Podstawienie trygonometryczne to jedna z metod podstawieniowych całkowania, polegająca na zastąpieniu funkcji lub wyrażenia w danej całce funkcjami trygonometrycznymi, takimi jak sin, cos, tan itp. Całkowanie przez podstawienie jest najłatwiejszą metodą podstawienia.

Stosujemy go, gdy dokonujemy podstawienia funkcji, której pochodna jest już zawarta w danej funkcji całkowej. W ten sposób funkcja ulega uproszczeniu i otrzymujemy funkcję całki prostej, którą możemy łatwo całkować. Nazywa się to również substytucją u lub regułą odwrotnego łańcucha. Innymi słowy, stosując tę ​​metodę, możemy łatwo obliczyć całki i funkcje pierwotne.

Podstawienie trygonometryczne

Co to jest podstawienie trygonometryczne?

Podstawienie trygonometryczne to proces, w którym następuje podstawienie funkcji trygonometrycznej na inne wyrażenie. Służy do obliczania całek lub jest metodą znajdowania funkcji pierwotnych funkcji zawierających pierwiastki kwadratowe wyrażeń kwadratowych lub potęg wymiernych postacifrac{p}{2} (gdzie p jest liczbą całkowitą) wyrażeń kwadratowych. Przykładami takich wyrażeń są

({x^2+4})^frac{3}{2} Lubsqrt{25-x^2} lub itp.

Metodę podstawienia trygonometrycznego można zastosować, gdy zawiodą inne, bardziej powszechne i łatwiejsze w użyciu metody całkowania. Podstawienie trygonometryczne zakłada, że ​​znasz standardowe tożsamości trygonometryczne, stosowanie notacji różniczkowej, całkowanie z wykorzystaniem podstawienia u oraz całkowanie funkcji trygonometrycznych.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Tutaj omówimy kilka ważnych wzorów w zależności od funkcji, którą musimy całkować. Aby uprościć całkowanie, podstawimy jedno z następujących wyrażeń trygonometrycznych:

∫cosx dx = sinx + C

konwersja ciągu na json w Javie

∫sinx dx = −cosx + C

∫sek²x dx = tanx + C

∫cosek²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Przeczytaj szczegółowo: Rachunek matematyczny

Kiedy stosować podstawienie trygonometryczne?

Podstawienia trygonometrycznego używamy w następujących przypadkach:

Jak zastosować metodę podstawienia trygonometrycznego?

Możemy zastosować metodę podstawienia trygonometrycznego, jak omówiono poniżej,

Całka z a²- X²

Rozważmy przykład całki obejmującej a²- X².

Przykład: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Załóżmy, x = a sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Zatem ja =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ ja =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ ja =int 1. d heta

⇒ ja = θ + do

Ponieważ, x = a sinθ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ ja =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Całka z x ² + za ²

Rozważmy przykład całki obejmującej x²+ za².

Przykład: Znajdź całkę old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Rozwiązanie:

Załóżmy, że x = a tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, otrzymujemy

Zatem ja =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ ja =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

np. gdzie

⇒ ja =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ ja =frac{1}{a} heta + c

As, x = a tanθ

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ ja =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Całka z a ² + x ² .

Rozważmy przykład całki obejmującej a²+ x².

Przykład: Znajdź całkę z old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Rozwiązanie:

Załóżmy, x = a tanθ

⇒ dx = sekunda²θ dθ

Zatem ja =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ ja =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ ja =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ ja =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ ja =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ ja =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ ja =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ ja =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ ja =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ ja =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ ja =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Całka z x ² - A ² .

Rozważmy przykład całki obejmującej x²- A².

