Wzory prawdopodobieństwa są ważnymi narzędziami matematycznymi używanymi do obliczania prawdopodobieństwa. Zanim poznamy wzory na prawdopodobieństwo, musimy w skrócie zrozumieć pojęcie prawdopodobieństwa. Możliwość wystąpienia zdarzenia losowego określa prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo to szansa na przewidywanie. Jego zastosowania obejmują różne dziedziny, w tym strategie gier, tworzenie prognoz opartych na prawdopodobieństwie w biznesie oraz rozwijającą się dziedzinę sztucznej inteligencji.

W tym artykule dowiemy się, co oznacza i definiuje wzór na prawdopodobieństwo oraz jak używać tych wzorów do obliczania prawdopodobieństwa. Widzimy także różne terminy związane z prawdopodobieństwem i różne formuły umożliwiające łatwe rozwiązywanie problemów matematycznych.

Spis treści

• Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo?
• Terminy związane ze wzorem prawdopodobieństwa
• Zdarzenia we wzorze prawdopodobieństwa
• Różne wzory na prawdopodobieństwo
• Przykłady dotyczące wzoru na prawdopodobieństwo

Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo?

Wzory prawdopodobieństwa służą do określania możliwości zdarzenia poprzez podzielenie liczby korzystnych wyników przez całkowitą liczbę możliwych wyników. Korzystając z tego wzoru, możemy oszacować prawdopodobieństwo związane z konkretnym zdarzeniem.

Matematycznie możemy zapisać tę formułę jako:

P(A) = Liczba korzystnych wyników / Całkowita liczba możliwych wyników

Formuła prawdopodobieństwa oblicza stosunek korzystnych wyników do całego zestawu możliwych wyników. Wartość prawdopodobieństwa mieści się w przedziale od 0 do 1, co oznacza, że ​​korzystne wyniki nie mogą przewyższyć sumy wyników, a ujemna wartość korzystnych wyników nie jest możliwa.

przykład drzewa wyszukiwania binarnego

Uczyć się,

• Prawdopodobieństwo w matematyce
• Teoria prawdopodobieństwa

Jak obliczyć prawdopodobieństwo?

Prawdopodobieństwo zdarzenia = (liczba korzystnych wyników) / (całkowita liczba możliwych wyników zdarzenia)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Tutaj P(A) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia A, gdzie n(E) to liczba korzystnych wyników, a n(S) to całkowita liczba możliwych wyników zdarzenia.

Rozważając zdarzenie uzupełniające, reprezentowane jako P(A’), które oznacza brak zdarzenia A. wówczas wzór będzie wyglądał następująco:

P(A’) = 1- P(A)

P(A’), jest przeciwieństwem zdarzenia A, wskazując, że zachodzi albo zdarzenie P(A), albo zachodzi jego uzupełnienie P(A’).

Dlatego teraz możemy powiedzieć; P(A) + P(A’) = 1

Uczyć się,

• Wydarzenia w prawdopodobieństwie
• Rodzaje zdarzeń w prawdopodobieństwie

Terminy związane ze wzorem prawdopodobieństwa

Do najpopularniejszych terminów związanych ze wzorem prawdopodobieństwa należą:

• Eksperyment: Eksperyment to działanie lub procedura przeprowadzona w celu uzyskania określonego wyniku.

• Przykładowa przestrzeń: Przestrzeń próbek obejmuje pełne potencjalne wyniki pochodzące z eksperymentu. Na przykład podczas rzucania monetą przestrzeń próbki zawiera {resztę, ogon}.

• Korzystny wynik: Wynik korzystny to wynik zgodny z zamierzonym lub oczekiwanym wnioskiem. W przypadku rzutu dwiema kostkami, przykładami korzystnych wyników dających sumę 4 są (1,3), (2,2) i (3,1).

• Test: Próba oznacza wykonanie losowego eksperymentu.

• Losowy eksperyment: A Losowy eksperyment charakteryzuje się dobrze zdefiniowanym zestawem możliwych wyników. Przykładem losowego eksperymentu jest rzut monetą, w wyniku którego może wypaść orzeł lub reszka. Oznacza to, że wynik byłby niepewny.

• Wydarzenie: Zdarzenie oznacza, że ​​całkowite wyniki pochodzą z losowego eksperymentu.

• Równie prawdopodobne zdarzenia: Równie prawdopodobne zdarzenia to zdarzenia, które mają identyczne prawdopodobieństwo wystąpienia. Wynik jednego zdarzenia nie ma wpływu na wynik innego.

• Wyczerpujące wydarzenia: Zdarzenie wyczerpujące ma miejsce, gdy zbiór wszystkich możliwych wyników obejmuje całą przestrzeń próbki.

