Indukcja matematyczna to pojęcie matematyczne używane do dowodzenia różnych twierdzeń i twierdzeń matematycznych. Zasada indukcji matematycznej jest czasami nazywana PMI. Jest to technika stosowana do dowodzenia podstawowych twierdzeń matematycznych, które wymagają rozwiązania aż do n skończonych terminów naturalnych.

Zasada indukcji matematycznej jest szeroko stosowana do dowodzenia różnych twierdzeń, takich jak suma pierwszej N liczby naturalne jest dane wzorem n(n+1)/2. Można to łatwo udowodnić, korzystając z zasady indukcji matematycznej.

W tym artykule dowiemy się szczegółowo o zasadzie indukcji matematycznej, jej stwierdzeniu, przykładzie i innych szczegółach.

Spis treści

• Co to jest indukcja matematyczna?
• Zasada twierdzenia o indukcji matematycznej
• Kroki indukcji matematycznej
• Przykład indukcji matematycznej

Co to jest indukcja matematyczna?

Indukcja matematyczna jest jedną z podstawowych metod pisania dowodów i służy do udowodnienia danego twierdzenia na temat dowolnego dobrze zorganizowanego zbioru. Ogólnie rzecz biorąc, służy do udowadniania wyników lub ustalania stwierdzeń sformułowanych w kategoriach N , gdzie n jest liczbą naturalną.

Załóżmy, że P(n) jest stwierdzeniem dla n liczby naturalnej, można to udowodnić za pomocą zasady indukcji matematycznej. Najpierw udowodnimy dla P(1), następnie niech P(k) będzie prawdziwe, a następnie udowodnimy dla P(k+1) . Jeśli P(k+1) zachodzi, to mówimy, że P(n) jest prawdziwe, zgodnie z zasadą indukcji matematycznej.

Indukcję matematyczną możemy porównać do spadających kostek domina. Kiedy domino upadnie, przewraca następne domino z rzędu. Pierwsze domino przewraca drugie, drugie przewraca trzecie i tak dalej. Na koniec wszystkie kostki domina zostaną przewrócone. Ale trzeba spełnić kilka warunków:

• Podstawowym krokiem jest to, że początkowe domino musi upaść, aby rozpocząć proces pukania.
• Odległość między kostkami domina musi być równa dla dowolnych dwóch sąsiednich kostek domina. W przeciwnym razie pewne domino może upaść bez przerzucenia się nad następnym. Wtedy sekwencja reakcji ustanie. Utrzymanie równej odległości między domina zapewnia, że ​​P(k) ⇒ P(k + 1) dla każdej liczby całkowitej k ≥ a. To jest krok indukcyjny.

Zasada twierdzenia o indukcji matematycznej

Każde stwierdzenie P(n), które dotyczy n liczby naturalnej, można udowodnić za pomocą zasady indukcji matematycznej, wykonując poniższe kroki:

Krok 1: Sprawdź, czy stwierdzenie jest prawdziwe w przypadku trywialnych przypadków ( n = 1) tj. sprawdź, czy P(1) jest prawdziwe.

Krok 2: Załóżmy, że stwierdzenie jest prawdziwe dla n = k dla pewnego k ≥ 1, czyli P(k) jest prawdziwe.

Krok 3: Jeżeli z prawdziwości P(k) implikuje się prawdziwość P(k + 1), to stwierdzenie P(n) jest prawdziwe dla wszystkich n ≥ 1 .

Obrazek dodany poniżej przedstawia wszystkie etapy indukcji matematycznej

Pierwszym stwierdzeniem jest fakt i jeśli nie jest możliwe, aby wszystkie P(n) były prawdziwe przy n = 1, to stwierdzenia te są prawdziwe dla niektórych innych wartości n, powiedzmy n = 2, n = 3 i innych.

Jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla P(k), to jeśli udowodnimy, że P(k+1) jest prawdziwe, to mówimy, że P(n) jest prawdziwe dla wszystkich n należących do liczb naturalnych (N)

Kroki indukcji matematycznej

Odpowiednio nazwano różne kroki stosowane w indukcji matematycznej. Nazwy różnych etapów stosowanych w zasadzie indukcji matematycznej to:

• Krok podstawowy: Udowodnić, że P(k) jest prawdziwe dla k =1
• Krok założenia: Niech P(k) jest prawdziwe dla wszystkich k w N i k> 1
• Krok indukcyjny: Udowodnić, że P(k+1) jest prawdziwe, korzystając z podstawowych własności matematycznych.

Jeśli powyższe trzy kroki zostaną udowodnione, możemy powiedzieć, że zgodnie z zasadą indukcji matematycznej P(n) jest prawdziwe dla wszystkich n należących do N.

Przykład indukcji matematycznej

Indukcję matematyczną stosuje się do dowodzenia różnych twierdzeń. Możemy się tego dowiedzieć z poniższego przykładu.

Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n udowodnij, że n³+ 2n jest zawsze podzielne przez 3

Rozwiązanie:

Niech P(n): n³+ 2n jest podzielne przez 3 w podanym stwierdzeniu.

Krok 1: Krok podstawowy

Najpierw udowodnimy, że P(1) jest prawdziwe. Niech n = 1 w n³+ 2n
= 1³+ 2(1)
= 3

Ponieważ 3 jest podzielne przez 3. Zatem P(1) jest prawdziwe.

Krok 2: Krok założenia

Załóżmy, że P(k) jest prawdziwe

Następnie k³+ 2k jest podzielne przez 3

Zatem możemy to zapisać jako k³+ 2k = 3n, (gdzie n jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą)….(i)

struktury kontrolne w Pythonie

Krok 3: Kroki indukcyjne

Teraz musimy udowodnić, że wyrażenie algebraiczne (k + 1)³+ 2(k + 1) jest podzielne przez 3

= (k + 1)³+ 2(k + 1)

= k³+ 3 tys²+ 5 tys. + 3

= (k³+ 2 tys.) + (3 tys²+ 3 tys. + 3)

z równania (i)

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n + k²+ k + 1)

Ponieważ jest to wielokrotność liczby 3, możemy powiedzieć, że jest podzielna przez 3.

Zatem P(k+1) jest prawdziwe, tj. (k + 1)³+ 2(k + 1) jest podzielne przez 3. Korzystając z zasady indukcji matematycznej, możemy powiedzieć, że P(n): n³+ 2n dzieli się przez 3, to prawda.

Czytaj więcej,

• Postęp arytmetyczny
• Postęp geometryczny

Rozwiązane przykłady indukcji matematycznej

Przykład 1: Dla wszystkich n ≥ 1 udowodnij, że 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Rozwiązanie:

Niech danym stwierdzeniem będzie P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Weźmy teraz dodatnią liczbę całkowitą k i załóżmy, że P(k) jest prawdziwe, tj.

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Udowodnimy teraz, że P(k + 1) jest również prawdziwe, więc teraz mamy:

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Zatem P(k + 1) jest prawdziwe zawsze, gdy P(k) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych. Zatem na drodze indukcji matematycznej podany wynik jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych.

Przykład 2: Dla wszystkich n ≥ 1 udowodnij, że 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Rozwiązanie:

Niech danym stwierdzeniem będzie S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Weźmy teraz dodatnią liczbę całkowitą k i załóżmy, że S(k) jest prawdziwe, tj.

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Udowodnimy teraz, że S(k + 1) jest również prawdziwe, więc teraz mamy:

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Zatem S(k + 1) jest prawdziwe zawsze, gdy S(k) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych. I początkowo pokazaliśmy, że S(1) jest prawdziwe, zatem S(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.

Przykład 3: Dla wszystkich n ≥ 1 udowodnij, że 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n ²

Rozwiązanie:

Niech danym stwierdzeniem będzie S(n),

i S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

Dla n = 1, 2 × 1 – 1 = 1²Zatem S(1) jest prawdziwe.

Weźmy teraz dodatnią liczbę całkowitą k i załóżmy, że S(k) jest prawdziwe, tj.

