Kiedy już opanujesz wzór kwadratowy i podstawy równań kwadratowych, czas na następny poziom relacji z parabolami: poznanie ich forma wierzchołkowa .

Czytaj dalej, aby dowiedzieć się więcej o formie wierzchołka paraboli i o tym, jak przekonwertować równanie kwadratowe z postaci standardowej na postać wierzchołkową.

Źródło obrazu funkcji: SBA73 /Flickr

Dlaczego forma wierzchołkowa jest przydatna? Przegląd

The forma wierzchołkowa równania to alternatywny sposób zapisania równania paraboli.

Zwykle zobaczysz równanie kwadratowe zapisane jako $ax^2+bx+c$, które na wykresie będzie parabolą. Z tej postaci łatwo jest znaleźć pierwiastki równania (w miejscu, w którym parabola uderza w oś $x$), ustawiając równanie na zero (lub używając wzoru kwadratowego).

Jeśli jednak chcesz znaleźć wierzchołek paraboli, standardowa forma kwadratowa jest znacznie mniej pomocna. Zamiast tego będziesz chciał przekonwertować równanie kwadratowe na postać wierzchołkową.

Co to jest forma wierzchołkowa?

Podczas gdy standardowa forma kwadratowa to $ax^2+bx+c=y$, postać wierzchołkowa równania kwadratowego to $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

W obu postaciach $y$ to współrzędna $y$, $x$ to współrzędna $x$, a $a$ to stała określająca, czy parabola jest skierowana w górę ($+a$), czy w dół ($-a$). (Myślę o tym tak, jakby parabola była miską musu jabłkowego; jeśli jest $+a$, mogę dodać do miski mus jabłkowy; jeśli jest $-a$, mogę wytrząsnąć mus jabłkowy z miski.)

Różnica między standardową formą paraboli a formą wierzchołkową polega na tym, że postać wierzchołkowa równania podaje również wierzchołek paraboli: $(h,k)$.

Na przykład spójrz na tę piękną parabolę, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Na podstawie wykresu wierzchołek paraboli wygląda mniej więcej na (-1,5, -2), ale na podstawie samego wykresu trudno określić, gdzie dokładnie znajduje się ten wierzchołek. Na szczęście z równania $y=3(x+4/3)^2-2$ wiemy, że wierzchołek tej paraboli wynosi $(-4/3,-2)$.

Dlaczego wierzchołek to $(-4/3,-2)$, a nie $(4/3,-2)$ (inny niż wykres, który wyjaśnia współrzędne $x$- i $y$ wierzchołek jest ujemny)?

Pamiętać: w równaniu postaci wierzchołkowej odejmuje się $h$ i dodaje $k$ . Jeśli masz ujemne $h$ lub ujemne $k$, musisz upewnić się, że odjąłeś ujemne $h$ i dodałeś ujemne $k$.

W tym przypadku oznacza to:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

więc wierzchołek to $(-4/3,-2)$.

Zapisując parabolę w formie wierzchołkowej, należy zawsze dokładnie sprawdzić znaki dodatnie i ujemne , szczególnie jeśli wierzchołek nie ma dodatnich wartości $x$ i $y$ (lub dla was, ćwiartowców, jeśli nie ma go w kwadrant I ). Jest to podobne do sprawdzenia, które przeprowadzasz, rozwiązując wzór kwadratowy ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) i musisz upewnić się, że zachowałeś wartości dodatnie i negatywy prosto dla twoich $a$s, $b$s i $c$s.

Poniżej znajduje się tabela zawierająca dalsze przykłady kilku innych równań w postaci wierzchołków paraboli wraz z ich wierzchołkami. Zwróć szczególną uwagę na różnicę w części $(x-h)^2$ równania postaci wierzchołka paraboli, gdy współrzędna $x$ wierzchołka jest ujemna.

Jak przekonwertować ze standardowej formy kwadratowej na formę wierzchołkową

W większości przypadków, gdy zostaniesz poproszony o konwersję równań kwadratowych między różnymi formami, będziesz przechodzić od postaci standardowej ($ax^2+bx+c$) do postaci wierzchołkowej ($a(x-h)^2+k$ ).

