Wielokąt w matematyce to dwuwymiarowy kształt złożony z prostych linii tworzących zamknięty wielokątny łańcuch. Słowo wielokąt pochodzi od słów poli i gon, które oznaczają wiele i boki.

Wielokąty mogą być proste lub samoprzecinające się. Prosty wielokąt nie przecina się sam ze sobą, z wyjątkiem wspólnych punktów końcowych kolejnych segmentów. Łańcuch wielokątny, który przecina się sam ze sobą, tworzy samoprzecinający się wielokąt. Wielokąty można również podzielić na wklęsłe i wypukłe.

W tym artykule szczegółowo wspomnieliśmy o wielokątach, ich typach, formułach i przykładach.

Spis treści

• Co to są wielokąty?
• Definicja wielokąta
• Wykres wielokątny oparty na liczbie boków
• Właściwości wielokątów
• Kształty wielokątów
• Rodzaje wielokątów
• Wielokąty na podstawie boków
• Wielokąty na podstawie kątów
• Wielokąty na podstawie granic
• Formuły wielokątów
• Powierzchnia wielokątów
• Obwód wielokątów
• Kąty w wielokątach
• Często zadawane pytania

Co to są wielokąty?

Termin „wielokąt” pochodzi od greckiego słowa polugonos, gdzie „poly” oznacza „wiele”, a „gon” oznacza „kąt”. Ogólnie rzecz biorąc, wielokąt to zamknięta figura utworzona przez linie proste, z utworzonymi przez nie kątami wewnętrznymi linie. Aby utworzyć zamkniętą bryłę, potrzebne są minimum trzyliniowe segmenty. Jest powszechnie znany jako trójkąt lub 3-kąt. Ogólnym określeniem wielokąta n-stronnego jest n-kąt.

Definicja wielokąta

Wielokąty to płaskie, dwuwymiarowe figury złożone z prostych boków, które tworzą całkowicie zamknięty kształt. W geometrii wielokąt jest płaską figurą złożoną z odcinków połączonych w zamknięty łańcuch wielokątny. Składają się z prostych boków, a nie krzywych, i mogą mieć dowolną liczbę boków. Niektóre wielokąty różnego rodzaju to: otwarte, tylko graniczne, zamknięte i samoprzecinające się.

W geometrii wielokąt definiuje się jako zamknięty, dwuwymiarowy kształt, który leży płasko na płaszczyźnie i jest otoczony prostymi bokami.

Wielokąt nie ma zakrzywionych boków, a jego krawędzie są prostymi segmentami wyznaczającymi jego granicę. Punkty styku tych krawędzi nazywane są wierzchołkami lub narożnikami.

Przykłady wielokątów

Pod względem matematycznym przykładami wielokątów są trójkąty, sześciokąty, pięciokąty i czworoboki. Prawdziwymi przykładami Polygon są prostokątny ekran laptopa, telewizora, telefonu komórkowego; prostokątne boisko do piłki nożnej lub plac zabaw, Trójkąt Bermudzki i egipskie piramidy o trójkątnym kształcie.

Części wielokąta

Wielokąt składa się z trzech podstawowych elementów:

• Boki wielokąta: Boki wielokątów są granicami wielokątów definiujących zamknięty obszar.
• Wierzchołki: Punkt, w którym spotykają się dwie strony, nazywany jest wierzchołkiem.
• Kąty: Wielokąt zawiera zarówno kąty wewnętrzne, jak i zewnętrzne. Kąt wewnętrzny jest utworzony w zamkniętym obszarze wielokąta przez przecięcie jego boków.

Wykres wielokątny oparty na liczbie boków

Nomenklatura wielokątów zdefiniowana na podstawie liczby posiadanych boków. Oznacza się go jako n-gon, gdzie „n” oznacza liczbę boków. Wielokąty są zazwyczaj identyfikowane przez liczbę ich krawędzi. Na przykład wielokąt z pięcioma bokami nazywany jest pięciokątem, a wielokąt z dziesięcioma bokami określany jest jako 10-kątny.

Właściwości wielokątów

Właściwości wielokątów łatwo je identyfikują. Następujące właściwości przyczyniają się do łatwego poznania wielokątów:

• Wielokąt to zamknięty kształt, pozbawiony otwartych końców. Początek i punkt końcowy powinny być takie same.
• Przyjmuje formę planarną, składającą się z odcinków linii lub linii prostych, które wspólnie kształtują figurę.
• Jako byt dwuwymiarowy wielokąt istnieje tylko w wymiarach długości i szerokości, bez głębokości i wysokości.
• Posiada trzy lub więcej boków, aby utworzyć wielokąt.
• Kąty w wielokącie mogą się różnić. Pokazuje odrębną konfigurację.
• Długość boków wielokąta może się różnić; może, ale nie musi, być równy w całym wielokącie.

