Podzbiory w matematyce są podstawową koncepcją w badaniu teorii mnogości, podobnie jak w przypadku zbiorów. Grupę elementów, obiektów lub elementów ujętych w nawiasy klamrowe, takie jak {x, y, z}, nazywa się Ustawić , gdzie każdy element zbioru jest unikalny. Zatem dla zbioru {x, y, z} możliwe podzbiory to {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} lub { x, y, z}. Podczas definiowania zbioru jego elementami mogą być liczby rzeczywiste, stałe, zmienne lub dowolne inne obiekty.

W tym artykule szczegółowo omówiono koncepcję podzbiorów i ułatwiono jej zrozumienie wszystkim czytelnikom artykułu, bez względu na ich poziom akademicki. Wszystkie podtematy, takie jak ich znaczenie, definicja, symbol, przykład i wiele innych, zostały omówione w artykule z dużą ilością przykładów. Rozpocznijmy więc naszą podróż do krainy teorii mnogości i poznajmy koncepcję podzbiorów.

W tym artykule przedstawiliśmy szczegółowe informacje nt czym są podzbiory w matematyce, nadzbiory w matematyce, podzbiór właściwy i podzbiór niewłaściwy z przykładami i często zadawanymi pytaniami.

Spis treści

• Co to są podzbiory w matematyce?
• Przykład podzbiorów
• Zestaw mocy zestawu
• Rodzaje podzbiorów
• Właściwy podzbiór
• Niewłaściwy podzbiór
• Podzbiory właściwe i niewłaściwe
• Podzbiory a nadzbiory

Co to są podzbiory w matematyce?

Zbiór „A” jest podzbiorem zbioru „B”, jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B. Ponadto podzbiór może być równy zbiorowi w szczególnym przypadku, gdy wszystkie elementy podzbioru są zawarte w zbiorze ustawić.

Aby lepiej zrozumieć podzbiór, rozważmy, że zbiór A jest zbiorem liczb nieparzystych, a zbiór B składa się z {1,3,5}, zatem tutaj B jest podzbiorem A, a A jest nadzbiorem B.

Na przykład: Jeśli zbiór A zawiera {jabłko, banan}, a zbiór B zawiera {wszystkie owoce}, to A jest podzbiorem B.

Rozważmy jeszcze jeden przykład dla lepszego zrozumienia.

Przykład: Określ, który jest podzbiorem, a który nadzbiórem, jeśli A = {a, e, i, o, u} i B = {Wszystkie alfabety}.

Odpowiedź:

Diana Ankudinowa

Tutaj A zawiera wszystkie elementy samogłoskowe, które są częścią alfabetu. Zatem tutaj A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

Definicja podzbioru

Matematycznie zbiór A powinien być podzbiorem zbioru B, jeśli wszystkie składniki zbioru A istnieją również w zbiorze B. Zatem podzbiór jest podzbiorem dowolnego zbioru. Inaczej mówiąc, zbiór A jest zawarty w zbiorze B.

Na przykład: Jeśli zbiór A = {1, 2, 3} i zbiór B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, to możemy powiedzieć, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B, ponieważ wszystkie elementy zbioru A są dostępne w zestawie B.

Znaczenie podzbioru

Podzbiór oznacza zbiór, którego elementy są wszystkimi elementami zbioru inkluzywnego. Rozważmy zbiór X taki, że X zawiera nazwy wszystkich rzek kraju. Inny zestaw Y zawiera nazwy rzek w północnych Indiach. Tutaj y będzie podzbiorem x, ponieważ wszystkie rzeki w północnych Indiach byłyby również rzekami naszego kraju; stąd Y jest podzbiorem X. Istnieje tylko określona liczba odrębnych lub unikalnych podzbiorów dla każdego zbioru, dlatego pozostałe są nieistotne i powtarzalne.

Przykład: Wypisz wszystkie podzbiory zbioru Q = {1, 2, 3}.

Odpowiedź:

Podzbiory Q to { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} i {1, 2, 3}

Symbol podzbioru

Podzbiór jest oznaczony symbolem i czytany jako „jest podzbiorem” w teoria zbiorów . Podzbiór jest reprezentowany przez symbol podany przez ⊆. Podzbiory można wyrazić za pomocą tego symbolu w następujący sposób:

A ⊆ B oznacza to, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B.

lista połączona Java

Przykład podzbiorów

Jedyną potrzebą, aby zbiór A był podzbiorem zbioru B, jest to, że każdy element A jest obecny w B. Oto kilka przykładów podzbiorów opartych na tym.

