Pochodna funkcji arcus tangens jest oznaczony jako tan^-1(x) lub arctan(x). Jest równe 1/(1+x ² ) . Pochodna funkcji arcus tangens można znaleźć poprzez określenie szybkości zmian funkcji arctg w odniesieniu do zmiennej niezależnej. Technikę znajdowania pochodnych funkcji trygonometrycznych nazywamy różniczkowaniem trygonometrycznym.

Pochodna Arctana

W tym artykule poznamy pochodną arc tan x i jej wzór wraz z dowodem wzoru. Poza tym udostępniliśmy także kilka rozwiązanych przykładów dla lepszego zrozumienia.

Pochodna Arctana x

Pochodna funkcji arctangens lub arctan(x) wynosi 1/(1+x ² ). Arctan x reprezentuje kąt, którego tangens wynosi x. Innymi słowy, jeśli y = arctan(x), to tan(y) = x.

Pochodną funkcji można znaleźć za pomocą reguły łańcuchowej. Jeśli masz funkcję złożoną, taką jak arctan(x), różniczkujesz funkcję zewnętrzną w odniesieniu do funkcji wewnętrznej, a następnie mnożysz przez pochodną funkcji wewnętrznej.

Pochodna wzoru Arctan x

Wzór na pochodną odwrotności tan x jest podany wzorem:

d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x ² )

Sprawdź także :

• Arctan – formuła, wykres, tożsamości, domena, zakres i często zadawane pytania
• Rachunek matematyczny
• Odwrotność Funkcja trygonometryczna

Dowód pochodnej Arctanu x

Pochodną odwrotności tan x można udowodnić w następujący sposób:

• Za pomocą Zasada łańcuchowa
• Za pomocą Ukryta metoda różnicowania
• Korzystanie z pierwszych zasad instrumentów pochodnych

Pochodna Arctan x według reguły łańcuchowej

Aby udowodnić pochodną Arctan x za pomocą reguły łańcuchowej, skorzystamy z podstawowego wzoru trygonometrycznego i odwrotnego wzoru trygonometrycznego:

• sek²y = 1 + opalenizna²I
• tan(arctan x) = x

Oto dowód pochodnej arctanu x:

Załóżmy, że y = arctan(x)

Opalając się po obu stronach otrzymujemy:

tan y = tan(arctan X)

tan y = x [as tan (arctan x) = x]

Teraz różniczkujmy obie strony względem x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

hashmapa w Javie

d/dx (tan y) = 1 [jako d/dx(x) = 1]

Stosując regułę łańcuchową do różniczkowania tan y względem x otrzymujemy

d/dx(tan y) = sek²y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/sek²I

dy/dx = 1/1 + tan²y [jak w ust²y = 1 + opalenizna²I]

Teraz wiemy, że tg y = x, podstawiając wartość w powyższym równaniu, które otrzymujemy

dy/dx = 1/1 + x²

Pochodna Arctan x metodą utajonego różnicowania

Pochodna arctanu x można udowodnić metodą utajonego różniczkowania. Będziemy używać podstawowych wzorów trygonometrycznych, które są wymienione poniżej:

• sek²x = ( 1 + tan²X )

• Jeśli y = arctan x ⇒ x = tan y i x²= tak²I

Zacznijmy dowód pochodnej arctanu x , załóżmy, że f(x) = y = arctan X

Metodą utajonego różnicowania

f(x) = y = arctan X

⇒ x = opalenizna y

Biorąc pochodną po obu stronach względem x

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tan y]

Mnożenie i dzielenie prawej strony przez dy

⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy

⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx

⇒ 1 = sek²y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+tan²y) [Jak w ust²x = ( 1 + tan²X )]

⇒ dy/dx = 1/( 1+tan²I )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x²) = f'(x)

Zatem f'(x) = 1/ ( 1+x²)

Pochodna Arctanu x z pierwszej zasady

Aby udowodnić pochodną arctanu x za pomocą pierwszej zasady pochodnej, skorzystamy z podstawowych granic i wzorów trygonometrycznych wymienionych poniżej:

• lim_{h → 0}Arktan x/x = 1

• arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

Zacznijmy dowód pochodnej arctanu x

mamy arctan(x) = y

Zastosuj otrzymaną definicję pochodnej

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

Sprawdź także

• Pochodna odwrotnych funkcji trygonometrycznych
• Wzory różniczkowe
• Odwrotne tożsamości trygonometryczne

Przykłady pochodnej Arctanu x

Przykład 1: Znajdź pochodną funkcji f(x) = arctan(3x).

