Symbole zbiorów to zbiorczy termin używany do określenia wszystkich symboli używanych w teorii mnogości, która jest gałęzią matematyki zajmującą się zbiorem obiektów i ich różnymi właściwościami. Zbiór to dobrze zdefiniowana kolekcja obiektów, gdzie każdy obiekt w kolekcji nazywany jest elementem, a każdy element zbioru podlega bardzo określonej zasadzie. Ogólnie rzecz biorąc, wielka litera alfabetu angielskiego jest używana do oznaczania zbiorów, a niektóre litery oznaczają pewne konkretne zbiory w teorii mnogości.
Istnieje wiele symboli używanych w badaniach tej gałęzi matematyki, niektóre z typowych symboli to {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø itd. Wszystkie te symbole omówimy szczegółowo w artykule łącznie z historią tych symboli. Rozpocznijmy więc naszą podróż polegającą na poznawaniu różnych symboli zbiorów używanych w teorii mnogości.
Spis treści
- Czym są symbole zestawów?
- Historia ustalonych symboli
- Podstawowe pojęcia dotyczące symboli zbiorowych
- Ustawianie symboli w matematyce
- Zestaw symboli teorii
- Rozwiązane przykłady dotyczące zestawów symboli
- Przećwicz pytanie dotyczące zestawu symboli
- Często zadawane pytania
Czym są symbole zestawów?
Symbole zestawów to podstawowe elementy matematyki używane do reprezentowania i opisywania grup obiektów, liczb lub elementów o podobnych właściwościach. Symbole te oferują jasne i spójne podejście do przekazywania trudnych pomysłów na temat zbiorów i ich interakcji. Najbardziej typowym symbolem zbioru jest ∈, który oznacza przynależność i wymawia się go jako należący do. ∈ wskazuje, że element jest częścią określonego zbioru.
Natomiast ∉ oznacza, że element nie stanowi części zbioru. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅ itd. to tylko niektóre z typowych przykładów symboli w teorii mnogości. Te i inne symbole umożliwiają matematykom definiowanie operacji, określanie operacji i formułowanie dokładnych twierdzeń matematycznych, kładąc podwaliny pod różnorodne specjalizacje matematyczne i praktyczne zastosowania.
Przeczytaj więcej o Teoria zbiorów .
Przykład zestawu symboli
Jako ilustrację użyjmy symbolu oznaczającego przecięcie zbiorów. Niech E i F będą dwoma zbiorami takimi, że zbiór E = {1, 3, 5, 7} i zbiór F = {3, 6, 9}. Wtedy symbol ∩ reprezentuje punkt przecięcia obu zbiorów, tj. E ∩ F.
Tutaj E ∩ F zawiera wszystkie elementy, które są wspólne w obu zbiorach E i F, tj. {3}.
Podsumowując, symbol ∩ służy do identyfikacji elementów wspólnych dla dwóch lub więcej zbiorów. Przecięcie tworzy tylko zbiory, których elementy są wspólne dla wszystkich przecinanych zbiorów.
Dowiedz się więcej o Przecięcie zbiorów .
Historia ustalonych symboli
W latach 1874-1897 zadzwonił niemiecki matematyk Georg Ferdynand Ludwig Philipp Kantor opracował abstrakcyjną teorię zwaną teorią mnogości. Zaproponował to, badając pewne faktyczne problemy dotyczące określonych form nieskończonych zbiorów liczb rzeczywistych. Zbiór, zgodnie z tym pojęciem, to grupa pewnych, określonych i odrębnych obiektów obserwacji. Wszystkie te rzeczy nazywane są elementami lub składnikami zbioru. Własność rzeczywistych kombinacji liczb algebraicznych jest podstawą teorii Cantora.
Podstawowe pojęcia dotyczące symboli zbiorowych
Różne koncepcje są omawiane na różnych poziomach nauczania w teorii mnogości. Reprezentacja zbiorów, typy zbiorów, operacje na zbiorach (takie jak suma i przecięcie), liczność zbiorów i relacje itd. należą do podstawowych pojęć. Niektóre z podstawowych pojęć teorii mnogości są następujące:
Uniwersalny zestaw
Wielka litera „U” jest powszechnie używana do oznaczania zestawu uniwersalnego. Czasami jest również symbolizowany przez ε (epsilon). Jest to zbiór zawierający wszystkie elementy innych zestawów oraz własny.
Uzupełnienie zestawu
Dopełnieniem zbioru są wszystkie składniki zbioru uniwersalnego z wyjątkiem elementów badanego zbioru. Jeśli A jest zbiorem, to jego uzupełnienia będą zawierać wszystkie elementy określonego zbioru uniwersalnego (U), które nie są zawarte w A. Dopełnienie zbioru oznacza się lub wyraża jako A’ lub ACi jest zdefiniowany jako:
A’= {x ∈ U: x ≠ A}
Przeczytaj więcej o Uzupełnienie zestawu .