Kształty wielokątów

Wielokąt to płaski, dwuwymiarowy kształt charakteryzujący się prostymi bokami połączonymi w zamkniętą figurę. Przykłady kształtów wielokątów obejmują:

• Trójkąt
• Czworoboczny
• Pięciokąt
• Sześciokąt
• Siedmiokąt
• Ośmiokąt
• Nonagon
• Dekagon

Trójkąt

• Ma 3 boki i 3 wierzchołki.
• Nie ma przekątnych.
• Suma wnętrza wynosi 180°.

Czworoboczny

• Ma 4 boki i 4 wierzchołki.
• Ma 2 przekątne.
• Suma kątów wewnętrznych wynosi 360°.

Pięciokąt

• Ma 5 boków i 5 wierzchołków.
• Ma 5 przekątnych.
• Suma kątów wewnętrznych wynosi 540°.

Sześciokąt

• Ma 6 boków i 6 wierzchołków.
• Ma 9 przekątnych.
• Suma kątów wewnętrznych wynosi 720°.

Siedmiokąt

• Ma 7 boków i 7 wierzchołków.
• Ma 14 przekątnych.
• Suma kątów wewnętrznych wynosi 900°.

Ośmiokąt

• Ma 8 boków i 8 wierzchołków.
• Ma 20 przekątnych.
• Suma kątów wewnętrznych wynosi 1080°.

Nonagon

• Ma 9 boków i 9 wierzchołków.
• Ma 27 przekątnych.
• Suma kątów wewnętrznych wynosi 1260°.

Dekagon

• Ma 10 boków i 10 wierzchołków.
• Ma 35 przekątnych.
• Suma kątów wewnętrznych wynosi 1440°.

Rodzaje wielokątów

W zależności od boków i kątów wielokąty można podzielić na różne typy na różnych podstawach, takie jak:

• Na podstawie stron
• Na podstawie kątów
• Na podstawie granicy

Wielokąty na podstawie boków

Wielokąty można podzielić na dwa podstawowe typy na podstawie cech ich boków:

• Regularny wielokąt
• Nieregularny wielokąt

Regularny wielokąt

Wielokąt foremny wyróżnia się tym, że wszystkie boki mają jednakową długość i wszystkie kąty wewnętrzne mają równe wymiary. Może być zarówno równoboczny, jak i równokątny. Przykłady regularnych wielokątów obejmują trójkąt, czworokąt, pięciokąt i sześciokąt.

Regularny wielokąt

Nieregularny wielokąt

Wielokąt nieregularny ma boki o różnej długości i kąty o różnej mierze. Każdy wielokąt, który nie spełnia kryteriów wielokąta foremnego, jest klasyfikowany jako nieregularny. Typowymi przykładami nieregularnych wielokątów są trójkąt skalenowy, czworoboki, takie jak prostokąt, trapez lub latawiec, a także nieregularne struktury pięciokątne i sześciokątne.

Nieregularny wielokąt

Wielokąty na podstawie kątów

Wielokąty można klasyfikować na podstawie charakteru ich kątów na dwie główne kategorie:

• Wielokąt wypukły
• Wklęsły wielokąt

Wielokąt wypukły

Wielokąt wypukły nie ma kąta wewnętrznego o mierze większej niż 180°. Wielokąty wypukłe mogą mieć trzy lub więcej boków. W wielokątach wypukłych wszystkie przekątne leżą wewnątrz zamkniętej figury. Typowymi przykładami wielokątów wypukłych są trójkąty, wszystkie wypukłe czworoboki, a także regularne pięciokąty i sześciokąty

Wklęsły wielokąt

Wklęsły wielokąt ma co najmniej jeden kąt wewnętrzny, który jest kątem odruchowym i jest skierowany do wewnątrz. Wklęsłe wielokąty mają co najmniej cztery boki. Ten typ wielokąta ma co najmniej jeden kąt wewnętrzny o mierze większej niż 180°. We wklęsłych wielokątach niektóre przekątne wystają poza zamkniętą figurę. Przykłady wklęsłych wielokątów obejmują strzałkę lub grot strzały w czworokątach, a także niektóre nieregularne pięciokąty i sześciokąty.

