Formuły pochodne w rachunku różniczkowym są jednym z ważnych narzędzi rachunku różniczkowego, ponieważ wzory na pochodne są szeroko stosowane do łatwego znajdowania pochodnych różnych funkcji, a także pomagają nam odkrywać różne dziedziny matematyki, inżynierii itp.

W tym artykule omówiono wszystkie wzory pochodne ściśle włączając ogólny wzór na pochodną, ​​wzory na pochodne na funkcje logarytmiczne i wykładnicze, wzory na pochodne na stosunki trygonometryczne, wzory na pochodne na odwrotne stosunki trygonometryczne i wzory na pochodne na funkcje hiperboliczne. Formuła pochodna jest ważna dla uczniów klasy 12 podczas egzaminów komisyjnych. Rozwiążemy także kilka przykładów pochodnych, korzystając z różnych wzorów na pochodne. Przyjrzyjmy się bliżej tematowi formuły pochodnej.

Spis treści

• Co to jest instrument pochodny?
• Co to są formuły pochodne?
• Podstawowe wzory na pochodne – reguły pochodne w rachunku różniczkowym
• Lista formuł pochodnych
• Niektóre inne wzory na pochodne
• Jak znaleźć instrumenty pochodne?
• Zastosowania wzoru na pochodną

Co to jest instrument pochodny?

The pochodne reprezentują szybkość funkcji w odniesieniu do dowolnej zmiennej. Pochodną funkcji f(x) oznaczamy jako f'(x) lub (d/dx) [f(x)]. Proces znajdowania pochodnych nazywa się różniczkowaniem.

Najbardziej podstawowym wzorem na pochodną jest definicja pochodnej, którą definiuje się jako:

f'(x) = limit _{h → 0} [(f(x + h) – f(x))/h]

Istnieją różne wzory na pochodne, w tym ogólne wzory na pochodne, wzory na pochodne na funkcje trygonometryczne i wzory na pochodne na odwrotne funkcje trygonometryczne itp.

Przeczytaj szczegółowo: Rachunek matematyczny

Co to są formuły pochodne?

Wzory pochodne to wyrażenia matematyczne, które pomagają nam obliczyć pochodną określonej funkcji w odniesieniu do jej zmiennej niezależnej. Krótko mówiąc, wzory pomagające w znalezieniu pochodnych nazywane są wzorami pochodnymi. Istnieje wiele wzorów na pochodne dla różnych funkcji.

Przykłady wzorów pochodnych

Oto kilka przykładów wzorów na instrumenty pochodne:

• Zasada mocy: Jeśli f(x) = x^N, gdzie n jest stałą, wówczas pochodną wyznacza się wzorem:

f'(x) = nx ^n-1

• Stała zasada: Jeżeli f(x) = c, gdzie c jest stałą, to pochodna wynosi zero:

f'(x) = 0

• Funkcje wykładnicze: Jeśli f(x) = e^X, Następnie:

f'(x) = e ^X

Omówmy w uporządkowany sposób wszystkie formuły związane z instrumentami pochodnymi.

Podstawowe wzory na pochodne – reguły pochodne w rachunku różniczkowym

Oto niektóre z najbardziej podstawowych wzorów na znalezienie pochodnej:

• Stała reguła
• Zasada mocy
• Reguła różnicy sumy
• Zasada produktu
• Reguła ilorazu
• Zasada łańcuchowa

Omówmy szczegółowo te zasady:

Reguła stałej dla instrumentów pochodnych

Stała reguła dla instrumentów pochodnych jest dana wzorem:

(d/dx) stała = 0

Reguła potęgi dla instrumentów pochodnych

Regułę potęgi dla instrumentów pochodnych podaje wzór:

(d/dx) x ^N = nx ^n-1

Reguła różnicy sumy dla instrumentów pochodnych

Regułę sumy i różnicy dla instrumentów pochodnych podaje wzór:

niestabilne słowo kluczowe Java

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Reguła produktu dla instrumentów pochodnych