Ustaw notację konstruktora
Notacja konstruktora zestawów to metoda reprezentowania zbiorów w taki sposób, że tam, gdzie nie musimy wymieniać wszystkich elementów zbioru, wystarczy określić regułę, po której następują wszystkie elementy zbioru. Oto kilka przykładów tych zapisów:
Jeśli A jest zbiorem liczb rzeczywistych.
ZA = {x: x ∈ R}
Jeśli A jest zbiorem liczb naturalnych.
A = {x: x> 0 i x ∈ Z]
Gdzie Z jest zbiorem liczb całkowitych.
Czytaj więcej, Reprezentacja zbiorów .
Ustawianie symboli w matematyce
Aby odnieść się do różnych rzeczy i kwot, symbol zestawu często wykorzystuje predefiniowaną listę symboli zmiennych. Aby czytać i tworzyć zapis zbiorowy, musisz najpierw zrozumieć, jak używać symboli w różnych sytuacjach. Przyjrzyjmy się wszystkim zapisom i symbolom teorii mnogości odnoszącym się do operacji, relacji itd., wraz z ich znaczeniami i przykładami, w ramach tej kategorii.
Symbole używane w systemie liczbowym
Symbole stosowane w systemach liczbowych przedstawiono w poniższej tabeli:
| Symbol | Nazwa | Znaczenie/definicja | Przykład |
|---|---|---|---|
| W lub 𝕎 | Wszystkie liczby | To są liczby naturalne. | Wiemy, że N = {1, 2, 3, . . . } 1 ∈ N |
| N lub ℕ | Liczby naturalne | Liczby naturalne są czasami nazywane liczbami liczącymi zaczynającymi się od 1. | Wiemy, że W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z lub ℤ | Liczby całkowite | Liczby całkowite są porównywalne z liczbami całkowitymi, z tą różnicą, że zawierają również wartości ujemne. | Wiemy, że Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .} -6 ∈ Z |
| Q lub ℚ | Liczby wymierne | Liczby wymierne to te, które są określone jako a/b. W tym przypadku aib są liczbami całkowitymi, gdzie b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z i b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| P lub ℙ | Liczby niewymierne | Liczby, których nie można przedstawić w postaci a/b, nazywane są liczbami niewymiernymi, czyli wszystkimi liczbami rzeczywistymi, które nie są wymierne. algorytm dla bfs | P = x π i ∈ P |
| R lub ℝ | Liczby rzeczywiste | Liczby całkowite, liczby wymierne i liczby niewymierne tworzą liczby rzeczywiste. | R=x 6,343434 ∈ R |
| C lub ℂ | Liczby zespolone | Liczba zespolona jest kombinacją liczby rzeczywistej i liczby urojonej. | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6 + 2 I ∈ C |
Zestaw symboli teorii
Ograniczniki to znaki specjalne lub sekwencje znaków wskazujące początek lub koniec określonej instrukcji lub treści funkcji określonego zestawu. Poniżej znajdują się symbole i znaczenia teorii zbiorów ograniczników:
| Symbol | Nazwa | Znaczenie/definicja | Przykład |
|---|---|---|---|
| {} | Ustawić | W tych nawiasach znajduje się zbiór elementów/cyfr/alfabetów w zestawie. | {15, 22, c, d} |
| | | Takie | Służą one do konstruowania zestawu poprzez określenie, co się w nim zawiera. | q> 6 Instrukcja określa zbiór wszystkich q takich, że q jest większe niż 6. |
| : | Takie | Symbol : jest czasami używany zamiast | symbol. | Powyższe zdanie można alternatywnie zapisać jako q. |
Zbiory i symbole relacyjne w teorii zbiorów
Symbole teorii mnogości służą do identyfikacji konkretnego zbioru, a także do określenia/pokazania relacji między odrębnymi zbiorami lub relacji wewnątrz zbioru, takich jak relacja między zbiorem a jego składnikiem. Poniższa tabela przedstawia takie symbole relacji, wraz z ich znaczeniami i przykładami:
| Symbol | Nazwa | Znaczenie/definicja | Przykład |
|---|---|---|---|
| a ∈ A | Jest składnikiem | Określa, że element jest członkiem określonego zestawu. | Jeśli zbiór A={12, 17, 18, 27} możemy powiedzieć, że 27 ∈ a. |
| b ∉ B | Nie jest składnikiem | Oznacza to, że element nie należy do określonego zbioru. | Jeśli zbiór B={c, d, g, h, 32, 54, 59} to każdy element inny niż ten w zbiorze nie należy do tego zbioru. Na przykład 18 ∉ B. |
| A = B | Relacja równości | Dostarczone zestawy są równoważne w tym sensie, że mają te same elementy. | Jeśli umieścisz P={16, 22, a} i Q={16, 22, a}, to P=Q. |