Różnica między wielokątami wklęsłymi i wypukłymi

Zobaczmy różnicę między wielokątem wypukłym i wklęsłym w poniższej tabeli:

Wielokąty na podstawie granic

Wielokąty można podzielić na dwa podstawowe typy w oparciu o charakter ich granic:

• Prosty wielokąt
• Złożony wielokąt

Prosty wielokąt

Prosty wielokąt charakteryzuje się pojedynczą, nieprzecinającą się granicą. Innymi słowy, nie przecina się i składa się z jednej granicy.

Proste wielokąty

Złożony wielokąt

Z drugiej strony wielokąt złożony jest definiowany przez samo przecięcie. Składa się z więcej niż jednej granicy w swojej strukturze. W złożonych wielokątach granica przecina się, tworząc wiele odrębnych regionów w obrębie wielokąta.

Złożony wielokąt

Przeczytaj więcej na temat Rodzaje wielokątów.

Formuły wielokątów

Istnieje kilka wzorów związanych z wielokątami w geometrii. Do najczęściej używanych należą:

• Formuła obszaru
• Wzór obwodu
• Liczba przekątnych

Wszystkie wzory związane z różnymi wielokątami omówiono poniżej:

Powierzchnia wielokątów

Powierzchnia wielokąta reprezentuje całkowitą przestrzeń, jaką zajmuje na płaszczyźnie dwuwymiarowej, jest wyznaczana za pomocą specjalnych wzorów opartych na liczbie boków i klasyfikacji wielokąta. Formuły powierzchni są następujące:

Obwód wielokątów

Obwód dwuwymiarowego kształtu reprezentuje całkowitą długość jego zewnętrznej granicy. W przypadku wielokątów obwód oblicza się w następujący sposób:

Przekątna wzoru wielokąta

Przekątna wielokąta to odcinek utworzony przez połączenie dwóch wierzchołków, które nie sąsiadują ze sobą.

Liczba przekątnych w wielokącie = n(n−3)/2,

Gdzie „n” oznacza liczbę boków wielokąta.

Przeczytaj więcej na temat Przekątna wzoru wielokąta .

Kąty w wielokątach

W geometrii kąty w wielokątach odnoszą się do kątów utworzonych przez boki wielokąta, zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz wielokąta. Zatem w wielokącie mogą występować oba kąty, tj.

• Kąty wewnętrzne
• Kąty zewnętrzne

Omówmy szczegółowo wzór na te kąty w następujący sposób:

Wzór kąta wewnętrznego wielokątów

Kąty wewnętrzne wielokąta to kąty utworzone pomiędzy sąsiednimi bokami i są równe w przypadku wielokąta foremnego. Liczba kątów wewnętrznych odpowiada liczbie boków wielokąta.

Sumę kątów wewnętrznych „S” w wielokącie o „n” bokach oblicza się jako:

S = (n – 2) × 180°

Gdzie „n” oznacza liczbę boków.

Wzór kąta zewnętrznego wielokątów

Każdy kąt zewnętrzny wielokąta foremnego jest tworzony przez przedłużenie jednego z jego boków (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) i zmierzenie kąta między tym przedłużeniem a sąsiednim bokiem. W wielokącie foremnym wszystkie kąty zewnętrzne są równe

Całkowita suma kątów zewnętrznych w dowolnym wielokącie jest ustalona na 360°

Dlatego,

Każdy kąt zewnętrzny jest określony przez 360°/n

Gdzie „n” to liczba boków.

Suma kątów wewnętrznych i odpowiadających im kątów zewnętrznych w dowolnym wierzchołku wielokąta wynosi zawsze 180 stopni, co wyraża dodatkową zależność:

Kąt wewnętrzny + Kąt zewnętrzny = 180°

Kąt zewnętrzny = 180° – Kąt wewnętrzny

Wniosek

• Wielokąt to zamknięta figura ograniczona trzema lub większą liczbą odcinków linii
• Suma kątów wewnętrznych: Sumę wszystkich kątów wewnętrznych w wielokącie n-stronnym można wyrazić wzorem (n–2)×180°.
• Liczba przekątnych: Dla wielokąta o n bokach liczbę przekątnych oblicza się ze wzoru n(n–3)/2.
• Trójkąty utworzone przez przekątne: Liczba trójkątów utworzonych przez połączenie przekątnych z jednego narożnika wielokąta wynosi n–2.
• Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego: Miara każdego kąta wewnętrznego w wielokącie foremnym n-stronnym wynosi {(n–2) × 180°}/n.
• Kąt zewnętrzny wielokąta foremnego: Miara każdego kąta zewnętrznego w wielokącie foremnym n-stronnym wynosi 360°/n.

