Kolejne kąty wewnętrzne leżą po tych samych stronach poprzeczki i w przypadku prostych równoległych kolejne kąty wewnętrzne sumują się do 180°, co oznacza, że charakter uzupełniający kolejnych kątów wewnętrznych.
W tym artykule omówiono prawie wszystkie możliwości związane z kolejnymi kątami wewnętrznymi, zwanymi również kątami współwewnętrznymi. Artykuł ten zawiera szczegółowe wyjaśnienia dotyczące kolejnych kątów wewnętrznych, w tym ich definicję, inne kąty związane z poprzecznymi, a także twierdzenia dotyczące kolejnych kątów wewnętrznych.
Spis treści
- Jakie są kolejne kąty wewnętrzne?
- Kolejne kąty wewnętrzne dla linii równoległych
- Twierdzenie o kolejnym kącie wewnętrznym
- Odwrotność twierdzenia o kolejnych kątach wewnętrznych
- Kolejne kąty wewnętrzne równoległoboku
- Kolejne kąty wewnętrzne – często zadawane pytania
Jakie są kolejne kąty wewnętrzne?
Kolejny kąt wewnętrzny to para nieprzylegających do siebie kątów wewnętrznych, które znajdują się po tej samej stronie poprzecznego. Rzeczy, które pojawiają się obok siebie, nazywane są „kolejnymi”. Po wewnętrznej stronie poprzeczki sąsiadują ze sobą kolejne kąty wewnętrzne. Aby je rozpoznać, spójrz na poniższy obrazek i atrybuty kolejnych kątów wewnętrznych.
- Wierzchołki kolejnych kątów wewnętrznych są różne.
- Znajdują się one pomiędzy dwiema liniami.
- Znajdują się po tej samej stronie poprzecznej.
- Mają coś wspólnego.
Definicja kolejnych kątów wewnętrznych
Kiedy poprzeczna przecina dwie równoległe lub nierównoległe linie, pary kątów po tej samej stronie poprzeczki i wewnątrz pary linii nazywane są kolejnymi kątami wewnętrznymi lub kątami współwewnętrznymi.
Przykład kolejnych kątów wewnętrznych
Na rysunku podanym powyżej każda para kątów, np 3 I 6 , 4 I 5 (oba zaznaczono na ilustracji tym samym kolorem) są przykładami kolejnych kątów wewnętrznych, ponieważ są one wskazane po tej samej stronie linii poprzecznej l i leżą pomiędzy liniami m i n.
Czy kolejne kąty wewnętrzne są przystające?
Aby dowolne dwa kąty były przystające, muszą mieć tę samą miarę, ale jak już wiemy, nie ma takiej właściwości związanej z kolejnymi kątami wewnętrznymi, która stwierdzałaby ich równość. Zatem kolejne kąty wewnętrzne nie są przystające.
Przeczytaj więcej o Zbieżność trójkątów .
Kolejne kąty wewnętrzne dla linii równoległych
Pary kątów znajdujących się po tej samej stronie linii poprzecznej i przecinających dwie linie równoległe nazywane są kolejnymi kątami wewnętrznymi. Mają wspólny wierzchołek i leżą pośrodku prostych równoległych. Kąty wewnętrzne następujące po sobie są uzupełniające, jeżeli ich suma wymiarów wynosi 180 stopni. Ta koncepcja geometryczna jest kluczowa dla wielu zadań, takich jak obliczanie nieznanych kątów i zrozumienie powiązań między kątami utworzonymi przez linie równoległe.
Przeczytaj więcej o Równoległe linie .
Właściwości kolejnych kątów wewnętrznych
Z pewnością następujące są wypunktowane właściwości kolejnych kątów wewnętrznych dla linii równoległych przecinanych przez poprzeczkę:
- Kolejne kąty wewnętrzne sumują się do 180°.
- Kolejne kąty wewnętrzne leżą pomiędzy liniami równoległymi i po tej samej stronie poprzeczki.