• A = {2, 3, 10} jest podzbiorem B = {1, 2, 3, 4, 10},
• P = Zbiór wszystkich liczb pierwszych jest podzbiorem N = Zbiór wszystkich liczb naturalnych i
• X = {a, e, i, o, u} to zbiór samogłosek i jest podzbiorem Y = Zbiór wszystkich alfabetów.

Warto zauważyć, że każdy zbiór jest podzbiorem samego siebie, podobnie jak zbiór pusty ().

Przykład: Czy zbiór null może być podzbiorem dowolnego zbioru?

Odpowiedź:

Null jest podzbiorem każdego zbioru. Domyślnie bierzemy pod uwagę fakt, że wszystkie zbiory zawierają element zwany zbiorem zerowym.

Podzbiory liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste, które można wyrazić w postaci liczb dziesiętnych, dzielą się na różne kategorie. Z codziennego życia niewątpliwie znasz już ułamki zwykłe, dziesiętne i liczenie liczb. Następujące liczby są uważane za podzbiór liczb rzeczywistych:

• Liczby wymierne : dowolna liczba, którą można wyrazić jako ułamek p/q, gdzie p i q są dodatnimi liczbami całkowitymi. Są to ułamki dziesiętne niekończące się, powtarzające się i kończące ułamki dziesiętne w formie dziesiętnej. Np.: -5/9, 1/8
• Liczby niewymierne : Liczby te nie kończą się ani nie powtarzają, jeśli są wyrażone w postaci dziesiętnej. Np.: mi.
• Liczby całkowite : Wszystkie liczby liczące, w tym zero i ich przeciwieństwa. Np.: -2, -1,0,3
• Wszystkie liczby : Zero i wszystkie dodatnie liczby liczące. Np. 0, 2, 500
• Liczby naturalne : Wszystkie liczby dodatnie. Ex- 1,2,40

Przykład: Do jakiego podzbioru liczb rzeczywistych należy -5?

Odpowiedź:

-5 to liczba wymierna i całkowita.

Zestaw mocy zestawu

Zestaw zestaw zasilający składa się z każdego podzbioru oraz zbioru pierwotnego i zbioru pustego. P(A) oznacza zbiór potęg danego zbioru A. Na przykład, jeśli A = {1, 2}, to P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Tutaj wyraźnie widać, że wszystkie podzbiory zbioru A są zawarte w zbiorze P(A), tj. zbiorze potęgowym zbioru A.

Liczba podzbiorów zbioru

Dla dowolnego zbioru A liczbę seusetów podaje się za pomocą następującego wzoru

Liczba podzbiorów = 2 ^N

Gdzie N to liczba elementów w zbiorze.

Ponieważ zbiór potęgowy zawiera wszystkie podzbiory dowolnego zbioru, zatem dla zbioru A, który ma „n” elementów, wówczas P(A) ma 2^Nelementy.

Przykład: Ile elementów zbioru potęgowego można utworzyć, jeśli zbiór składa się z czterech elementów?

Odpowiedź:

Liczba elementów układu potęgowego składającego się z trzech elementów wynosi 2⁴= 16.

Rodzaje podzbiorów

Istnieją dwa typy podzbiorów:

• Właściwy podzbiór
• Niewłaściwy podzbiór

Omówmy szczegółowo te typy w następujący sposób:

Właściwy podzbiór

A właściwy podzbiór składa się tylko z kilku członków oryginalnego zestawu. Podzbiór właściwy nigdy nie może być równy zbiorowi pierwotnemu. W podzbiorze właściwym wyklucza się podzbiór tworzący zbiór pierwotny.

Właściwy symbol podzbioru

Podzbiór właściwy jest oznaczony przez ⊂,

Możemy wyrazić właściwy podzbiór zbioru A i zbiór B jako;

powodzenia

A ⊂ B

Przykład właściwych podzbiorów

Niech zbiór A = {1, 3, 5}, to właściwymi podzbiorami A są: {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. Ponadto {1, 3, 5} jest podzbiorem A, ale nie jest właściwym podzbiorem A.

Właściwy wzór na podzbiór

Liczba podzbiorów właściwych zbioru zawierającego n elementów wynosi 2^N- 1.

Przykład: Zbiór zawiera 3 elementy. Jaka będzie liczba podzbiorów właściwych?