Regułę iloczynu dla instrumentów pochodnych podaje wzór:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Reguła ilorazu dla instrumentów pochodnych

Regułę ilorazu dla instrumentów pochodnych podaje wzór:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Reguła łańcucha dla instrumentów pochodnych

Reguła łańcuchowa dla pochodnej jest dana wzorem:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Lista formuł pochodnych

Poniżej znajdują się wzory na pochodne poszczególnych funkcji:

Wzory na pochodne wykładnicze i logarytmiczne

Poniżej podano wzory na pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych:

• (d/dx) mi^X= i^X
• (d/dx) a^X= za^Xw
• (d/dx) lnx = (1/x)
• (d/dx) log_Ax= (1/x lna)

Czytaj więcej,

• Logarytmy
• Pochodna funkcji wykładniczych

Trygonometryczne wzory na pochodne

Poniżej znajdują się wzory na pochodne funkcji trygonometrycznych:

• (d/dx) grzech x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²X
• (d/dx) łóżko x = -cosec²X
• (d/dx) sek. x = sek. x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x łóżeczko x

Dowiedz się więcej o Pochodna funkcji trygonometrycznych .

Wzór na pochodną odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Poniżej znajdują się wzory na pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych:

• (d/dx) bez^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) tak^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) łóżeczko dziecięce^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) sek^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) cosek^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

Czytaj więcej, Pochodna odwrotnej funkcji trygonometrycznej .

Pochodna funkcji hiperbolicznych

Poniżej znajdują się wzory na pochodne funkcji trygonometrycznych:

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = każdy²X
• (d/dx) coth x = -cosech²X
• (d/dx) self x = -self x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Niektóre inne wzory na pochodne

Istnieją inne funkcje, takie jak funkcje ukryte, funkcje parametryczne i pochodne wyższego rzędu, których wzory na pochodne są wymienione poniżej:

Ukryta formuła pochodna

Metodę znajdowania pochodnej funkcji ukrytej nazywamy różniczkowaniem ukrytym. Weźmy przykład, aby zrozumieć metodę znajdowania pochodnych w sposób dorozumiany.

int na ciąg znaków w Javie

Przykład: Znajdź pochodną xy = 2

Rozwiązanie:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

jak zmienić ciąg na int

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Z podanego równania y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

Dowiedz się więcej o Ukryte różnicowanie .

Parametryczny wzór na pochodną

Jeśli funkcja y(x) jest wyrażona w postaci trzeciej zmiennej t oraz x i y można przedstawić w postaci x = f(t) i y = g(t), wówczas ten typ funkcji nazywa się funkcją parametryczną.

Jeżeli y jest funkcją x oraz x = f(t) i y = g(t) są dwiema różniczkowalnymi funkcjami parametru t, to pochodną funkcji parametrycznej wyraża się wzorem:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), takie, że (dx/dt) ≠ 0

Przeczytaj więcej o Różnicowanie parametryczne .

Wzór na pochodną wyższego rzędu

Znalezienie pochodnej funkcji więcej niż jeden raz daje pochodną funkcji wyższego rzędu.

N ^t Pochodna = d ^N y/(dx) ^N

Przeczytaj więcej o Pochodna wyższego rzędu .

Jak znaleźć instrumenty pochodne?

Aby znaleźć pochodne funkcji, wykonujemy poniższe kroki:

• Najpierw sprawdź typ funkcji, czy jest to algebraiczna, trygonometryczna itp.
• Po znalezieniu typu zastosuj odpowiednie wzory na pochodną funkcji.
• Wynikowa wartość daje pochodną funkcji przy użyciu wzoru na pochodne.

Zastosowania wzoru na pochodną

Istnieje wiele zastosowań wzorów na pochodne. Niektóre z tych aplikacji są wymienione poniżej:

• Instrumenty pochodne służą do obliczania tempa zmian dowolnej wielkości.
• Można go użyć do znalezienia maksimów i minimów.
• Stosuje się go w funkcjach rosnących i malejących.