- Inne kąty znajdują się między nimi wzdłuż poprzecznego; nie są obok siebie.
- Kolejne kąty wewnętrzne mają podobne rozmiary, jeśli proste są równoległe.
- Tworzą liniową parę z poprzecznością, co dodaje im komplementarnego charakteru.
- Linie równoległe odpowiadają naprzemiennym kątom wewnętrznym po drugiej stronie poprzeczki.
Twierdzenie o kolejnym kącie wewnętrznym
Twierdzenie o kolejnych kątach wewnętrznych określa zależność pomiędzy kolejnymi kątami wewnętrznymi. „Twierdzenie o kolejnych kątach wewnętrznych” głosi, że jeśli poprzeczka styka się z dwiema równoległymi liniami, to każda para kolejnych kątów wewnętrznych jest uzupełniająca, co oznacza, że suma kolejnych kątów wewnętrznych wynosi 180°.
Dowód kolejnego twierdzenia o kącie wewnętrznym
Aby zrozumieć twierdzenie o kolejnym kącie wewnętrznym, spójrz na poniższą ilustrację.
Zakłada się, że n i m są równoległe, a o jest poprzeczne.
∠2 = ∠6 (odpowiednie kąty) . . . (I)
∠2 + ∠4 = 180° (Dodatkowa para kątów liniowych) . . . (ii)
Podstawienie ∠2 za ∠6 w równaniu (ii) daje wynik
∠6 + ∠4 = 180°
Podobnie możemy wykazać, że ∠3 + ∠5 = 180°.
∠1 = ∠5 (odpowiednie kąty) . . . (iii)
∠1 + ∠3 = 180° (Dodatkowa para kątów liniowych) . . . (iv)
Kiedy podstawimy ∠1 za ∠5 w równaniu (iv), otrzymamy
∠5 + ∠3 = 180°
Jak widać, ∠4 + ∠6 = 180° i ∠3 + ∠5 = 180°
W rezultacie wykazano, że kolejne kąty wewnętrzne są uzupełniające.
Odwrotność twierdzenia o kolejnych kątach wewnętrznych
Zgodnie z odwrotnością twierdzenia o kolejnym kącie wewnętrznym, jeżeli poprzeczna przecina dwie proste w taki sposób, że para kolejnych kątów wewnętrznych uzupełnia się, to te dwie proste są równoległe.
jak wymyślono szkołę
Dowód odwrotności twierdzenia o kolejnych kątach wewnętrznych
Dowód i odwrotność tego twierdzenia przedstawiono poniżej.
Korzystając z tej samej ilustracji,
∠6 + ∠4 = 180° (kolejne kąty wewnętrzne) . . . (I)
Ponieważ ∠2 i ∠4 tworzą linię prostą,
∠2 + ∠4 = 180° (Dodatkowa para kątów liniowych) . . . (ii)
Ponieważ prawe strony równań (i) i (ii) są identyczne, możemy przyrównać lewe strony równań (i) i (ii) i wyrazić to jako:
∠2 + ∠4 = ∠6 + ∠4
Rozwiązując to, otrzymujemy ∠2 = ∠6, co daje podobną parę na liniach równoległych.