• Zdarzeń wzajemnie wykluczających: Zdarzeń wzajemnie wykluczających to takie, które nie mogą wystąpić jednocześnie. Na przykład, gdy rzucimy monetą, wynikiem będzie reszka lub reszka, ale nie możemy uzyskać obu jednocześnie.

Zdarzenia we wzorze prawdopodobieństwa

W teorii prawdopodobieństwa zdarzenie reprezentuje zbiór możliwych wyników uzyskanych w wyniku eksperymentu. Często stanowi podzbiór ogólnej przestrzeni próbki. Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia E przedstawimy jako P(E), obowiązują następujące zasady:

Gdy zdarzenie E jest niemożliwe, wówczas P(E) = 0.

Gdy zdarzenie E jest pewne, wówczas P(E) = 1.

Prawdopodobieństwo P(E) mieści się w przedziale od 0 do 1.

Rozważmy dwa zdarzenia, A i B. Prawdopodobieństwo zdarzenia A, oznaczone jako P(A), które jest większe niż prawdopodobieństwo zdarzenia B, P(B).

Dla konkretnego zdarzenia E wzór na prawdopodobieństwo będzie wyglądał następująco:

P(E)= n(E)/ n(S)

Tutaj n(E) reprezentuje liczbę wyników korzystnych dla zdarzenia E.

n(S) oznacza całkowitą liczbę wyników w przestrzeni próbki.

Różne wzory na prawdopodobieństwo

Poniżej omówiono różne wzory na prawdopodobieństwo:

Klasyczny wzór na prawdopodobieństwo

P(A) = liczba korzystnych wyników/całkowita liczba możliwych wyników

Formuła reguły dodawania

Gdy mamy do czynienia ze zdarzeniem będącym sumą dwóch oddzielnych zdarzeń, na przykład A i B, prawdopodobieństwo tej sumy będzie wynosić:

P(A lub B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Wzór na wspólne prawdopodobieństwo

Reprezentuje wspólne elementy, które stanowią odrębne podzbiory obu zdarzeń A i B. Wzór można wyrazić jako:

P (A ∩ B) = P (A).P (B)

Zasada dodawania dla wzajemnie wykluczających się wydarzeń

Jeżeli zdarzenia A i B wykluczają się wzajemnie, to znaczy, że nie mogą wystąpić w tym samym czasie, prawdopodobieństwo wystąpienia któregokolwiek ze zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw.

P(A lub B)=P(A)+P(B)

Formuła reguły uzupełniającej

Jeżeli A jest zdarzeniem, to prawdopodobieństwo, że nie A wyraża się regułą uzupełniającą:

P(nie A) = 1 – P(A) lub P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

Niektóre oparte na nich wzory na prawdopodobieństwo są następujące:

P(A.A’) = 0

P(A.B) + P (A’.B’) = 1

P(A’B) = P(B) – P(A.B)

P(A.B’) = P(A) – P(A.B)

P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)

Formuła reguły warunkowej

W przypadku, gdy znane jest już wystąpienie zdarzenia A, wystąpi prawdopodobieństwo zdarzenia B, zwane prawdopodobieństwem warunkowym. Można to obliczyć korzystając ze wzoru:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Prawdopodobieństwo (warunkowe) zdarzenia B, gdy zaszło zdarzenie A.

P (A/B): Prawdopodobieństwo (warunkowe) zdarzenia A, gdy wystąpiło zdarzenie B.

Wzór na częstotliwość względną

Wzór na częstotliwość względną opiera się na częstotliwościach obserwowanych w rzeczywistych danych. Formuła ta jest podana jako

P(A) = liczba wystąpień zdarzenia A/całkowita liczba prób lub obserwacji

Wzór na prawdopodobieństwo z regułą mnożenia

W sytuacjach, gdy zdarzenie oznacza równoczesne wystąpienie dwóch innych zdarzeń, oznaczonych jako zdarzenia A i B, prawdopodobieństwa wystąpienia obu zdarzeń jednocześnie można obliczyć, korzystając z poniższych wzorów:

P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (w przypadku zdarzeń niezależnych)

P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (w przypadku zdarzeń zależnych)

Rozłączne wydarzenie

Zdarzenia rozłączne to zdarzenia, które nigdy nie występują w tym samym czasie. Są one również znane jako wydarzenia wzajemnie się wykluczające.

