W matematyce wykładniki i potęgi stosuje się, gdy liczba jest mnożona przez siebie przez określoną liczbę razy. Na przykład 4 × 4 × 4 = 64. Można to również zapisać w skrócie jako 4³= 64. Tutaj 4³oznacza, że ​​liczba 4 jest mnożona przez siebie trzykrotnie, a w skrócie 4³jest wyrażeniem wykładniczym. Liczba 4 jest liczbą podstawową, liczba 3 jest wykładnikiem i dane wyrażenie wykładnicze odczytujemy jako 4 podniesione do potęgi 3. W wyrażeniu wykładniczym podstawa jest współczynnikiem, który jest wielokrotnie mnożony przez siebie, podczas gdy wykładnik to liczba wystąpień czynnika.

Definicja wykładników i potęg

Jeśli liczba jest mnożona przez samą siebie n razy , powstałe wyrażenie jest znane jako n-ta potęga danego numeru. Różnica między wykładnikiem a potęgą jest bardzo cienka. Wykładnik to liczba pomnożeń danej liczby przez samą siebie, natomiast potęga to wartość iloczynu liczby podstawowej podniesionej do wykładnika. Za pomocą wykładniczej postaci liczb możemy wygodniej wyrazić bardzo duże i małe liczby. Na przykład 100000000 można wyrazić jako 1 × 10⁸, a 0,0000000000013 można wyrazić jako 13 × 10^-13. Ułatwia to odczytanie liczb, pomaga w utrzymaniu ich dokładności, a także pozwala zaoszczędzić czas.

Reguły wykładników i potęg

Reguły dotyczące wykładników i potęg wyjaśniają, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić wykładniki, a także jak rozwiązywać różnego rodzaju równania matematyczne z udziałem wykładników i potęg.

Zasada nr 1: Produktowe prawo wykładników

Zgodnie z tym prawem, gdy mnoży się wykładniki o tej samej podstawie, wykładniki sumuje się.

Prawo produktu o wykładnikach: a^M× a^N=a^(m+n)

Zasada 2: Reguła ilorazu wykładników

Zgodnie z tym prawem, aby podzielić dwa wykładniki o tej samej podstawie, musimy odjąć wykładniki.

Reguła ilorazu wykładników: a^M/A^N=a^(m–n)

Zasada 3: Siła reguły mocy

Zgodnie z tym prawem, jeśli liczbę wykładniczą podnosi się do innej potęgi, wówczas potęgi są mnożone.

Moc reguły potęgowej: (a^M)^N=a^(m×n)

Zasada 4: Siła reguły produktu

Zgodnie z tym prawem musimy pomnożyć różne podstawy i podnieść ten sam wykładnik do iloczynu podstaw.

Moc reguły iloczynu: a^M× ur^M=(a × b)^M.

Zasada 5: Potęga reguły ilorazu

Zgodnie z tym prawem musimy podzielić różne podstawy i podnieść ten sam wykładnik do ilorazu podstaw.

Potęga reguły ilorazu: a^M÷ ur^M=(a/b)^M

Zasada 6: Reguła zerowego wykładnika

Zgodnie z tym prawem, jeśli wartość podstawy podniesionej do potęgi zerowej wynosi 1.

Reguła zerowego wykładnika: a⁰=1

Zasada 7: Reguła wykładnika ujemnego

Zgodnie z tym prawem, jeśli wykładnik jest ujemny, wówczas zmienia się wykładnik na dodatni, przyjmując odwrotność liczby wykładniczej.

Reguła wykładnika ujemnego: a^-M= 1/r^M

Zasada 8: Reguła wykładnika ułamkowego

Zgodnie z tym prawem, gdy mamy wykładnik ułamkowy, wówczas powstają rodniki.

zmień nazwę katalogu w systemie Linux

Reguła wykładnika ułamkowego: a^(1/n)=^N√a

A^(m/n)=^N√a^M

Co oznacza 10 do potęgi 4?

Rozwiązanie:

Obliczmy wartość 10 do czwartej średniej, czyli 10⁴

Wiemy, że zgodnie z regułą potęgi wykładników,

A^M= a × a × a… m razy

Zatem możemy napisać 10⁴jako 10 × 10 × 10 × 10 = 10000

Dlatego,

wartość 10 podniesiona do potęgi 4, czyli 10⁴jest 10000.

Przykładowe problemy

Problem 1: Znajdź wartość 3⁶.

Rozwiązanie:

Podane wyrażenie to 3⁶.

Podstawą danego wyrażenia wykładniczego jest 3, a wykładnikiem 6, tj. dane wyrażenie odczytuje się, gdy 3 jest podniesione do potęgi 6.

Zatem rozszerzając 3⁶, otrzymujemy 3⁶= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Stąd wartość 3⁶jest 729.

Zadanie 2: Określ wykładnik i potęgę wyrażenia (12)⁵.

Rozwiązanie:

Podane wyrażenie to 12⁵.

Podstawą danego wyrażenia wykładniczego jest 12, a wykładnikiem 5, tj. dane wyrażenie odczytuje się, gdy 12 jest podniesione do potęgi 5.

Problem 3: Oceń (2/7)^-5× (2/7)⁷.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę: (2/7)^-5×(2/7)⁷

Wiemy, że A^M× a^N= za^{(m + n)}

Zatem (2/7)^-5×(2/7)⁷= (2/7)^(-5+7)

= (2/7)²= 4/49

Stąd (2/7)^-5× (2/7)⁷= 4/49

Zadanie 4: Znajdź wartość x w podanym wyrażeniu: 5^3x-2= 625.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, 5^3x-2= 625.

5^3x-2= 5⁴

Porównując wykładniki o podobnej podstawie, otrzymujemy

⇒ 3x -2 = 4

⇒ 3x = 4 + 2 = 6

⇒ x = 6/3 = 2

Zatem wartość x wynosi 2.

Zadanie 5: Znajdź wartość k w podanym wyrażeniu: (-2/3)⁴23)^{-piętnaście}= (23)^7k+3

Rozwiązanie:

Dany,

(-23)⁴23)^{-piętnaście}= (23)^7k+3

23)⁴23)^{-piętnaście}= (23)^7k+3{Ponieważ (-x)⁴= x⁴}

ile jest tam owoców

Wiemy, że A^M× a^N= za^{(m + n)}

23)^4-15= (2/3)7k+3

23)^-jedenaście= (23)^7k+3

Porównując wykładniki o podobnej podstawie, otrzymujemy

⇒ -11 = 7 tys. +3

⇒ 7 tys. = -11-3 = -14

⇒ k = -14/7 = -2

Zatem wartość k wynosi -2.