 2: Podłączanie odpowiedzi
W przypadku pytań wielokrotnego wyboru powinieneś zawsze sprawdzaj, czy możesz podłączyć wybrane odpowiedzi do podanych równań lub nierówności, aby znaleźć poprawną odpowiedź . Czasami takie podejście będzie znacznie prostsze niż próba rozwiązania równania.
Nawet jeśli stwierdzisz, że podłączanie odpowiedzi Cię spowalnia, powinieneś przynajmniej rozważyć użycie go do sprawdzenia swojej pracy. Wpisz wybraną odpowiedź i sprawdź, czy skutkuje zrównoważonym równaniem, czy skorygowaniem nierówności. Jeśli tak, wiesz, że masz poprawną odpowiedź!
Podłącz to! Podłącz to!
Strategia nr 3: Podłączanie liczb
Jeśli podłączanie odpowiedzi nie jest możliwe, często istnieje możliwość podłączania liczb, jak w pytaniu 2 powyżej. Ogólnie rzecz biorąc, gdy wybierasz liczby do wstawienia, nie zalecam używania -1, 0 ani 1 (ponieważ mogą one skutkować błędnymi odpowiedziami) i koniecznie przeczytaj pytanie, aby zobaczyć, jakie liczby powinieneś wybrać. Na przykład w pytaniu 2 liczby oznaczały liczbę wysłanych wiadomości tekstowych, więc nie należy używać liczby ujemnej do reprezentowania liczby wiadomości tekstowych, ponieważ wysłanie ujemnej liczby wiadomości tekstowych nie jest możliwe.
W przypadku nierówności jest to szczególnie ważne, często pytanie brzmi: „dla wszystkich $x>0$ prawdziwe jest następujące stwierdzenie”. W takim przypadku nie można podłączyć 0 ani -5; możesz wstawiać tylko liczby większe niż 0, ponieważ jest to parametr ustawiony w pytaniu.
Strategia nr 4: Pracuj krok po kroku
W przypadku pytań dotyczących Serca Algebry musisz poświęcić trochę czasu na przepracowanie każdego kroku. Pytania te mogą składać się z 5, 10, 15 kroków i musisz poświęcić trochę czasu, aby upewnić się, że w kroku 3 nie popełnisz małego błędu, który spowoduje błędną odpowiedź. Znasz się na rzeczy, więc nie pozwól, aby małe błędy kosztowały Cię punkty!
Co dalej?
Teraz, gdy już wiesz, czego się spodziewać w przypadku pytań z Serca algebry, upewnij się, że jesteś na to przygotowany wszystkie inne tematy matematyczne zobaczysz w SAT. Wszystkie nasze przewodniki matematyczne przeprowadzą Cię przez strategie i problemy praktyczne dotyczące wszystkich tematów omawianych w części matematycznej, od liczb całkowitych po stosunki, okręgi po wielokąty (i nie tylko!).
Czy czujesz niepokój związany z dniem testu? Upewnij się, że wiesz dokładnie, co robić i zabierz ze sobą coś, co pomoże ci uspokoić umysł i uspokoić nerwy, zanim nadejdzie czas zdania egzaminu SAT.
Kończy Ci się czas na sekcję z matematyki SAT? Nie szukaj dalej niż nasz przewodnik, który pomoże Ci pokonać czas i zmaksymalizować swój wynik z matematyki SAT.
Wędkujesz, aby uzyskać doskonały wynik? Sprawdź nasze poradnik jak uzyskać idealną 800 , napisany przez doskonałego strzelca.