P(A∩B) = 0

Twierdzenie Bayesa

Twierdzenie Bayesa oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia A przy założeniu wystąpienia zdarzenia B. Wzór na twierdzenie Baye'a jest podany jako

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Uczyć się, Twierdzenie Bayesa

Wzór na prawdopodobieństwo zależne

Prawdopodobieństwo zależne to zdarzenia, na które wpływa wystąpienie innych zdarzeń. Wzór na prawdopodobieństwo zależne brzmi:

P(B i A) = P(A)×P(B | A)

Niezależny wzór na prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo niezależne to zdarzenia, na które nie ma wpływu wystąpienie innych zdarzeń. Wzór na prawdopodobieństwo niezależne to:

P(A i B) = P(A)×P(B)

Wzór na prawdopodobieństwo dwumianowe

Wzór na prawdopodobieństwo dwumianu jest podany jako

P(x) = ^N C _X · P ^X (1 - p) ^n-x lub P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p ^R (1 - p) ^nr-r

Gdzie, n = Całkowita liczba zdarzeń

r lub x = Całkowita liczba pomyślnych zdarzeń.

p = Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie.

^NC_R= [n!/r!(n−r)]!

1 – p = Prawdopodobieństwo awarii.

Uczyć się, Rozkład dwumianowy

Normalny wzór na prawdopodobieństwo

Wzór na prawdopodobieństwo normalne jest określony wzorem:

P(x) = (1/√2П) mi ^{(-x^2/2)}

Uczyć się, Normalna dystrybucja

Eksperymentalny wzór na prawdopodobieństwo

Wzór na prawdopodobieństwo eksperymentalne to;

Prawdopodobieństwo P(x) = liczba wystąpień zdarzenia / całkowita liczba prób.

Teoretyczny wzór na prawdopodobieństwo

Wzór na prawdopodobieństwo teoretyczne to:

P(x) = liczba korzystnych wyników/liczba możliwych wyników.

Wzór na prawdopodobieństwo odchylenia standardowego

Standardowy wzór na prawdopodobieństwo odchylenia podano jako

P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}

Wzór na prawdopodobieństwo Bernoulliego

Zmienna losowa X będzie miała rozkład Bernoulliego z prawdopodobieństwem p, wzór jest następujący:

P(X = x) = p ^X (1 – p) ^1-x , dla x = 0, 1 i P(X = x) = 0 dla innych wartości x

Tutaj 0 oznacza porażkę, a 1 sukces.

Uczyć się, Rozkład Bernoulliego

Klasa formuły prawdopodobieństwa 10

W klasie 10 musimy zbadać podstawowe prawdopodobieństwo, takie jak prawdopodobieństwo rzucenia monetą, rzucenia 2 monetami, rzucenia 3 monetami, rzucenia kostką, rzucenia dwiema kostkami, prawdopodobieństwo wyciągnięcia karty z dobrze potasowanej talii. Wszystkie te pytania można rozwiązać za pomocą tylko jednej formuły. Formuła prawdopodobieństwa klasy 10 jest podana jako

P(E) = n(E)/n(s)

Gdzie,

P(E) to prawdopodobieństwo zdarzenia

połącz bazę danych Java

n(E) to liczba prób, w których wystąpiło zdarzenie

n(S) to liczba przestrzeni próbnej

Wzór na prawdopodobieństwo dla klasy 12

Różne wzory stosowane w klasie prawdopodobieństwa 12 przedstawiono w poniższej tabeli:

Sprawdź także

• Prawdopodobieństwo rzutu monetą
• Prawdopodobieństwo karty
• Formuły statystyczne

Przykłady dotyczące wzoru na prawdopodobieństwo

Przykład 1: Wybierz losowo kartę ze standardowej talii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kartę z kobiecą twarzą?

Rozwiązanie:

W standardowej talii zawierającej 52 karty: Łączna liczba możliwych wyników = 52

Liczba sprzyjających wydarzeń (biorąc pod uwagę tylko królowe jako twarze kobiece) = 4

Dlatego prawdopodobieństwo P(A) oblicza się ze wzoru:

P(A) = liczba korzystnych wyników ÷ całkowita liczba wyników

= 4/52

= 1/13.

Przykład 2: Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia E, oznaczone jako P(E) = 0,35, jakie jest prawdopodobieństwo, że zdarzenie dopełniające nie będzie E?

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, że P(E)=0,35, możemy zastosować uzupełniający wzór na prawdopodobieństwo:

P(E) + P(nie E) = 1

Zastępując znaną wartość:

P(nie E) = 1 – P(E)

P(nie E) = 1 – 0,35

Stąd P (nie E) = 0,65

Przykład 3: Niebezpieczne pożary występują bardzo rzadko, około 1%, ale dym jest dość powszechny w około 20% z powodu grillowania. Znajdź niebezpieczny pożar, gdy 80% niebezpiecznych pożarów wytwarza dym.

Rozwiązanie:

Prawdopodobieństwo niebezpiecznego pożaru, gdy występuje dym, korzystając z twierdzenia Bayesa:

P(Ogień|Dym) = {P(Ogień)P(Dym Ogień)}/P(Dym)

P(Fire)=0,01(1%) i P(Smoke|Fire)= 0,80 (80%), możemy podstawić te wartości:

P(Ogień | Dym)=( 0,02×0,90)/ 0,30

(Ogień | Dym) = 0,018/0,30

(Ogień | Dym) = 0,06 = 6%.

