Symbol pierwiastka kwadratowego lub pierwiastek kwadratowy jest oznaczony symbolem „ √ ’. Jest to symbol matematyczny używany do reprezentowania pierwiastków kwadratowych w matematyce. Symbol pierwiastka kwadratowego (√) nazywany jest także pierwiastkiem. Na przykład pierwiastek kwadratowy z 4 zapisujemy jako √(4). Jest to odczytywane jako pierwiastek 4 lub pierwiastek kwadratowy z 4.

W tym artykule dowiemy się o pierwiastku kwadratowym, jego reprezentacji, uproszczeniu i innych.

Spis treści

• Co to jest pierwiastek kwadratowy?
• Symbol pierwiastka kwadratowego
• Uproszczenie pierwiastków kwadratowych
• Idealne kwadraty od 1 do 100
• Kwadrat pierwszych 20 liczb naturalnych
• Pierwiastek kwadratowy z pierwszych 20 liczb naturalnych

Co to jest pierwiastek kwadratowy?

Pierwiastek kwadratowy to liczba, która po pomnożeniu przez samą podaną liczbę daje liczbę pierwotną. Pierwiastek kwadratowy jest reprezentowany przez √ symbol.

Rozważmy liczbę A, która jest dodatnią liczbą całkowitą, taką że √(A×A) = √(A²) = A

Obrazek przedstawiający pierwiastek kwadratowy z pierwszych 30 liczb naturalnych to:

Przykład: Znajdź pierwiastek kwadratowy z 36.

√(36)= √(6×6) = 6

Pierwiastek kwadratowy z 36 to 6

Pojęcie pierwiastka kwadratowego

Pojęcie pierwiastka kwadratowego można wyjaśnić, wykonując następujące kroki:

Krok 1: Zidentyfikuj radikand (liczbę pod symbolem pierwiastka).

Krok 2: Podziel pierwiastek przez dowolny doskonały współczynnik kwadratowy, aż nie będzie już więcej doskonałych współczynników kwadratowych.

Krok 3: Pozostałe czynniki wpisz pod symbolem pierwiastka i w miarę możliwości uprość.

Symbol pierwiastka kwadratowego

Pierwiastek kwadratowy dowolnej liczby jest reprezentowany za pomocą symbolu √ tj. pierwiastek kwadratowy z 1 jest przedstawiany jako √(1), pierwiastek kwadratowy z 25 jest przedstawiany jako √(25) i podobnie pierwiastek kwadratowy z innych liczb można łatwo przedstawić.

Poniżej dodano obraz przedstawiający symbol pierwiastka kwadratowego:

Radykałowie

Inna nazwa nadana symbolowi pierwiastka kwadratowego jest radykalna. Niektórzy matematycy nazywali to również Surdami. Liczba zapisana wewnątrz symbolu pierwiastka nazywana jest radykandą.

Dowiedz się więcej o Rodnik

Uproszczenie pierwiastków kwadratowych

Obejmuje to uproszczenie pierwiastka kwadratowego poprzez znalezienie idealnych współczynników kwadratowych radykadu i zapisanie ich poza symbolem pierwiastka.

Przykład: Uprość √50.

√50 = √(25 × 2)

= √(5 × 5 × 2)

= 5√2

Racjonalizacja mianownika

Polega to na pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez koniugat mianownika w celu wyeliminowania pierwiastka z mianownika.

Przykład: Zracjonalizuj mianownik 1/√5.

Pomnóż licznik i mianownik przez √5, aby otrzymać (1 x √5)/(√5 x √5) = √5/5.

Używanie liczb urojonych

Wiąże się to z użyciem jednostki urojonej i, zdefiniowanej jako pierwiastek kwadratowy z -1, do przedstawienia liczb, których nie można wyrazić jako liczb rzeczywistych.

Przykład: Znajdź pierwiastek kwadratowy z -25.

√(-25) = √(5 × 5 × -1) = 5i

Metoda powtarzanego odejmowania

Odejmowanie kolejnych liczb nieparzystych od podanej liczby, aż różnica wyniesie zero, a wymagany pierwiastek kwadratowy to liczba razy, jaką odjęliśmy daną liczbę.

Przykład: Pierwiastek kwadratowy z 36.

• 36-1 = 35
• 35-3 = 32
• 32-5 = 27
• 27-7 = 20
• 20-9 = 11
• 11-11 = 0

Tutaj liczba jest odejmowana 6 razy. Zatem pierwiastek kwadratowy z 36 wynosi 6

Idealne kwadraty od 1 do 100

Idealne kwadraty od 1 do 100 omówiono w tabeli

Kwadrat pierwszych 20 liczb naturalnych

Kwadrat pierwszych 20 liczb naturalnych omówiono poniżej w tabeli,

Pierwiastek kwadratowy z pierwszych 20 liczb naturalnych

Pierwiastek kwadratowy z pierwszych 20 liczb naturalnych omówiono poniżej w tabeli,

Sprawdź także

• Jak znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby?
• Pierwiastek kwadratowy z 2
• Pierwiastek kwadratowy z 3

Rozwiązane przykłady pierwiastków kwadratowych

Przykład 1: Oszacuj pierwiastek kwadratowy z 72.