Przykład: Znajdź całkę z old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Załóżmy, że x = a secθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Zatem ja =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ ja =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ ja =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ ja =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ ja =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ ja =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ ja =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ ja =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ ja = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ ja =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Czytaj więcej,

• Formuły całkowania
• Całkowanie przez podstawienie
• Całkowanie przez części

Przykładowe problemy dotyczące podstawienia trygonometrycznego

Zadanie 1: Znajdź całkę z old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Rozwiązanie:

Biorąc 5 wspólnego w mianowniku,

⇒ ja =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

wartość netto kat timpf

⇒ ja =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Zgodnie z twierdzeniem 1, a =frac{3}{5}

⇒ ja =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ ja =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Zadanie 2: Znajdź całkę z old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Rozwiązanie:

Biorąc √2 wspólny w mianowniku,

⇒ ja = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ ja =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Zgodnie z twierdzeniem 1, a = 2

⇒ ja =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ ja =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Zadanie 3: Znajdź całkę z old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Rozwiązanie:

Przestawiając, otrzymujemy

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Tutaj przyjmujemy a = 3 i x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Zastępując te wartości,

ja =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ ja =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ ja =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Ja = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Ja = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Weźmy,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Podstawiając te wartości, otrzymujemy

⇒ Ja = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

As, u = cos θ i x = 3 sinθ

⇒ sałata θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ w =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ w =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Zatem I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Zadanie 4: Znajdź całkę z old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Rozwiązanie:

Biorąc 9 wspólnego w mianowniku,

ja =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

zmienna globalna JavaScript

⇒ ja =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Zgodnie z twierdzeniem 2, a =frac{2}{3}

⇒ ja =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ ja =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Zadanie 5: Znajdź całkę z old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Rozwiązanie:

Biorąc 4 wspólne w mianowniku,

ja =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ ja =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Zgodnie z twierdzeniem 3, a =frac{5}{4}

⇒ ja =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ ja =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

łączenie się z bazą danych w Javie

⇒ ja =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ ja =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Zadanie 6: Znajdź całkę z old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Rozwiązanie:

Biorąc 2 wspólne w mianowniku,

ja =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

ja =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Zgodnie z twierdzeniem 4, a =frac{3}{2}

ja =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

ja =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

ja =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

ja =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

ja =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Zadanie 7: Znajdź całkę z old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Rozwiązanie:

Po uporządkowaniu otrzymujemy

ja =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

ja =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

ja =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

ja =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Zgodnie z twierdzeniem 2 mamy

x = x-frac{1}{2} i =frac{sqrt{3}}{2}

ja =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

ja =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Podstawienie trygonometryczne – często zadawane pytania

Co to jest podstawienie trygonometryczne?

Podstawienie trygonometryczne to technika całkowania stosowana do rozwiązywania całek obejmujących wyrażenia z pierwiastkami i pierwiastkami kwadratowymi, takie jak √(x²+ za²), √(a²+ x²) i √(x²- A²).

Kiedy należy zastosować podstawienie trygonometryczne?

Podstawienie trygonometryczne jest przydatne, gdy mamy całkę zawierającą wyrażenie radykalne, zwłaszcza gdy wyrażenie radykalne zawiera człon kwadratowy.

Jakie są trzy podstawienia trygonometryczne powszechnie stosowane w całkach?

Trzy powszechnie stosowane podstawienia trygonometryczne to:

• Zastąp x = a sin θ, gdy wyrażenie radykalne zawiera termin w postaci a²- X².
• Zastąp x = a tan θ, gdy wyrażenie radykalne zawiera wyraz w postaci x²- A².
• Zastąp x = a sec θ, gdy wyrażenie radykalne zawiera wyraz w postaci x²+ za².

Jak ktoś wybiera, którego podstawienia trygonometrycznego użyć?

Należy wybrać podstawienie trygonometryczne w oparciu o formę wyrażenia radykalnego. Jeśli wyrażenie radykalne zawiera wyraz w postaci a^2 – x^2, użyj x = a sin θ. Jeśli wyrażenie radykalne zawiera wyraz w postaci x^2 – a^2, użyj x = a tan θ. Jeśli wyrażenie radykalne zawiera wyraz w postaci x^2 + a^2, użyj x = a sec θ.