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Udowodnimy teraz, że S(k + 1) jest również prawdziwe, więc teraz mamy:

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

L.H.S = 1 + 3 + 5 +…. (2k – 1 ) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2 tys. + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

⇒ L.H.S = R.H.S

Zatem S(k + 1) jest prawdziwe zawsze, gdy S(k) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych. I początkowo pokazaliśmy, że S(1) jest prawdziwe, zatem S(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.

Przykład 4: Dla wszystkich n ≥ 1 udowodnij, że 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Rozwiązanie:

Niech danym stwierdzeniem będzie S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Weźmy teraz dodatnią liczbę całkowitą k i załóżmy, że S(k) jest prawdziwe, tj.

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Udowodnimy teraz, że S(k + 1) jest również prawdziwe, więc teraz mamy:

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Zatem S(k + 1) jest prawdziwe zawsze, gdy S(k) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych. I początkowo pokazaliśmy, że S(1) jest prawdziwe, zatem S(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.

Przykład 5: Udowodnij a _N = za ₁ + (n – 1) d, jest wyrazem ogólnym dowolnego ciągu arytmetycznego.

Rozwiązanie:

Dla n = 1 mamy a_N= za₁+ (1 – 1) re = za₁, więc wzór jest prawdziwy dla n = 1,

Załóżmy, że wzór a_k= za₁+ (k – 1) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.

och, przesunięcie ku czerwieni

Udowodnimy teraz, że wzór jest prawdziwy również dla k+1, więc teraz mamy:

A_{k + 1}= za₁+ [(k + 1) – 1] re = za₁+ k · re.

Założyliśmy, że A_k= za₁+ (k – 1) d oraz z definicji ciągu arytmetycznego a_{k+ 1}- A_k= d,

Następnie_{k + 1}- A_k

= (a₁+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= za₁- A₁+ kd – kd + d
= re

Zatem wzór jest prawdziwy dla k + 1, ilekroć jest prawdziwy dla k. I początkowo pokazaliśmy, że wzór jest prawdziwy dla n = 1. Zatem wzór jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych.

Często zadawane pytania dotyczące indukcji matematycznej

Co to jest zasada indukcji matematycznej?

Zasada indukcji matematycznej to zasada, która mówi, że dla dowolnego stwierdzenia P(n) jeśli jest ono prawdziwe dla dowolnej dowolnej wartości „a”, jeśli P(a) jest prawdziwe i jeśli przyjmiemy, że P(k) jest prawdziwe, to poprzez udowodnienie P( k+1) jest prawdziwe, możemy udowodnić, że P(n) jest prawdziwe dla wszystkich n ≥ a i n należących do liczb naturalnych.

Jakie jest zastosowanie indukcji matematycznej?

Indukcja matematyczna jest podstawową zasadą stosowaną w matematyce w celu udowodnienia podstawowych twierdzeń matematycznych, których nie można łatwo udowodnić innymi sposobami.

Jaka jest zasada indukcji matematycznej w macierzach?

Zasada indukcji matematycznej w macierzach jest podstawową zasadą stosowaną do dowodzenia podstawowych twierdzeń w macierzach, których nie można łatwo udowodnić innymi sposobami.

Jak zastosować zasadę indukcji matematycznej?

Zasada indukcji matematycznej służy do dowodzenia twierdzeń matematycznych, załóżmy, że musimy udowodnić twierdzenie P(n), a następnie stosuje się następujące kroki:

Krok 1: Udowodnić, że P(k) jest prawdziwe dla k =1

Krok 2: Niech P(k) jest prawdziwe dla wszystkich k w N i k> 1

Krok 3: Udowodnić, że P(k+1) jest prawdziwe, korzystając z podstawowych własności matematycznych.

Zatem, jeśli P(k+1) jest prawdziwe, to mówimy, że P(n) jest prawdziwe.

Jakie są kroki, aby rozwiązać problem za pomocą indukcji matematycznej?

Trzy podstawowe kroki stosowane w indukcji matematycznej to

• Krok podstawowy
• Krok założenia
• Krok indukcyjny