Proces konwersji równania ze standardowej postaci kwadratowej na postać wierzchołkową obejmuje wykonanie szeregu kroków zwanych uzupełnianiem kwadratu. (Więcej informacji na temat uzupełniania kwadratu znajdziesz w tym artykule.)

Przeanalizujmy przykład konwersji równania z postaci standardowej do postaci wierzchołkowej. Zaczniemy od równania $y=7x^2+42x-3/14$.

Pierwszą rzeczą, którą będziesz chciał zrobić, to przenieść stałą lub termin bez symbolu $x$ lub $x^2$ obok niego. W tym przypadku nasza stała wynosi -3/14$. (Wiemy, że to negatywny $3/14$, ponieważ standardowe równanie kwadratowe to $ax^2+bx+c$, a nie $ax^2+bx-c$.)

Najpierw weźmiemy te $-3/14$ i przeniesiemy je na lewą stronę równania:

$y+3/14=7x^2+42x$

Następnym krokiem jest wyliczenie 7 (wartość $a$ w równaniu) z prawej strony w następujący sposób:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Świetnie! To równanie bardziej przypomina formę wierzchołkową, $y=a(x-h)^2+k$.

W tym momencie możesz pomyśleć: „Wszystko, co muszę teraz zrobić, to przesunąć 3/14 $ z powrotem na prawą stronę równania, prawda?” Niestety, nie tak szybko.

Jeśli spojrzysz na część równania w nawiasach, zauważysz problem: nie jest ona w postaci $(x-h)^2$. Jest za dużo $x$! Więc jeszcze nie skończyliśmy.

To, co musimy teraz zrobić, to najtrudniejsza część – ukończenie kwadratu.

Przyjrzyjmy się bliżej części równania $x^2+6x$. Aby rozłożyć $(x^2+6x)$ na coś przypominającego $(x-h)^2$, będziemy musieli dodać stałą do wnętrza nawiasów i będziemy musieli pamiętać dodać tę stałą również po drugiej stronie równania (ponieważ równanie musi pozostać zrównoważone).

Aby to skonfigurować (i upewnić się, że nie zapomnieliśmy dodać stałej po drugiej stronie równania), utworzymy puste miejsce, w którym stała przejdzie po obu stronach równania:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Zauważ, że po lewej stronie równania umieściliśmy naszą wartość $a$, 7, przed miejscem, w którym będzie znajdować się nasza stała; dzieje się tak dlatego, że nie tylko dodajemy stałą po prawej stronie równania, ale mnożymy stałą przez wartość znajdującą się poza nawiasami. (Jeśli Twoja wartość $a$ wynosi 1, nie musisz się tym martwić.)

Następnym krokiem jest uzupełnienie kwadratu. W tym przypadku kwadrat, który uzupełniasz, jest równaniem w nawiasach — dodając stałą, przekształcasz ją w równanie, które można zapisać w postaci kwadratu.

Aby obliczyć tę nową stałą, weź wartość obok $x$ (w tym przypadku 6), podziel ją przez 2 i podnieś do kwadratu.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Stała wynosi 9.

Powodem, dla którego dzielimy 6 na pół i do kwadratu, jest to, że wiemy, że w równaniu w postaci $(x+p)(x+p)$ (do tego właśnie staramy się dojść) $px+px= 6x$, więc $p=6/2$; aby otrzymać stałą $p^2$, musimy zatem wziąć 6/2$ (nasze $p$) i podnieść je do kwadratu.

Teraz zamień puste miejsca po obu stronach naszego równania na stałą 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Następnie uwzględnij równanie w nawiasach. Ponieważ uzupełniliśmy kwadrat, będziesz mógł go rozłożyć na czynniki jako $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Ostatni krok: przenieś wartość inną niż $y$ z lewej strony równania z powrotem na prawą stronę:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Gratulacje! Pomyślnie przekonwertowałeś równanie ze standardowej postaci kwadratowej na postać wierzchołkową.

Większość problemów nie wymaga jedynie konwersji równań z postaci standardowej na formę wierzchołkową; będą chcieli, żebyś faktycznie podał współrzędne wierzchołka paraboli.

Aby uniknąć oszukania przez zmianę znaku, wypiszmy ogólne równanie formy wierzchołkowej bezpośrednio nad równaniem postaci wierzchołkowej, które właśnie obliczyliśmy:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

A potem możemy łatwo znaleźć $h$ i $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Wierzchołek tej paraboli znajduje się we współrzędnych $(-3,-{885/14})$.