Przeczytaj także

• Kwadrat
• Równoległobok
• Prostokąt

Rozwiązane przykłady wielokątów w matematyce

Przykład 1: Rozważmy czworokąt z czterema bokami. Znajdź sumę wszystkich kątów wewnętrznych czworoboku.

Rozwiązanie:

Wzór na sumę kątów wewnętrznych w wielokącie foremnym n-stronnym = (n - 2) × 180°

Suma wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta = (4 – 2) × 180°

Suma wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta = 2 × 180°

Suma wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta = 360°

Zatem suma wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360°.

Przykład 2: Rozważmy wielokąt foremny o danym stosunku kątów zewnętrznych i wewnętrznych wynoszącym 7:3. Określ typ wielokąta.

Rozwiązanie:

Stosunek kąta zewnętrznego i wewnętrznego wynosi 7:3.

Załóż, że kąt zewnętrzny i wewnętrzny wielokąta wynosi 7x i 3x.

Suma kątów zewnętrznych i wewnętrznych dowolnego wielokąta wynosi 180°.

7x + 3x = 180°

10x = 180°

x = 18°

Kąt zewnętrzny = 18°

Liczba boków = 360°/kąt zewnętrzny

= 360°/18°

logika zdań

= 20

Dlatego dany wielokąt jest ikosagonem, ponieważ ma 20 boków.

Przykład 3: Każdy kąt zewnętrzny wielokąta ma miarę 90 stopni. Określ typ wielokąta?

Rozwiązanie:

Zgodnie ze wzorem każdy kąt zewnętrzny = 360°/n

Tutaj n=liczba boków.

90°= 360°/n

n = 360°/90°= 4

Zatem wielokąt, o którym mowa, jest czworokątem, ponieważ ma cztery boki.

Przykład 4: Boki mają długości 10 m, 10 m, 8 m, 8 m, 5 m, 5 m, 9 m, 9 m. Ile metrów liny będzie potrzebne do wykonania obwodu?

Rozwiązanie:

Aby znaleźć długość liny potrzebną na obwód, musimy zsumować długości wszystkich boków:

Obwód = 10 m + 10 m + 8 m + 8 m + 5 m + 5 m + 9 m + 9 m

Obwód = 64 m.

Dlatego na obwód potrzebne będą łącznie 64 metry liny.

Ćwicz pytania dotyczące wielokątów w geometrii

Poniżej znajduje się kilka praktycznych pytań opartych na wzorze wielokątów:

Pytanie 1. Biorąc pod uwagę, że jeden kąt pięciokąta wynosi 140°, określ wielkość największego kąta, jeśli pozostałe kąty są w stosunku 1:2:3:4.

Pytanie 2. Znajdź liczbę boków wielokąta, jeśli suma kątów wewnętrznych wielokąta wynosi 160°.

Pytanie 3. Liczba boków w dwóch wielokątach foremnych jest stosunek 2:3, a stosunek ich kątów wewnętrznych wynosi 4:5. Znajdź odpowiednie liczby boków tych wielokątów.

Pytanie 4. Wyznacz całkowitą sumę kątów w siedmiokącie.

Pytanie 5. Oblicz sumę kątów zewnętrznych w pięciokącie.

Pytanie 6. Ile boków ma sześciokąt?

1. 4
2. 6
3. 8
4. 10

Pytanie 7. Który z poniższych nie jest wielokątem foremnym?

1. Trójkąt
2. Kwadrat
3. Pięciokąt
4. Równoległobok

Często zadawane pytania dotyczące wielokątów w matematyce

Co to jest wielokąt w matematyce?

W matematyce wielokąt odnosi się do zamkniętej dwuwymiarowej figury utworzonej przez połączenie trzech lub więcej linii prostych. Termin wielokąt pochodzi z języka greckiego, gdzie wielokąt oznacza wiele, a gon reprezentuje kąt.

Który wielokąt jest najmniejszy?

Najmniejszym utworzonym wielokątem jest trójkąt o trzech bokach.

Co to jest 20-gon?

20-kąt jest dwudziestobocznym wielokątem w geometrii.

Jaka jest całkowita suma kątów zewnętrznych wielokąta?

Suma kątów zewnętrznych wielokąta wynosi 360°.

Czy okrąg można sklasyfikować jako wielokąt?

Wielokąt to zamknięty kształt złożony z prostych segmentów. Okrąg jest figurą zamkniętą, ale składa się z krzywej. Zatem okrąg nie jest wielokątem.

Jaka jest suma kątów wewnętrznych wielokąta?

Sumę kątów wewnętrznych wielokąta wyraża się wzorem (n–2)×180°, gdzie n jest liczbą boków wielokąta.