Pochodna Arcsin x wynosi d/dx(arcsin x) = 1/√1-x² . Oznacza się go przez d/dx(arcsin x) lub d/dx(sin^-1X). Pochodna Arcsina odnosi się do procesu znajdowania szybkości zmian funkcji Arcsin x w odniesieniu do zmiennej niezależnej. Pochodna Arcsin x jest również znana jako różniczkowanie Arcsin.

W tym artykule poznamy pochodną Arcsina i jej wzór, w tym dowód wzoru z wykorzystaniem pierwszej zasady pochodnych, reguły ilorazu i metody reguły łańcuchowej.

Spis treści

• Co to jest pochodna w matematyce?
• Co to jest pochodna Arcsin x?
• Dowód pochodnej Arcsina x
• Rozwiązane przykłady pochodnej Arcsin x

Co to jest pochodna w matematyce?

Pochodna funkcji to szybkość zmian funkcji względem dowolnej zmiennej niezależnej. Pochodną funkcji f(x) oznaczamy jako f'(x) lub (d /dx)[f(x)]. Różniczkowanie funkcji trygonometrycznej nazywa się pochodną funkcji trygonometrycznej lub pochodnymi trygonometrycznymi. Pochodną funkcji f(x) definiujemy jako:

f'(x ₀ ) = ograniczenie _{h → 0} [f(x ₀ + h) – f(x ₀ )] / H

Co to jest pochodna Arcsin x?

Spośród odwrotne pochodne trygonometryczne , pochodna Arcsin x jest jedną z pochodnych. Pochodna funkcji arcsin reprezentuje szybkość, z jaką zmienia się krzywa arcsin w danym punkcie. Oznacza się go przez d/dx(arcsin x) lub d/dx(sin^-1X). Arcsinx jest również znany jako odwrotny sin x.

Pochodna Arcsin x wynosi 1/√1-x²

Pochodna wzoru Arcsin x

Wzór na pochodną Arcsin x podaje wzór:

(d/dx) [Arcsin x] = 1/√1-x²

LUB

(Arcsin x)’ = 1/√1-x²

Sprawdź także, Odwrotność Funkcja trygonometryczna

Dowód pochodnej Arcsina x

Pochodną tan x można udowodnić w następujący sposób:

• Za pomocą reguły łańcuchowej
• Korzystając z pierwszej zasady pochodnej

Pochodna Arcsina według reguły łańcuchowej

Aby udowodnić pochodną Arcsin x za pomocą reguły łańcuchowej, skorzystamy z podstawowego wzoru trygonometrycznego i odwrotnego wzoru trygonometrycznego:

• bez²i + sałata²y = 1
• grzech(arcsin x) = x

Oto dowód pochodnej Arcsina x:

Niech y = arcsinx

Biorąc grzech z obu stron

siny = grzech(arcsinx)

Z definicji funkcji odwrotnej mamy,

grzech(arcsinx) = x

Zatem równanie staje się sinus = x …..(1)

Różniczkowanie obu stron względem x,

d/dx (sinus) = d/dx (x)

przytulny · d/dx(y) = 1 [ As d/dx(sin x) = cos x]

dy/dx = 1/przytulny

Korzystanie z jednej z tożsamości trygonometrycznych

bez²y+cos²y = 1

∴cos y = √1 – grzech²y = √1–x²[Z (1) mamy sinus = x]

dy/dx = 1/√(1–x²)

Podstawiając y = arcsin x

d/dx (arcsinx) = arcsin′x = 1/√1 – x ²

Sprawdź także, Zasada łańcuchowa

Pochodna Arcsina z pierwszej zasady

Aby udowodnić pochodną arcsin x za pomocą Pierwsza zasada pochodnej , użyjemy podstawowych limitów i wzory trygonometryczne które są wymienione poniżej:

• bez²y+cos²y = 1

• lim_{x → 0}x/sinx = 1

• grzech A – grzech B = 2 grzech [(A – B)/2] cos [(A + B)/2]

Możemy udowodnić pochodną arcsin zgodnie z pierwszą zasadą, wykonując następujące kroki:

Niech f(x) = arcsinx

Według pierwszej zasady mamy

frac{d f( x)}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{f (x + h)- f(x)}{h}

wstaw f(x) = arcsinx, otrzymamy

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{h o 0} frac{arcsin (x + h)- arcsin x}{h}….(1)