| A ⊆ B | Podzbiór | Jeżeli wszystkie elementy A są obecne w B, A jest podzbiorem B. | A= {31, b} i B={a, b, 31, 54} {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| A ⊂ B | Właściwy podzbiór | Mówi się, że P jest podzbiorem właściwym B, gdy jest podzbiorem B i nie jest równy B. | A= {24, c} i B={a, c, 24, 50} A ⊂ B |
| A ⊄ B | Nie podzbiór | W rezultacie zbiór A nie jest podzbiorem zbioru B. | A = {67,52} i B = {42,34,12} A ⊄ B |
| A ⊇ B | Nadzbiór | A jest nadzbiórem B, jeśli zbiór B jest podzbiorem A. Zbiór A może być taki sam lub większy od zbioru B. | A = {14, 18, 26} i B = {14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| A ⊃ B | Właściwy superset | Zbiór A ma więcej elementów niż zbiór B, ponieważ jest nadzbiorem B. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| A ⊅ B | Nie superset | Jeżeli w A nie występują wszystkie elementy zbioru B, wówczas zbiór A nie jest prawdziwym nadzbiorem zbioru B. | A = {11, 12, 16} i B ={11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| Ø | Pusty zestaw | Zbiór pusty lub zerowy to taki, który nie zawiera żadnych elementów. | {22, y} ∩ {33, a} = Ø |
| W | Uniwersalny zestaw | Zbiór zawierający elementy ze wszystkich odpowiednich zbiorów, łącznie z jego własnym. | Jeśli A = {a,b,c} i B = {1,2,3,b,c}, to U = {1,2,3,a,b,c} |
| |A| lub n{A} | Liczność zbioru | Liczność odnosi się do liczby elementów w określonej kolekcji. | Jeśli A= {17, 31, 45, 59, 62}, to |A|=5. |
| P(X) | Zestaw zasilający | Zbiór potęgowy to zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X, włączając sam zbiór i zbiór zerowy. | Jeśli, X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Symbole operatorowe w teorii zbiorów
Na przykładach przestudiujemy symbole i znaczenia teorii mnogości dla licznych operacji, takich jak suma, dopełnienie, przecięcie, różnica i inne.
| Symbol | Nazwa | Znaczenie/definicja | Przykład |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | Związek zbiorów | Połączenie zestawów tworzy zupełnie nowy zestaw poprzez połączenie wszystkich elementów dostarczonych zestawów. | ZA = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} A ∪ B (A związek B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| A ∩ B | Przecięcie zbiorów | Wspólny składnik obu zbiorów jest zawarty w przecięciu. | A = { 4, 8, a, b} i B = {3, 8, c, b}, wówczas ciągi Javy ZA ∩ B = {8, b} |
| XCLUBX' | Uzupełnienie zestawu | Dopełnieniem zbioru są wszystkie rzeczy, które nie należą do podanego zbioru. | Jeśli A jest zbiorem uniwersalnym i A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} i B = {13, 15, 17, 18, 19} to X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A-B | Ustaw różnicę | Zbiór różnicowy to zbiór zawierający elementy z jednego zestawu, których nie można znaleźć w innym. | A = {12, 13, 15, 19} i B = {13, 14, 15, 16, 17} A – B = {12, 19} |
| A × B | Iloczyn kartezjański zbiorów | Iloczyn kartezjański to iloczyn uporządkowanych składników zbiorów. | A = {4, 5, 6} i B = {r} Teraz A × B ={(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A ∆ B | Symetryczna różnica zbiorów | A Δ B = (A – B) U (B – A) oznacza różnicę symetryczną. | A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31} ZA ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
Czytaj więcej
- Rodzaje zestawów
- Operacja na zbiorach
Rozwiązane przykłady dotyczące zestawów symboli
Przykład 1: Biorąc pod uwagę dwa zbiory z P={21, 32, 43, 54, 65, 75} i Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}, jaka jest wartość P∪Q?
Odpowiedź:
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} i Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
Przykład 2: Jaka jest wartość |Y| jeśli Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?
Odpowiedź:
|T| = Rozwiązaniem jest liczność zbioru=liczba elementów w zbiorze.
|T| = n(Y)=6, ponieważ zbiór Y ma 6 elementów.
Przykład 3: Mając dwa zbiory o wartościach P={a,c,e} i Q={4,3}, określ ich iloczyn kartezjański.