Rozwiązanie:

Idealne kwadraty najbliższe 72 to 64 i 81.

Pierwiastek kwadratowy z 64 to 8, a pierwiastek kwadratowy z 81 to 9.

Dlatego szacuje się, że pierwiastek kwadratowy z 72 wynosi od 8 do 9.

Przykład 2: Uprość √27.

Rozwiązanie:

Możemy rozłożyć 27 na czynniki jako √(9 × 3), a ponieważ pierwiastek kwadratowy z 9 wynosi 3, możemy uprościć to jako 3√3.

Przykład 3: Uprość √75.

Rozwiązanie:

Możemy rozłożyć 75 jako √(25 × 3), a ponieważ pierwiastek kwadratowy z 25 wynosi 5, możemy uprościć to jako 5√3.

Przykład 4: Uprość 4 / (√2 + √3)

Rozwiązanie:

Aby zracjonalizować mianownik, mnożymy zarówno licznik, jak i mianownik przez (√2 – √3).

= 4×(√2 – √3)/(√2 + √3)(√2 – √3)

= 4×(√2 – √3)/(√2x√2 – √3 √3)

jak przekonwertować ciąg na int w Javie

= 4×(√2 – √3)/(2-3)

To daje nam [4(√2 – √3)] / (-1), co upraszcza do -4(√2 – √3)

Przykład 5: Uprość (3 + √5) / (√5 – 1)

Rozwiązanie:

Aby zracjonalizować mianownik, mnożymy licznik i mianownik przez (√5 + 1).

= (3 + √5)(√5 + 1) / (√5 – 1)(√5 + 1) (mnożenie przez sprzężenie mianownika)

= (3√5 + 3 + √5√5 + √5) / (5 – 1) (rozwijanie licznika i mianownika)

= (4√5 + 8) / 4

= 4(2 + √5) / 4 (unieważnienie licznika i mianownika)

= 2+√5

To daje nam [(3 + √5)(√5 + 1)] / (5 – 1), co upraszcza do 2 + √5

Przykład 6: Znajdź pierwiastek kwadratowy z -16.

Rozwiązanie:

Ponieważ pierwiastek kwadratowy z -16 nie jest liczbą rzeczywistą,

Możemy to przedstawić jako liczbę zespoloną w postaci a + bi. W tym przypadku mamy a = 0 i b = 4.

Dlatego pierwiastek kwadratowy z

-16 = √(tj²(4)²)

= 4i

Przykład 7: Znajdź pierwiastek kwadratowy z -3 – 4i.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć pierwiastek kwadratowy liczby zespolonej, możemy skorzystać ze wzoru:

√(a + bi) = ±(√[(a + √(a²+ b²))/2] + i√[(|a – √(a²+ b²)|)/2])

Stosując ten wzór do liczby zespolonej -3 – 4i, otrzymujemy a = -3 i b = -4. Dlatego możemy podstawić te wartości do wzoru,

√(-3 – 4i) = ±(√[(-3 + √(9 + 16))/2] + i√[(|-3 – √(9 + 16)|)/2])

= ±(√[(-3 + √(25))/2] + i√[(|-3 – √(25)|)/2])

= ±(√[(-3 + 5)/2] + i√[(|-3 – 5|)/2])

= ±(√(2/2) + i√(|-8|/2))

= ±(√(2/2) + i√(8/2))

= ±(√1 + i√4)

= ±(1 + 2i)

Przykład 8: Uprość 4 / (√2 – √3)

Rozwiązanie:

Aby zracjonalizować mianownik, mnożymy zarówno licznik, jak i mianownik przez (√2 + √3).

= 4 × (√2 + √3)/(√2 – √3)(√2 + √3)

= 4 × (√2 + √3)/(√2x√2 – √3 √3)

= 4 × (√2 + √3)/(2-3)

To daje nam [4(√2 + √3)] / (-1), co upraszcza do -4(√2 + √3)

Często zadawane pytania dotyczące pierwiastków kwadratowych

Co to jest pierwiastek kwadratowy z liczby, podaj jeden przykład?

Pierwiastek kwadratowy to liczba, która po pomnożeniu przez samą podaną liczbę daje liczbę pierwotną.

Przykład: Znajdź pierwiastek kwadratowy z 49

√(49) = √(7×7) = 7

Pierwiastek kwadratowy z 49 to 7

Podaj symbol reprezentujący pierwiastek kwadratowy i nazwę tego symbolu.

Pierwiastek kwadratowy można przedstawić za pomocą symbolu √ i możemy go nazwać symbolem radykalnym

Jaka jest różnica między pierwiastkiem a pierwiastkiem kwadratowym?

Pierwiastek to symbol matematyczny reprezentujący pierwiastek, podczas gdy pierwiastek kwadratowy odnosi się konkretnie do pierwiastka liczby mnożonej przez siebie.

Wyjaśnij pierwiastek kwadratowy liczby urojonej.

Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej jest liczbą urojoną. Na przykład pierwiastek kwadratowy z -1 jest reprezentowany jako i, jednostka urojona.

Co to jest pierwiastek kwadratowy z 4?

Pierwiastek kwadratowy z 4 wynosi ±2.