Zatem na powyższym rysunku jeden zestaw powiązanych ze sobą kątów jest równy, co może się zdarzyć tylko wtedy, gdy dwie linie są równoległe. Prowadzi to do dowodu przeciwnego twierdzenia o kolejnym kącie wewnętrznym: jeśli poprzeczna przecina dwie linie w taki sposób, że dwa kolejne kąty wewnętrzne uzupełniają się,
Kolejne kąty wewnętrzne równoległoboku
Ponieważ przeciwne strony równoległoboku są zawsze równoległe, kolejne kąty wewnętrzne równoległoboku są zawsze uzupełniające. Przyjrzyj się równoległobokowi poniżej, gdzie ∠A i ∠B, ∠B i ∠C, ∠C i ∠D oraz ∠D i ∠A są kolejnymi kątami wewnętrznymi. Można to wyjaśnić w następujący sposób:
Jeśli weźmiemy pod uwagę AB || Zatem CD i BC są poprzeczne
∠B + ∠C = 180°
Jeśli weźmiemy pod uwagę AB || Zatem CD i AD są poprzeczne
∠A + ∠D = 180°
Jeśli weźmiemy pod uwagę AD || Zatem BC i CD jako poprzeczne
∠C + ∠D = 180°
Jeśli weźmiemy pod uwagę AD || Zatem BC i AB jako poprzeczne
∠A + ∠B = 180°
mapy javy
Czytaj więcej,
- Kąty
- Rodzaje kątów
- Alternatywne kąty zewnętrzne
Rozwiązane przykłady kolejnych kątów wewnętrznych
Przykład 1: Jeśli przecięcie poprzeczne składa się z dwóch równoległych linii i pary kolejnych kątów wewnętrznych o wymiarach (4x + 8)° i (16x + 12)°, oblicz wartość x i wartość obu kolejnych kątów wewnętrznych.
Rozwiązanie:
Ponieważ podane linie są równoległe, kąty wewnętrzne (4x + 8)° i (16x + 12)° są następujące po sobie. Kąty te są dodatkowe zgodnie z twierdzeniem o kolejnym kącie wewnętrznym.
W rezultacie (4x + 8)° + (16x + 12)° = 180°
⇒ 20x + 20 = 180°
⇒ 20x = 180° – 20°
⇒ 20x = 160°
⇒ x = 8°
Zastąpmy teraz x wartościami kolejnych kątów wewnętrznych.
Zatem 4x + 8 = 4(8) + 8 = 40° i
16x + 12 = 16(8) + 12 = 140°
Zatem wartość obu kolejnych kątów wewnętrznych wynosi 40° i 140°.
Przykład 2: Wartość ∠ 3 to 85 ° I ∠6 jest 110 ° . Teraz sprawdź, czy linie „n” i „m” są równoległe.
Rozwiązanie:
Jeżeli kąty 110° i 85° na powyższym rysunku uzupełniają się, to proste „n” i „m” są równoległe.
Jednakże 110° + 85° = 195°, co oznacza, że 110° i 85° NIE uzupełniają się.
W rezultacie podane linie NIE są równoległe, zgodnie z twierdzeniem o kolejnych kątach wewnętrznych.
Przykład 3: Znajdź brakujące kąty ∠3, ∠5 i ∠6. Na wykresie ∠4 = 65°.
Rozwiązanie:
Biorąc pod uwagę: ∠4 = 65°, ∠4 i ∠6 są zatem kątami odpowiadającymi;
∠6 = 65°
Z dodatkowego twierdzenia o kątach wiemy;
∠5 + ∠6 = 180°
∠5 = 180° – ∠6 = 180° – 65° = 115°
bash, jeśli jeszczeOd,
∠3 = ∠6
Zatem ∠3 = 115°.
Ćwicz problemy dotyczące kątów wspólnych
Problem 1: W parze równoległych linii przeciętych przekątną, jeśli jeden wspólny kąt wewnętrzny ma miarę (2x – 7)°, a drugi (x + 1)°, to jaka jest miara obu wspólnych kątów wewnętrznych?
Problem 2: Jeśli kąt P jest kątem wewnętrznym z kątem Q leżącym na parze prostych, a kąt Q ma miarę 60°, jaka jest miara kąta P?
Problem 3: W parze linii równoległych przeciętych przekątną, jeśli suma obu kolejnych kątów wewnętrznych wynosi (3z-8)°, a jeden z kątów wewnętrznych wynosi z. Następnie znajdź wartość obu kolejnych kątów wewnętrznych.
Kolejne kąty wewnętrzne – często zadawane pytania
Zdefiniuj kolejne kąty wewnętrzne.
Kolejne kąty wewnętrzne to para kątów utworzonych przez dwie linie równoległe i jedną poprzeczną, znajdujące się po tej samej stronie poprzecznej i po wewnętrznej stronie linii równoległych.
