Formuła rekurencyjna: Rekurencja można zdefiniować za pomocą dwóch właściwości. Przypadek podstawowy i krok rekurencji. Przypadek podstawowy to scenariusz kończący, który nie używa rekurencji do uzyskania wyników. Krok rekurencji składa się z zestawu reguł, które redukują kolejne przypadki w celu przekazania przypadku podstawowego.

Rekurencja lub formuła rekurencyjna to formuła używana do poinformowania nas o następnym kroku w dowolnej serii rekurencji. W serii rekurencyjnej każdy kolejny wyraz jest zależny od poprzedniego lub dwóch wyrazów. W tym artykule dowiemy się szczegółowo o formułach rekurencyjnych lub formułach rekurencyjnych, przykładach i innych.

Spis treści

• Co to jest funkcja rekurencyjna?
• Formuła rekurencyjna
• Formuły rekurencyjne dla sekwencji
• Wzór rekurencyjny na postęp arytmetyczny
• Wzór rekurencyjny na postęp geometryczny
• Wzór rekurencyjny na szereg Fibonacciego
• Przydatna sekwencja i formuły
• Przykłady użycia formuły rekurencyjnej
• Ćwicz pytanie dotyczące formuły rekurencyjnej

Co to jest funkcja rekurencyjna?

Funkcja rekurencyjna to funkcja, która definiuje każdy wyraz sekwencji przy użyciu poprzedniego terminu, tj. Następny wyraz jest zależny od jednego lub większej liczby znanych poprzednich terminów. Funkcję rekurencyjną h(x) zapisuje się jako:

h(x) = a ₀ h(0) + a ₁ h(1) + a ₂ h(2) + … + a _{x – 1} h(x – 1)

gdzie_I≥ 0 i i = 0, 1, 2, 3, … ,(x – 1)

Formuły rekurencyjne to formuły używane do zapisywania funkcji rekurencyjnych lub szeregów rekurencyjnych.

Znaczenie funkcji rekurencyjnej

W matematyce funkcja rekurencyjna odnosi się do funkcji, która definiuje każdy wyraz sekwencji przy użyciu poprzedniego terminu lub terminów. Mówiąc prościej, jest to sposób zdefiniowania sekwencji, w której każdy krok opiera się na poprzednim.

Przeczytaj szczegółowo: Funkcje rekurencyjne

Formuła rekurencyjna

Formuła rekurencyjna to formuła, która definiuje każdy termin sekwencji za pomocą poprzednich/poprzednich terminów. Definiuje następujące parametry

• Pierwszy wyraz ciągu
• Reguła wzorca pozwalająca uzyskać dowolny termin z jego poprzednich terminów

Istnieje kilka formuł rekurencyjnych pozwalających znaleźć n^ttermin w oparciu o wzór podanych danych. Oni są,

• N^ttermin postępu arytmetycznego a_N= za_{n – 1}+ d dla n ≥ 2
• N^tpojęcie postępu geometrycznego a_N= za_{n – 1}× r dla n ≥ 2
• N^twyraz w ciągu Fibonacciego a_N= za_{n – 1}+ za_{n – 2}dla n ≥ 2 i a₀= 0 i a₁= 1

Gdzie

• d jest wspólną różnicą
• r jest wspólnym stosunkiem

Formuły rekurencyjne dla sekwencji

Sekwencje rekurencyjne to sekwencje, w których kolejny wyraz sekwencji jest zależny od poprzedniego. Jedną z najważniejszych sekwencji rekurencyjnych jest ciąg Fibonnaciego, który poniżej przedstawiono jako:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Formuły rekursywne lub formuły rekurencyjne dla różnych rodzajów sekwencji to:

Wzór rekurencyjny na postęp arytmetyczny

Dla Postęp arytmetyczny Następnie^ttermin podaje się za pomocą wzoru rekurencyjnego jako,

A _N = za _(n-1) + d dla n ≥ 2

Gdzie,

co to jest prolog

• A_Njest n-tym wyrazem A.P.
• d jest wspólną różnicą

Wzór rekurencyjny na postęp geometryczny

Dla Postęp geometryczny Następnie^ttermin podaje się za pomocą wzoru rekurencyjnego jako,

A _N = {a _(n-1) } r dla n ≥ 2

Gdzie,

• A_Njest n^tkadencja lekarza rodzinnego
• r jest wspólnym stosunkiem

Wzór rekurencyjny na szereg Fibonacciego

Dla Ciąg Fibonacciego Następnie^ttermin podaje się za pomocą wzoru rekurencyjnego jako,

A _N = za _(n-1) + za _(n-1) dla n ≥ 2

Gdzie,

• A₀= 1
• A₁= 1
• A_Njest n^twyraz ciągu Fibonacciego

Przydatna sekwencja i formuły

Niektóre przydatne ciągi i wzory na n^ttermin dodano w poniższej tabeli.

Artykuły związane z formułą rekurencyjną:

• Złoty podział
• Postęp harmoniczny
• Seria geometryczna
• Seria arytmetyczna

Przykłady użycia formuły rekurencyjnej

Przykład 1: Biorąc pod uwagę serię liczb z brakującą liczbą w środku 1, 11, 21, ?, 41. Korzystając ze wzoru rekurencyjnego, znajdź brakujący człon.