Rozwiązanie:

Będziemy korzystać z reguły łańcuchowej, która stwierdza, że ​​jeśli g(x) jest różniczkowalne w x i f(x) = arctan (g(x)), to pochodną f'(x) wyrażamy wzorem:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

W tym przypadku g(x) = 3x, więc g'(X) = 3. Stosując wzór reguły łańcuchowej:

f'(x) = 3/(1+(3x)²)

f'(x) = 3/(1+9x²)

Przykład 2: Znajdź pochodną funkcji h(x) = tan ^-1 (x/2)

Rozwiązanie:

Będziemy korzystać z reguły łańcuchowej, zgodnie z którą f(x) = tan^-1(g(x)), to pochodną f'(x) wyrażamy wzorem:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

W tym przypadku g(x) = x/2, więc g'(X) = 1/2. Stosowanie wzoru reguły łańcuchowej:

ile milionów jest w miliardzie

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2)²)

f'(x) = (1/2)/(1+x²/4)

Upraszczając otrzymujemy,

f'(x) = 2/(4+x²)

Przykład 3: Znajdź pochodną f(x) = arctan (2x ² )

Rozwiązanie:

Będziemy korzystać z reguły łańcuchowej, która stwierdza, że ​​jeśli g(x) jest różniczkowalne w x i f(x) = arctan (g(x)), to pochodną f'(x) wyrażamy wzorem:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

W tym przypadku g(x) = 2x², więc g'(X) = 4x.

Stosowanie wzoru reguły łańcuchowej:

f'(x) = 4x/(1+(2x²)²)

f'(x) = 4x/(1+4x⁴)

f'(x) = d/dx(arctan (2x²)) = 4x/(1+4x⁴)

Ćwicz pytania dotyczące pochodnej Arctanu x

Pytanie 1: Znajdź pochodną funkcji f(x) = x ² arkana (2x)

Pytanie 2: Znajdź pochodną funkcji k(x) = arctan (X ³ +2x)

Pytanie 3: Znajdź pochodną funkcji p(x) = x arctan(x ² +1)

Pytanie 4: Znajdź pochodną funkcji f(x) = arctan (x)/1+x

Pytanie 5: Znajdź pochodną funkcji r(x) = arctan (4x)

Czytaj więcej,

• Pochodna w matematyce
• Pochodna tan odwrotności x
• Arctana

Pochodna Arctan x – często zadawane pytania

Co to jest pochodna w matematyce?

W matematyce pochodne mierzą, jak zmienia się funkcja wraz ze zmianą jej wejścia (zmiennej niezależnej). Pochodna funkcji f(x) jest oznaczana jako f'(x) lub (d /dx)[f(x)].

Co to jest pochodna tan ^-1 (X)?

Pochodna opalenizny^-1(x) względem x wynosi 1/1+x²

Jaka jest odwrotność tan x?

Arctan jest odwrotnością funkcji tan i jest jedną z odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Znana jest również jako funkcja arctan.

Co to jest zasada łańcucha w Arctan (X)?

Reguła łańcucha jest regułą różnicowania. Dla Arctana (u), reguła łańcuchowa stwierdza, że ​​jeśli f(x) = arctan(u), to f'(x) = (1/1+u²)× du/dx. Zastosowanie tego do arctan(x), gdzie u=x, daje 1/1+x²

Co to jest pochodna f(x) = x tan ^-1 (X)?

Pochodna f(x) = xtan^-1(x) można znaleźć za pomocą reguły iloczynu. Wynik to Więc ^-1 (x) + {x/(1 + x ² )} .

Co to jest antypochodna Arctan x?

Funkcja pierwotna arctan x jest dana przez ∫tan^-1x dx = x tan^-1x – ½ ln |1+x²| + C.

Co to jest instrument pochodny?

Pochodną funkcji definiuje się jako szybkość zmiany funkcji względem zmiennej niezależnej.