Załóżmy, że arcsin (x + h) = A i arcsin x = B

Więc mamy,

grzech A = x+h …..(2)

grzech B = x…….(3)

Odejmij (3) od (2) i mamy

grzech A – grzechB = (x+h) – x

sinA – grzechB = godz

Jeżeli h → 0, (sin A – sin B) → 0

grzech A → grzech B lub A → B

Zastąp te wartości w równaniu (1)

komentarz wielowierszowy PowerShell

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{Sin A- Sin B}

Używając sin A – sin B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2], otrzymujemy

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{2Cos frac{A+B}{2}- 2 Sin frac{A-B}{2}}

co można zapisać jako:

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{frac{A- B}{2}}{Sin frac{A-B}{2}} imes frac{1}{Cos frac{A+B}{2}}

Teraz wiemy, że Lim_{x → 0}x/sinx = 1, dlatego powyższe równanie zmienia się na

frac{d}{dx}(arcsin x) ={1} imes frac{1}{Cos frac{B+B}{2}}

frac{d}{dx}(arcsin x) =frac{1}{Cos {B}}

Korzystanie z jednej z tożsamości trygonometrycznych

bez²y+cos²y = 1

∴ cos B = √1 – grzech²B = √1–x²[Sin B = x z (3)]

f′(x) = dy/dx = 1 / √(1–x²)

Sprawdź także

• Pochodna funkcji trygonometrycznej
• Formuła różniczkowa
• Pochodna Arctana x
• Pochodna funkcji odwrotnych

Rozwiązane przykłady pochodnej Arcsin x

Przykład 1: Znajdź pochodną y = arcsin (3x).

Rozwiązanie:

Niech f(x) = arcsin (3x).

Wiemy, że d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

Według reguły łańcuchowej

d/dx(arcsin(3x)) = 1/√(1 – (3x)² · d/dx (3x)

= 1/ √(1 -9x²) · (3)

= 3/√(1 -9x²)

Zatem pochodna y = arcsin (3x) wynosi 3/√(1 -9x²).

Przykład 2: Znajdź pochodną y = arcsin (1/2x).

Rozwiązanie:

Niech f(x) = arcsin (1/2x).

Wiemy, że d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

Według reguły łańcuchowej

d/dx(arcsin(1/2x)) = 1/√(1 – (1/2x)² · d/dx (1/2x)

= 1/ √(1 -(1/4x²) )· (-1/2x²)

= 1/√(4x²– 1)/4x²· (-1/2x²)

= -1/x√4x²- 1

Zatem pochodna y = arcsin (1/x) wynosi -1/x√4x²- 1.

Przykład 3: Znajdź pochodną y = x arcsin x.

Rozwiązanie:

Mamy y = x arcsin x.

d/dx(arcsin(1/x)) = x · d/dx (arcsin x) + arcsin x · d/dx (x)

= x [1/√1-x²] + arcsin x (1)

= x/√1-x² + arcsin x
Zatem pochodna y = arcsin (1/x) to x/√1-x² + arcsin x

Ćwicz pytania dotyczące pochodnej sinu x

Pytanie 1. Znajdź pochodną arcsin(5x).

Pytanie 2. Znajdź pochodną x³arcsin(x).

Pytanie 3. Oblicz: d/dx [ arcsin(x) / x²+ 1]

Pytanie 4. Oblicz pochodną arcsin(x) – tan(x)

Pochodna Arcsin – często zadawane pytania

Co jest pochodną Arcsina?

Pochodna Arcsin x wynosi 1/√1-x²

Co to jest pochodna w matematyce?

W matematyce pochodna jest miarą zmiany funkcji w miarę zmiany jej danych wejściowych (zmiennej niezależnej). Pochodną funkcji f(x) oznaczamy jako f'(x) lub (d /dx)[f(x)].

Co to jest pochodna arcsin(1/x)?

Pochodna arcsin(1/x) wynosi (-1) / (x√x² – 1).

Co to jest pochodna?

Pochodną funkcji definiuje się jako szybkość zmiany funkcji względem zmiennej niezależnej.

Co to jest pochodna sin x?

Pochodna sin x to cos x.