Rozwiązanie:

Dany,

1, 11, 21, …, 41

Pierwszy wyraz (a) = 1

d = T₂- T₁= T₃- T₂

d = 11 – 1 = 21 – 11 = 10

Funkcja rekurencyjna w AP a_N= za_n-1+ re

A₄= za_4-1+ re

A₄= za₃+ re

A₄= 21 + 10

A₄= 31

Przykład 2: Podany ciąg liczb 5, 9, 13, 17, 21,… Z podanego szeregu znajdź wzór rekurencyjny

Rozwiązanie:

Dany szereg liczbowy

5, 9, 13, 17, 21,…

Pierwszy wyraz (a) = 5

d = T₂- T₁= T₃- T₂

d = 9 – 5 = 13 – 9 = 4

Wzór rekurencyjny na AP a_N= za_n-1+ re

A _N = za _n-1 + 4

Przykład 3: Biorąc pod uwagę serię liczb z brakującą liczbą w środku 1, 3, 9,…, 81, 243. Korzystając ze wzoru rekurencyjnego, znajdź brakujący człon.

Rozwiązanie:

ramy wiosenne

Dany,

1, 3, 9,…, 81, 243

Pierwszy wyraz (a) = 1

A₂/A₁= 3/1 = 3

A₃/A₂= 9/3 = 3

A₅/A₄= 243/81 = 3

Wspólny współczynnik (r) = 3

Funkcja rekurencyjna do znalezienia n^ttermin w GP A _N = za _n-1 × r

A₄= za_4-1× r

A₄= za₃× r

A₄= 9 × 3

A ₄ = 27

Przykład 4: Podany ciąg liczb 2, 4, 8, 16, 32, … Z podanego szeregu znajdź wzór rekurencyjny.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę szereg liczbowy,

2, 4, 8, 16, 32, …

Pierwszy wyraz (a) = 2

A₂/A₁= 4/2 = 2

A₃/A₂= 8/4 = 2

A₄/A₃= 16/8 = 2

Wspólny współczynnik (r) = 2

co oznacza Google

Formuła rekurencyjna a_N= za_n-1× r

A _N = za _n-1 ×2

Przykład 5: Znajdź 5 ^t wyraz w ciągu Fibonacciego, jeśli 3 ^{r & D} i 4 ^t wyrazy wynoszą odpowiednio 2,3.

Rozwiązanie:

Dany,

• A₃= 2
• A₄= 4

Następnie w ciągu Fibonnaciego a₅= za₃+ za₄

A₅= 23

A ₅ = 5

Ćwicz pytanie dotyczące formuły rekurencyjnej

Pytanie 1: Znajdź wzór rekurencyjny dla sekwencji 3,7, 11, 15….

Pytanie 2: Znajdź środkowy wyraz ciągu 4, 9, 14, …. 39, 44

Pytanie 3: Znajdź wzór rekurencyjny dla sekwencji 44, 40, 36, …..

Pytanie 4: Znajdź środkowy wyraz ciągu 6, 9, 12, …. 33

Podsumowanie – Formuła rekurencyjna

Formuła rekurencyjna w matematyce jest jak zestaw instrukcji, które mówią, jak znaleźć następny wyraz w sekwencji w oparciu o poprzednie wyrazy. To jak wzór, w którym każdy krok zależy od poprzedniego. Na przykład w ciągu Fibonacciego każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich wyrazów. Formuły rekurencyjne są przydatne do znajdowania ciągów, w których każdy termin opiera się na wyrazach poprzedzających. Są jak przepis na znalezienie kolejnego numeru w kolejce

Często zadawane pytania dotyczące formuły rekurencyjnej

Co to jest formuła rekurencyjna w matematyce?

Formuła rekursywna, zwana także formułą rekurencji, to formuła, która podaje następny wyraz dowolnej sekwencji w zależności od poprzednich wyrazów sekwencji.

Jaka jest reguła rekurencyjna dla ciągu Fibonacciego?

Wzór rekurencyjny ciągu Fibonacciego to F_N= F_(n-1)+ F_(n-2), gdzie n> 1.

Jaka jest różnica między formułami rekurencyjnymi i jawnymi?

Formuła rekurencyjna to formuła używana do znalezienia n-tego wyrazu serii, gdy podane są poprzednie wyrazy sekwencji, gdzie jako formuły jawne podają n-ty wyraz sekwencji i nie jest ona zależna od poprzednich wyrazów sekwencji.

Jaki jest wzór rekurencyjny na 9, 15, 21, 27?

Wzór rekurencyjny dla sekwencji 9, 15, 21 i 27 to: A _N = za _n-1 + 6.

Jakie są niektóre formuły rekurencji?

Niektóre słynne formuły rekusji to:

• Wzór rekurencyjny ciągu arytmetycznego to: a_N= za_n-1+ re
• Wzór rekurencyjny ciągu geometrycznego to: a_N= (a_n-1)R