Odpowiedź:
Iloczyn kartezjański = P × Q
Jeśli P={b, d, f} i Q={5, 6}
Wtedy P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}
Przykład 4: Załóżmy, że P = {x: x jest liczbą naturalną i wielokrotnością 24, a Q = {x: x jest liczbą naturalną mniejszą niż 8}. Wyznacz P ∪ Q.
Odpowiedź:
Jeśli się uwzględni
P. = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
struktury danych javaQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
W rezultacie P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
Przykład 5: Załóżmy, że P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Znajdź (P ∩ Q)’.
Odpowiedź:
Biorąc pod uwagę, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
Dlatego,
(P ∩ Q)’ = {3, 5, 6, 7, 8}
Przykład 6: Jeśli P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} i Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, określ
(i) P-Q i (ii) P-Q.
Odpowiedź:
Dany,
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} i Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Ćwicz pytania dotyczące zestawów symboli
Pytanie 1: Biorąc pod uwagę zestawy:
- ZA = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Wyznacz elementy sumy zbiorów A i B.
Pytanie 2: Rozważmy zestawy:
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- Y = {3, 4, 5, 6, 7}
Znajdź przecięcie zbiorów X i Y.
Pytanie 3: Załóżmy, że masz zestawy:
- P. = {a, b, do, d}
- Q = {c, d, e, f}
Oblicz elementy zbioru P – Q oraz Q – P.
Pytanie 4: Załóżmy, że masz zestawy:
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
Sprawdź, czy zbiór V jest podzbiorem zbioru U.
Pytanie 5: Rozważ zestawy:
- S = {jabłko, banan, pomarańcza, gruszka}
- T = {gruszka, mango, wiśnia}
Znajdź iloczyn kartezjański zbiorów S i T.
Pytanie 6: Załóżmy, że masz zestaw uniwersalny:
- U = {a, b, do, d, e, f, g, h, ja, j}
I zestawy:
- mi = {b, re, fa, godz, jot}
- fa = {a, do, mi, g, ja}
Oblicz dopełnienie zbiorów E i F względem zbioru uniwersalnego U.
Często zadawane pytania dotyczące zestawów symboli
1. Zdefiniuj symbol zestawu.
Symbol zbioru to gałąź badająca grupy bytów/liczb/obiektów, ich relacje z innymi zbiorami, różne operacje (suma, przecięcie, uzupełnienie i różnica) oraz powiązane cechy.
2. Co oznacza ten symbol ⊆?
Symbol ⊆ oznacza, że jest podzbiorem. Podzbiór to zbiór, którego elementy zostały dodane tak, jakby były elementami innego zbioru.
3. Co oznacza ∪ w zbiorach?
„∪” jest znakiem związku zbiorowego. A ∪ B to zbiór zawierający wszystkie elementy zbiorów A i B.
4. Co oznacza P = Q?
Jeśli zbiór P jest równy zbiorowi Q, wówczas elementy P i Q są takie same. Na przykład:
P = {4,5,6} i Q = {6,5,4}
W rezultacie P = Q.
5. Co w matematyce oznacza ∩?
„∩” oznacza połączenie dwóch zbiorów. A ∩ B to zbiór zawierający elementy wspólne dla A i B.
6. Ile wynosi ∈ w zbiorach?
∈ to znak, który oznacza „należy do”. Jeśli b ∈ B, oznacza to, że b jest elementem B.
7. Jaki jest zbiór N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} znany jako?
Zbiór liczb naturalnych definiuje się jako N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Zawiera wszystkie liczby dodatnie, od 1 do nieskończonej liczby. Zbiór ten ma kluczowe znaczenie dla matematyki i zapewnia ramy zarówno dla porządkowania, jak i liczenia.
8. Co to jest A × B w zbiorach?
Iloczyn kartezjański zbiorów A i B jest pokazany jako A x B w symbolu zbioru. Jest to zbiór obejmujący wszystkie możliwe uporządkowane pary, w którym pierwszy element jest losowany ze zbioru A, a drugi ze zbioru B.
9. Jak odczytasz A ∩ B?
A∩B wymawia się jako A przecięcie B. Oznacza zbiór zawierający elementy wspólne w obu zbiorach.
10. Co oznacza Ø w teorii mnogości?
W teorii mnogości idea zbioru pustego, który nie ma elementów, jest oznaczona symbolem Ø (wymawiane zbiór pusty).
11. Co to jest AUB?
AUB w matematyce oznacza sumę zbiorów A i B. Odnosi się do zbioru, który zawiera każdy element z obu zbiorów A i B.
12. Czy ∅ to to samo co {}?
Tak, oba ∅ i {} reprezentują zbiór pusty w matematyce. Zatem oba są różnymi zapisami tej samej rzeczy.