Ludzie Zobacz także:

• Wzory różniczkowe
• Wzór różniczkujący i całkujący
• Różniczkowanie logarytmiczne

Rozwiązane przykłady dotyczące wzoru na pochodną

Przykład 1: Znajdź pochodną x ⁵ .

Rozwiązanie:

Niech y = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y’ = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

Przykład 2: Znajdź pochodną log ₂ X.

tablice basha

Rozwiązanie:

Niech y = log₂X

⇒ y’ = (d/dx) [log₂X]

⇒ y’ = 1/ [x ln2]

Przykład 3: Znajdź pochodną funkcji f(x) = 8 . 6 ^X

Rozwiązanie:

f(x) = 8 . 6^X

⇒ f’(x) = (d/dx) [8 . 6^X]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^X]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Przykład 4: Znajdź pochodną funkcji f(x) = 3sinx + 2x

Rozwiązanie:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f’(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Przykład 5: Znajdź pochodną funkcji f(x) = 5cos ^-1 x + mi ^X

Rozwiązanie:

f(x) = 5cos^-1x + mi^X

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + mi^X]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[np^X]

⇒ f’(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[np^X]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + i^X

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + i^X

Ćwicz problemy dotyczące wzoru na pochodną

Problem 1: Oceń: (d/dx) [x⁴]

Problem 2: Znajdź pochodną y = 5cos x.

Problem 3: Znajdź pochodną y = cosec x + cot x.

Problem 4: Znajdź pochodną f(x) = 4^X+ log₃x + tak^-1X.

Problem 5: Ocenić: (d/dx) [40].

Problem 6: Znajdź pochodną f(x) = x⁵+ 5x³+ 1 .

ciąg do wartości logicznej Java

Często zadawane pytania dotyczące formuły pochodnej

Co to jest instrument pochodny?

Wartość reprezentującą szybkość zmiany funkcji względem dowolnej zmiennej nazywa się pochodną.

Jak przedstawiane są instrumenty pochodne?

Pochodne są przedstawiane jako (d/dx) lub jeśli f(x) jest funkcją, to pochodna f(x) jest przedstawiana jako f'(x).

Jak obliczana jest pochodna stałej?

Pochodna stałej wynosi zawsze zero. W notacji matematycznej, jeśli „C” jest stałą, wówczas dC/dx = 0.

Zapisz ogólny wzór na pochodną x^N.

Ogólny wzór na pochodną x^N= nx^n-1.

Jak obliczyć pochodne funkcji?

Do obliczenia pochodnych funkcji możemy zastosować wzór na pochodne po danej funkcji.

Jaki jest wzór na pochodną funkcji logarytmicznej?

Pochodna funkcji logarytmu naturalnego ln(x) wynosi 1/x. W notacji matematycznej, jeśli y = ln(x), to dy/dx = 1/x.

Którego wzoru używa się do znajdowania pochodnej funkcji wykładniczych?

Pochodna funkcji wykładniczej, y = a^X(gdzie „a” jest stałą) oblicza się za pomocą wzoru dy/dx = a^X× ln(a).

Co to są instrumenty pochodne wyższego rzędu?

Pochodne wyższego rzędu to pochodne funkcji podjętej więcej niż raz. Druga pochodna jest pochodną pierwszej, trzecia jest pochodną drugiej i tak dalej.

Co to jest wzór na pochodną dla e^X?

Pochodna funkcji f(x) = e^X(gdzie „e” jest liczbą Eulera, w przybliżeniu 2,71828) to po prostu f'(x) = e^X.

Napisz wzór na pochodną dla u/v.

Pochodną ilorazu dwóch funkcji u(x) i v(x) określa reguła ilorazu:

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Co to jest wzór na pochodną dla 1/x?

Pochodną funkcji f(x) = 1/x wyrażamy wzorem:

f'(x) = -1/x ²