Uff, było mnóstwo pomieszania liczb! Na szczęście konwersja równań w drugą stronę (z wierzchołka do postaci standardowej) jest dużo prostsza.

Jak przekonwertować formę wierzchołkową na formę standardową

Konwersja równań z postaci wierzchołkowej do regularnej postaci kwadratowej jest znacznie prostszym procesem: wystarczy pomnożyć postać wierzchołkową.

Weźmy nasze przykładowe równanie z wcześniejszego przykładu, $y=3(x+4/3)^2-2$. Aby przekształcić to w postać standardową, po prostu rozwijamy prawą stronę równania:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Pomyślnie przekonwertowałeś $y=3(x+4/3)^2-2$ na formę $ax^2+bx+c$.

Ćwiczenie formy wierzchołka paraboli: przykładowe pytania

Na zakończenie eksploracji formy wierzchołkowej mamy cztery przykładowe problemy i wyjaśnienia. Zanim przeczytasz wyjaśnienia, sprawdź, czy dasz radę samodzielnie rozwiązać problemy!

#1: Jaka jest postać wierzchołkowa równania kwadratowego $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Przekształć równanie $7y=91x^2-112$ do postaci wierzchołkowej. Jaki jest wierzchołek?

#3: Biorąc pod uwagę równanie $y=2(x-3/2)^2-9$, jakie są współrzędne $x$ miejsca, w którym to równanie przecina się z osią $x$?

#4: Znajdź wierzchołek paraboli $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Ćwiczenie w formie wierzchołka paraboli: rozwiązania

#1: Jaka jest postać wierzchołkowa równania kwadratowego ${i x^2}+ 2,6i x+1,2$?

Zacznij od oddzielenia zmiennej innej niż $x$ na drugą stronę równania:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Ponieważ nasze $a$ (jak $ax^2+bx+c$) w oryginalnym równaniu jest równe 1, nie musimy tutaj uwzględniać go po prawej stronie (chociaż jeśli chcesz, możesz napisać $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Następnie podziel współczynnik $x$ (2,6) przez 2 i podnieś go do kwadratu, a następnie dodaj wynikową liczbę do obu stron równania:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Uwzględnij prawą stronę równania w nawiasach:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Na koniec połącz stałe po lewej stronie równania, a następnie przenieś je na prawą stronę.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Nasza odpowiedź to $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Przekształć równanie $7i y=91i x^2-112$ do postaci wierzchołkowej. Jaki jest wierzchołek?

Konwertując równanie do postaci wierzchołkowej, chcesz, aby $y$ miało współczynnik 1, więc pierwszą rzeczą, którą zrobimy, będzie podzielenie obu stron tego równania przez 7:

7 lat = 91x^2-112 $

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Następnie przenosimy stałą na lewą stronę równania:

$y+16=13x^2$

Uwzględnij współczynnik liczby $x^2$ ($a$) z prawej strony równania

$y+16=13(x^2)$

Zwykle musiałbyś uzupełnić kwadrat po prawej stronie równania w nawiasach. Jednak $x^2$ jest już kwadratem, więc nie musisz nic robić poza przesunięciem stałej z lewej strony równania z powrotem na prawą stronę:

$y=13(x^2)-16$.

Teraz znajdź wierzchołek:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, więc $h=0$

$+k=-16$, więc $k=-16$

Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $(0, -16)$.

#3: Biorąc pod uwagę równanie $i y=2(i x-3/2)^2-9$, jakie są współrzędne $i x$ miejsca, w którym to równanie przecina się z $i x$-oś?

Ponieważ pytanie dotyczy znalezienia punktów przecięcia równania $x$, pierwszym krokiem jest ustawienie $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Można stąd wyjść na kilka sposobów. Podstępny sposób polega na wykorzystaniu na naszą korzyść faktu, że w równaniu w formie wierzchołkowej jest już zapisany kwadrat.

Najpierw przeniesiemy stałą na lewą stronę równania:

$0=2(x-3/2)^2-9$

9 dolarów=2(x-3/2)^2$

Następnie podzielimy obie strony równania przez 2:

9/2 $ = (x-3/2)^2 $

Teraz podstępna część. Weź pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±