Przykład 4: W torbie znajdują się 2 żarówki zielone, 4 żarówki pomarańczowe i 6 cebul białych. Kiedy z worka zostanie losowo wybrana żarówka, jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierzemy albo zieloną, albo białą żarówkę?

Rozwiązanie:

Całkowita liczba żarówek w opakowaniu to 2 zielone + 4 pomarańczowe + 6 białych = 12 żarówek

Liczba cebul zielonych = 2 i liczba cebul białych = 6

Prawdopodobieństwo = (liczba zielonych cebul + liczba białych cebul) / całkowita liczba cebul

Prawdopodobieństwo = (2+6)/12

Prawdopodobieństwo = 8/12

Prawdopodobieństwo = 2/3.

Ćwicz pytania dotyczące wzoru na prawdopodobieństwo

Pytanie 1. Z kolekcji kulek znajdujących się w worku — 8 czerwonych, 9 niebieskich i 6 zielonych — wybierane są losowo dwie kulki bez wymiany. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wybrane kule są niebieskie?

Pytanie 2. Z szuflady zawierającej 6 czarnych długopisów, 4 niebieskie długopisy i 7 czerwonych długopisów losujemy jeden długopis. Jakie jest prawdopodobieństwo, że długopis jest czarny lub niebieski?

Pytanie 3. Dobierając jedną kartę z dokładnie przetasowanej talii 52 kart, określ prawdopodobieństwo, że dana karta:

• Bądź królem.
• Nie być królem.

Pytanie 4. Według ankiety 70% osób lubi czekoladę, a wśród miłośników czekolady 60% lubi także wanilię. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dana osoba lubi wanilię, biorąc pod uwagę jej zamiłowanie do czekolady?

Pytanie 5. Określ prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby nieparzystej przy rzucie sześciościenną kostką.

Wzór na prawdopodobieństwo – często zadawane pytania

1. Jakie jest znaczenie prawdopodobieństwa?

Możliwość wystąpienia zdarzenia losowego określa prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo to szansa na przewidywanie.

2. Jakie jest znaczenie wzoru na prawdopodobieństwo?

Wzory prawdopodobieństwa służą do określania możliwości zdarzenia poprzez podzielenie liczby korzystnych wyników przez całkowitą liczbę możliwych wyników. Wartość prawdopodobieństwa mieści się w przedziale od 0 do 1, co oznacza, że ​​korzystne wyniki nie mogą przewyższyć sumy wyników, a ujemna wartość korzystnych wyników nie jest możliwa.

3. Jakie jest znaczenie zapisów U i ∩ w prawdopodobieństwie?

Symbol U w prawdopodobieństwie oznacza rozkład równomierny. Natomiast symbol ∩ oznacza przecięcie zbiorów. Mówiąc prościej, przecięcie dwóch zbiorów jest zbiorem najbardziej rozbudowanym, obejmującym wszystkie elementy wspólne obu zbiorów.

4. Jaki jest konwencjonalny wzór na obliczenie prawdopodobieństwa?

Prawdopodobieństwo zdarzenia = (liczba korzystnych wyników) / (całkowita liczba możliwych wyników zdarzenia)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Tutaj P(A) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia A, gdzie n(E) to liczba korzystnych wyników, a n(S) to całkowita liczba możliwych wyników zdarzenia.

5. Co to jest formuła uzupełniająca?

Jeżeli A jest zdarzeniem, to prawdopodobieństwo, że nie A wyraża się regułą uzupełniającą:

P(nie A) = 1 – P(A) lub P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

6. Co to jest wydarzenie rozłączne?

Zdarzenia rozłączne to zdarzenia, które nigdy nie występują w tym samym czasie. Są one również znane jako wydarzenia wzajemnie się wykluczające.

Struktury danych w Javie

P(A∩B) = 0.

7. Co to jest twierdzenie Bayesa?

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Twierdzenie Bayesa oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia A przy założeniu wystąpienia zdarzenia B.

8. Co to jest formuła warunkowa?

W przypadku, gdy znane jest już wystąpienie zdarzenia A, wystąpi prawdopodobieństwo zdarzenia B, zwane prawdopodobieństwem warunkowym. Można to obliczyć korzystając ze wzoru:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Prawdopodobieństwo (warunkowe) zdarzenia B, gdy zaszło zdarzenie A.

P (A/B): Prawdopodobieństwo (warunkowe) zdarzenia A, gdy wystąpiło zdarzenie B.

9. Jakie są przykłady prawdopodobieństwa z życia wzięte?

Przewidywanie pogody, gry karciane, głosowanie polityczne, gry w kości, rzucanie monetą itp. to tylko niektóre przykłady prawdopodobieństwa