Odpowiedź:

Liczba podzbiorów właściwych = 2^N- 1

Tutaj n = 3

N = 2³– 1 = 7

Niewłaściwy podzbiór

Jakiś niewłaściwy podzbiór zawiera zawiera zarówno zestaw zerowy, jak i każdy element zestawu początkowego. Podzbiór niewłaściwy może być równy zbiorowi pierwotnemu. W podzbiorze niewłaściwym uwzględniany jest podzbiór tworzący zbiór pierwotny. Jest to reprezentowane przez symbol ⊆ .

Przykład: Jaki będzie podzbiór niewłaściwy zbioru A = {1, 3, 5}?

Odpowiedź:

Niewłaściwy podzbiór: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} i {1,3,5}

Niewłaściwa formuła podzbioru

W przypadku zbioru n elementów liczba podzbiorów niewłaściwych wynosi zawsze 1. Innymi słowy, liczba podzbiorów niewłaściwych zbioru jest niezależna od liczby jego elementów.

Ucz się więcej, Formuły teorii zbiorów

Podzbiory właściwe i niewłaściwe

Kluczowe różnice między podzbiorami właściwymi i podzbiorami niewłaściwymi wymieniono w poniższej tabeli:

Przykład: Dla zbioru P = {1,2} znajdź podzbiór właściwy i niewłaściwy.

Rozwiązanie:

np. nazwa użytkownika

Właściwy zbiór jest określony przez { }, {1} i {2}

Niewłaściwy zestaw jest podany przez { }, {1}, {2} i {1,2}

Podzbiory a nadzbiory

Kluczowe różnice między obydwoma podzbiory I superserie są wymienione w poniższej tabeli:

Formuła podzbioru

Poniżej podano wszystkie wzory dotyczące podzbiorów.

• Liczba podzbiorów zbioru o n elementach wynosi 2^N. Obejmuje to zarówno podzbiory właściwe, jak i niewłaściwe.
• Liczba podzbiorów właściwych zbioru n elementów wynosi 2^N- 1.
• Liczba niewłaściwych podzbiorów dowolnego zbioru wynosi zawsze 1.

Przeczytaj także

• Reprezentacja zestawu
• Rodzaje zestawów
• Zestawy uniwersalne

Rozwiązane problemy dotyczące podzbiorów

Zadanie 1: Ile podzbiorów znajduje się w zbiorze składającym się z 4 elementów?

Rozwiązanie:

Zestaw zawierający 4 elementy będzie miał 2⁴elementów w nim = 16.

Zadanie 2: Ile podzbiorów znajduje się w zbiorze składającym się z 5 elementów?

Rozwiązanie:

Zestaw zawierający 5 elementów będzie miał 2⁵elementów w nim = 32.

Często zadawane pytania dotyczące podzbiorów

Co to są podzbiory w matematyce?

Jeśli każdy składnik zbioru A jest również obecny w zbiorze B, wówczas zbiór A jest podzbiorem zbioru B. Inaczej mówiąc, zbiór B zawiera zbiór A.

Co to są podzbiory właściwe?

Podzbiór zbioru A, który nie jest równy A, jest podzbiorem właściwym A. Innymi słowy, jeśli B jest podzbiorem właściwym A, to A ma co najmniej jeden element, którego nie ma w B, ale wszystkie elementy B są w.

Co to są nieprawidłowe podzbiory?

Podzbiór zawierający wszystkie elementy pierwotnego zbioru jest uważany za podzbiór niewłaściwy.

Czy podzbiór może być równy sobie?

Każdy zbiór jest traktowany jako podzbiór samego siebie. Podzbiorem właściwym żadnego zbioru jest on sam. Każdy zbiór ma zbiór pusty jako podzbiór.

Czy podzbiór może być zbiorem uniwersalnym?

Można powiedzieć, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B, jeśli każdy element zbioru A jest także elementem zbioru B. Wtedy dowolny zbiór uniwersalny może zostać użyty do utworzenia podzbiorów. Ważne jest również, aby pamiętać, że każdy zbiór uniwersalny jest w rzeczywistości podzbiorem samego siebie.

Czy podzbiór może mieć wartość null?

Tak, zestaw zerowy jest domyślnie podzbiorem dowolnego zestawu.

Jakie są dwie klasyfikacje podzbioru?

Klasyfikacje podzbiorów to:

• Właściwy podzbiór
• Niewłaściwy podzbiór