Jakie jest twierdzenie o kolejnych kątach wewnętrznych?
Twierdzenie o kolejnych kątach wewnętrznych stwierdza, że gdy dwie równoległe linie przecinają się z linią poprzeczną, to kolejne kąty wewnętrzne utworzone po tej samej stronie poprzeczki są uzupełniające, co oznacza, że ich miary sumują się do 180°.
Czy zawsze konieczne jest posiadanie kolejnych kątów wewnętrznych?
Nie, nie wszystkie kolejne kąty wewnętrzne są uzupełniające. Przydają się tylko wtedy, gdy odcinek poprzeczny przebiega wzdłuż linii równoległych. Należy zauważyć, że kolejne kąty wewnętrzne mogą być generowane również wtedy, gdy poprzeczna przecina dwie nierównoległe linie, chociaż w tej sytuacji nie są one uzupełniające.
Podaj przykład rzeczywistego kolejnego kąta wewnętrznego.
W rzeczywistości możesz zaobserwować sekwencyjne kąty wewnętrzne w różnych miejscach, na przykład na kratce okiennej z pionowymi i poziomymi prętami. Wykonuje się je poprzez przecięcie dwóch prętów poziomych (dwie równoległe linie) prętem pionowym (poprzecznym).
Jakie są trzy zasady dotyczące kąta wspólnego?
Trzy zasady kąta wspólnego to:
- Zbiór par kątów utworzonych, gdy linie poprzeczne napotykają linie równoległe, nazywany jest kątami współwewnętrznymi.
- Wewnątrz linii równoległych znajdują się kąty współwewnętrzne.
- Suma kątów wspólnych wynosi 180 stopni.
Jaki jest związek między kolejnymi kątami wewnętrznymi a liniami równoległymi?
Kolejne kąty wewnętrzne to kąty utworzone na wewnętrznej stronie poprzeczki, gdy przecina ona dwie równoległe linie. Kolejne kąty wewnętrzne utworzone podczas przechodzenia poprzecznego przez dwie równoległe linie są uzupełniające.
Czy kolejne kąty wewnętrzne sumują się do 180°?
Tak, w przypadku linii równoległych kolejne kąty wewnętrzne sumują się do 180°. Ale w przypadku linii nierównoległych nie ma dokładnej wartości, do której sumują się te kąty.
Jakie są różnice między kolejnymi i alternatywnymi kątami wewnętrznymi?
Pary kątów znajdujących się po tej samej stronie linii poprzecznej w stosunku do dwóch linii równoległych nazywane są kolejnymi kątami wewnętrznymi. Pary kątów znajdujących się na zewnątrz linii poprzecznych i wewnątrz linii równoległych nazywane są naprzemiennymi kątami wewnętrznymi.
Podczas gdy kąty naprzemienne są przystające, jeśli linie są równoległe, kolejne kąty sumują się do 180 stopni. Oba typy mają unikalne cechy geometryczne i są ważne w geometrii.
Czy wspólne i kolejne kąty wewnętrzne są takie same?
Tak, kąty wewnętrzne i kolejne kąty wewnętrzne są nazwami tych samych par kątów.
Jaka jest właściwość kątów wspólnych?
Właściwość kątów współwewnętrznych polega na tym, że sumują się do 180 stopni, gdy dwie równoległe linie przecinają się poprzecznie.
Jakie są kolejne kąty wewnętrzne i zewnętrzne?
Kluczowe różnice między kolejnymi kątami wewnętrznymi i zewnętrznymi są wymienione w następujący sposób:
Nieruchomość Kolejne kąty wewnętrzne Kolejne kąty zewnętrzne Lokalizacja Po tej samej stronie poprzeczki, pomiędzy równoległymi liniami Po przeciwnych stronach poprzeczki, jedna na zewnątrz i jedna wewnątrz równoległych linii Relacja Uzupełniające (suma równa się 180 stopni) Uzupełniające (suma równa się 180 stopni)